模糊過程熵的一些新結論

冀占江，覃桂茳，李連芬

(1.2.3.梧州學院 大數據與軟件工程學院，廣西 梧州 543002)

1 引言和概念

設P={P1,P2…Pn}是X上的有限模糊分割，如果P中的每一個元素都在F中，則稱P是X上的有限可測模糊分割；如果一個模糊集在F中，就稱該模糊集為可測模糊集。以下考慮的都是m(X)=1的模糊測度空間，不再進行說明。

定義1.3[6]設A是X上的模糊集，T：X→X是函數，按如下方式定義X上的模糊集T-1A：對X中的任何一個點x，(T-1A)(x)=A(T(x)).對于n≥2，按如下方式定義X上的模糊集T-nA：對X中的任何一個點x，(T-nA)(x)=A(Tn(x)).

定義1.4[6]設P={P1,P2…Pn}是X上的模糊分割，對于n≥0，按如下方式定義T-nP：T-nP={T-nPi|1≤i≤n},n≥1；T0P=P.

顯然T-nP也是X上的模糊分割。

定義1.5[6](X,F,m)是模糊測度空間，T：X→X是函數，若對?A∈F，有T-1A∈F，則稱函數T是可測變換。

定義1.6[6](X,F,m)是模糊測度空間，T：X→X是函數，若對?A∈F，有T-1A∈F和m(T-1A)=m(A)，則稱函數T是保測變換。

定義1.7[7]設(X,F,m)是模糊測度空間，P={P1,P2…Pn}是X上的可測模糊分割，T：X→X是保測變換，則稱(X,F,m,P,T)是模糊過程。

2 若干引理

引理2.1[6]設P，Q，R是X上的有限可測模糊分割，則有

(1)H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R)；

(2)H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P)；

(3)若PQ，則H(R|P)≥H(R|Q)，H(P)≤H(Q)；

(4)H(P|R)≤H(P).

引理2.3[7]設(X,F,m,P,T)是模糊過程，對任意的n≥1，則有

(1)H(T-nP)=H(P)；

引理2.4[8]設(Ai)1≤i≤n是X上的模糊集序列，則有

引理2.5 設P，Q，R是X上的有限可測模糊分割，則有

(1)H(P▽Q)≤H(P)+H(Q)；

(2)H(P▽Q|R)≤H(P|R)+H(Q|R).

證明：(1)由引理2.1(2)知：H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P)，由引理2.1(4)知：H(Q|P)≤H(Q)，故H(P▽Q)≤H(P)+H(Q).

(2)由引理2.1(1)知：H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R).下證：RP▽R.

設P={P1,P2…Pn}，R={R1,R2…Rm}，?1≤j≤m,?x∈X，有

3 主要定理

定理3.1設(X,F,m,P,T)，(X,F,m,Q,T)是兩個模糊過程，則有

(1)H(P▽Q，T)≤H(P，T)+H(Q，T)；

(2)H(P，T)≤H(Q，T)+H(P|Q).

證明：(1)由引理2.2知：

由引理2.5(1)知：

故

即

所以

H(P▽Q,T)≤H(P,T)+H(Q,T).

(2)設S={S1,S2…Sn}，R={R1,R2…Rm}是X上的有限可測模糊分割，首先證：RS▽R.?1≤j≤m，?x∈X，有又S1,S2…Sn互不相交，且由引理2.4(2)知：因此再由引理2.4(1)知：(SiRj)1≤i≤n不相交.?x∈X，由引理2.4(2)知：

再由引理2.5(2)知：

故

下證：H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q).設P={P1,P2…Pn}，Q={Q1,Q2…Qm}，則

又T：X→X的保測變換，故

因此H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q)，故

由引理2.2知：

由引理2.3(1)知：