NURBS曲線在羅茨泵轉子型線設計中的應用

劉振超 何雪明 黃海楠

(1.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2.三一重機有限公司，江蘇 蘇州 215300)

羅茨泵是一種無內壓縮的旋轉變容積式泵，在食品、化工、醫藥等行業中的真空蒸餾、濃縮、干燥等工藝過程中得到廣泛應用[1]。其核心零部件為內部一對沿相反方向同步旋轉的轉子。羅茨泵在工作過程中借助于轉子轉動過程中與轉子腔形成的多個基元容積實現抽氣功能。轉子截面形狀即轉子型線，其優劣直接決定了整個羅茨泵設備的工作性能。

Tsay等[2]提出了葉峰曲線為單圓弧、葉谷曲線為圓弧共軛曲線的羅茨風機轉子型線，并建立了轉子型線的方程。Hsieh等[3]嘗試用漸開線設計羅茨風機的轉子，并通過試驗證明了使用漸開線轉子型線的羅茨風機擁有更高的容積利用效率。Tong等[4]根據偏差函數推導了羅茨泵的一般流量公式，并提出了一種根據給定流量方程設計羅茨泵轉子型線的方式。Hsieh等[5]提出了用可變擺線比的擺線設計羅茨泵轉子型線的設計方法，并以基于三次、五次、七次的多項式和正弦函數的擺線比的擺線設計轉子型線。Cai等[6]提出了一種從葉峰曲線到葉谷曲線分別為圓弧、偏心圓弧、擺線、圓弧組成的羅茨泵轉子型線。

目前羅茨泵轉子型線上應用比較廣泛的是圓弧、擺線、漸開線。用此類曲線設計轉子型線時，當葉峰曲線為由多段曲線構成時，設計效率低下；轉子型線的線型一旦選定，在有限空間內修改較繁瑣。而NURBS曲線(Non-Uniform Rational B-Splines)具有能夠表達常規二次曲線的特性，且NURBS曲線具有二次曲線不具備的局部修改性。本研究擬將NURBS曲線運用到羅茨泵轉子型線的設計中，旨在實現羅茨泵轉子型線表達方式的統一，并利用其局部修改性設計出性能更加優異的轉子型線。

1 羅茨泵轉子型線設計原理

通過確定轉子齒數Z、中心距H和齒頂高Ra可以確定葉峰曲線和葉谷曲線的設計范圍。在設計型線時為了保證轉子與轉子之間每一個嚙合點的間隙均勻且保持恒定，葉峰曲線A1C1和葉谷曲線C1E1都是共軛的，所以葉谷曲線C1E1通過包絡條件可計算求得，故只設計葉峰曲線A1C1。

圖1 羅茨泵轉子型線設計圖Figure 1 Rotor profile design of roots pump

1.1 轉子型線設計的坐標系及坐標轉換

在葉峰曲線設計完后，通過包絡條件式求葉谷曲線，必須建立如圖2所示的坐標系。其中包含了兩對坐標系，分別為：① 固結在羅茨泵泵體上的左側轉子的靜坐標系O1X1Y1和右側轉子的靜坐標系O2X2Y2；② 固結在轉子上的左側轉子的動坐標系O1x1y1和右側轉子的動坐標系O2x2y2。左側轉子的動、靜坐標系和右側轉子的動、靜坐標系分別擁有共同的原點O1、O2，O1、O2分別處于兩個轉子的旋轉中心上，區別在于靜坐標系O1X1Y1和O2X2Y2是固結在泵體上，不隨著轉子的轉動而發生任何位置變化，而動坐標系O1x1y1和O2x2y2是固結在轉子上，隨著轉子的轉動發生相應角度的轉動。左側轉子逆時針轉動，右側轉子順時針轉動。需進一步說明的是轉子型線的設計為二維問題，故本設計方法中未涉及到Z軸。

根據轉子的嚙合原理可以得到以下不同坐標系之間的表達關系[7]：

(1)在左側轉子靜坐標系O1X1Y1中表達左側轉子動坐標系O1x1y1中的元素：

(1)

(2)在右側轉子靜坐標系O2X2Y2中表達右側轉子動坐標系O2x2y2中的元素：

φ表示左側轉子和右側轉子的轉角；ω表示轉子旋轉的角速度圖2 羅茨泵轉子坐標關系Figure 2 Rotor coordinates of roots pump

(2)

(3)在左側轉子靜坐標系O1X1Y1中表達右側轉子靜坐標系O2X2Y2中的元素：

(3)

(4)在左側轉子動坐標系O1x1y1中表達右側轉子動坐標系O2x2y2中的元素：

(4)

(5)在右側轉子動坐標系O2x2y2中表達左側轉子動坐標系O1x1y1中的元素：

(5)

左側轉子的葉峰曲線的參數方程為：

(6)

式中：

ts≤t≤te(ts,te分別為葉峰曲線段系數t的起始值和終止值)。

將式(6)代入式(4)中，可以得到葉峰曲線段在對應的右側轉子上的葉谷曲線段的方程為：

(7)

根據包絡條件可以求得φ關于曲線參數t的表達式：

(8)

式(8)稱為包絡條件式。通過包絡條件式得到φ后，再代入式(5)中即可得到右側轉子的葉谷曲線方程。

此時求得的葉谷曲線為右側轉子的葉谷曲線，而最終需要得到的是左側轉子的葉谷曲線，故還需將右側轉子的葉谷曲線進一步換算成左側轉子的葉谷曲線。若將動坐標系O1x1y1，O2x2y2重疊，將左側轉子的葉峰曲線和右側轉子的葉谷曲線統一到同一個坐標系中表達可得如圖3所示的圖形，此時右側轉子的葉谷曲線和左側轉子的葉谷曲線為關于直線y=x×tanγ對稱的曲線，故可以通過鏡像矩陣M1得到左側轉子的葉谷方程：

(9)

圖3 左側轉子和右側轉子的葉谷曲線關系圖Figure 3 Valley curves of left and right rotors

故可以在設計完轉子的葉峰曲線方程的情況下，通過計算得到轉子葉谷曲線的方程。

1.2 葉峰曲線合理設計區域的推導

在設計羅茨泵轉子型線時，第一步為確定葉峰曲線，為了避免葉峰曲線數據一開始就設計不合理，直到該段曲線設計完才發現轉子型線的錯誤，導致轉子型線的設計效率降低。故本研究針對轉子的葉峰曲線的設計區域進行框定，以指導轉子型線的設計參數選取，提高設計效率。為了設計方便，將轉子葉峰曲線都設計在第一象限和坐標軸上，轉子的葉峰曲線的起點都設計在O1x1軸上。

如圖4所示，由于轉子葉峰曲線自身位置的布局特點，葉峰曲線必須處于節圓弧O1A′C右側、齒頂圓弧O1AF左側、線段A′A上方、線段CF下方。得出葉峰曲線的基本設計區域：

(1)葉峰曲線處于O1A′C右側：

(10)

(2)葉峰曲線處于O1AF左側：

(11)

(3)葉峰曲線處于線段A′A上方：

y1≥0。

(12)

(4)葉峰曲線處于線段CF下方：

(13)

轉子葉峰曲線和對應的節圓段存在一種映射關系，理論上葉峰曲線映射到節圓弧段O1A′C上，恰好得到完整的節圓弧段，若映射得到的曲線出現重疊，則會產生封閉容積，為了避免此類情況，并將情況推至極限，則葉峰曲線映射得到的曲線只為一點，而考慮葉峰曲線在A點的連續性要求，故映射得到的點只能是A′點，滿足情況的葉峰曲線如圖4中的銷齒圓弧A′AG，即葉峰曲線設計的下邊界。

圖4 轉子型線設計的基本區域的確定Figure 4 Determination of basic area for rotor profile design

下邊界銷齒圓弧A′AG的數學表達式如下：

(x-R)2+y2≥(Ra-R)2，x∈[R,Ra]。

(14)

同時轉子的封閉性限定了轉子的葉峰曲線和葉谷曲線必然是首尾相接，故葉峰曲線必然過C點；轉子的連續性限定葉峰曲線為多段時，各曲線之間必須至少保證相切連續。葉峰曲線若完全采用銷齒圓弧，葉峰曲線的終點不能到達設計終點C點，故在式(12)限定的葉峰曲線合理設計區域的下邊界的基礎上可以進一步縮小設計區域的左邊界，葉峰曲線至少由兩段曲線組成，如圖4所示，保證第一段曲線為銷齒圓弧最長為A′AB，第一段曲線外的曲線為直線段BC。

轉子型線的合理設計區域的左邊界ABC，數學表達式為：

(15)

式中：

通過以上的約束條件便得到葉峰曲線的合理設計范圍，如圖5中粗虛線標出的區域所示，圖5中同時標出了圓弧型轉子型線、擺線型轉子型線、漸開線型轉子型線的葉峰曲線和該合理設計范圍的關系。從圖5可知，幾種典型的轉子型線的葉峰曲線均設計在合理設計區域內。本研究提出的葉峰曲線的合理設計區域雖不能保證設計在其內部的齒廓都是合格的，但能保證未設計在合理設計范圍區域內的轉子型線一定為不合格的。

圖5 典型轉子型線與合理設計區域的關系Figure 5 The relationship between typical rotor profile and reasonable design area

2 NURBS曲線設計轉子型線的方法

2.1 包絡條件求解

一段k次NURBS曲線的函數定義為[8]：

(16)

式中：

u——NURBS曲線中的參數；

k——曲線次數；

Pi——控制點，控制點的個數為n+1；

wi——控制點的權因子，決定了控制點偏離曲線的程度，控制點的個數為n+1，所以wi>0；

Ni,k(u)——定義在非周期且非均勻節點矢量U={a,…,a,uk+1,…,um-p-1,b,…,b}上的k次B樣條基函數，節點矢量U中的元素稱為節點，節點矢量中節點的個數為m+1，而參數m滿足m=n+k+1。

NURBS曲線在進行羅茨泵轉子型線設計中使用相對容易，給定了NURBS曲線的次數k、控制點Pi、控制點對應的權因子wi后，左側轉子的葉峰曲線方程可表達為：

(17)

式中：

0≤u≤1。

將式(15)代入式(6)中可以得到NURBS曲線的包絡條件式：

φ=

(18)

式中：

將式(17)設計的NURBS曲線的葉峰轉子型線方程和NURBS曲線設計轉子型線時的包絡條件式(18)代入式(4)可以得到右側轉子上的葉谷曲線方程。式(18)中涉及到NURBS曲線的求導，與傳統圓錐曲線的求導是有區別的。

2.2 NURBS導數的推導

(19)

故NURBS曲線的一階導數可以表達為：

(20)

式(20)中在求解A(u)和K(u)的一階導數時，實質上只需對其公式內部的基函數求解：

(21)

基函數的求導類似于基函數的求解，為一個遞推公式，需要從低階到高階逐層計算：

(22)

由此便可計算出NURBS曲線的一階導數的求導。

3 基于NURBS曲線的轉子型線設計

在常用的羅茨泵轉子型線中，漸開線型轉子型線的羅茨泵在面積利用系數上要高于單圓弧型轉子型線，故理論抽氣速率也是漸開線型的要高。本研究基于NURBS曲線的局部修改性和前文提出的葉峰曲線合理設計區域，在漸開線型轉子型線的基礎上，對轉子型線進行改進設計，以期獲得面積利用系數更高的羅茨泵轉子型線。面積利用系數能直接反映羅茨泵的抽氣速率。根據羅茨泵轉子的面積利用系數λ的定義，得到面積利用系數的公式：

(23)

式中：

S——羅茨泵轉子的橫截面面積。

NURBS曲線設計轉子型線流程，首先確定了轉子的齒頂高、中心距、轉子齒數。再利用NURBS曲線設計葉峰曲線A1C1，根據葉峰曲線A1C1的數據計算葉谷曲線C1E1，獲得整條轉子型線數據，若滿足要求，則輸出型線數據，若不符合設計要求，則需要修改設計參數，重新計算。

3.1 漸開線型轉子型線的復現

由于NURBS曲線對漸開線無法完美表達，故只能通過調整次數與控制點數對NURBS曲線進行擬合，使其與漸開線的誤差保證在允許誤差之內。因此NURBS曲線設計的漸開線轉子型線在葉峰曲線上存在一定的誤差，使得通過計算得到的葉谷曲線也存在誤差，既而在用NURBS曲線復現漸開線型轉子型線后，有必要對葉峰曲線和葉谷曲線進行誤差分析。

對限定區域下漸開線轉子型線的葉峰曲線用NURBS曲線進行擬合，采用四次NURBS曲線，并通過5個控制點對曲線進行控制，如圖6所示，數據見表1。漸開線轉子型線中銷齒圓弧部分可以使用NURBS曲線表達[9]，誤差如表2所示，復現銷齒圓弧部分可以做到無誤差；擬合的漸開線轉子型線漸開線部分的平均誤差為8.332×10-2μm，最大誤差為1.773×10-1μm；通過擬合的NURBS曲線計算得到的葉谷曲線的數據和原曲線的數據經過比對，平均誤差為1.041×10-1μm，最大誤差為3.509×10-1μm?？梢钥闯觯ㄟ^NURBS曲線設計的漸開線型轉子型線的葉峰曲線和葉谷曲線的誤差均低于拋光的加工精度，該誤差在合理誤差范圍內，實現了用NURBS曲線對漸開線型轉子型線的復現。

圖6 葉峰曲線控制點圖Figure 6 Control point chart of leaf peak curve

表1 漸開線型轉子型線葉峰曲線的設計參數對比Table 1 Comparison ofdesign parameters of involute rotor profile blade peak curve mm

表2 曲線設計的誤差分析Table 2 Erroranalysis of curve design μm

3.2 基于NURBS曲線的轉子型線改進設計

對第2段葉峰曲線段采用NURBS曲線的設計策略為：NURBS曲線次數采用了三次，并由4控制點進行控制，針對第1段銷齒圓弧的使用長度，第2段曲線通過一維搜索的方法對第2段NURBS曲線的中間兩個控制點對應的權因子進行調控，從而獲得每組中面積利用系數最高的權因子組合。

實際設計發現第3組試驗之后的組別無論如何調整第2段的NURBS曲線，都會出現根切的現象，如圖8所示。故只對前3組試驗的結果進行了總結，得到表3的試驗結果。通過對表中的數據可以看出，改進的NURBS曲線型轉子型線中面積利用系數最高的為第2組，高出漸開線轉子型線0.53%，高出單圓弧型轉子型線1.45%。其轉子型線葉峰曲線數據如表4所示，轉子型線如圖9所示。

圖7 漸開線轉子葉峰曲線圖Figure 7 Peak curve of involute rotor blade

表3 改進的轉子型線性能參數對比Table 3 Comparisons of linear performance parameters of improving rotor shapes

圖8 轉子型線的根切圖Figure 8 Undercut of rotor profile

4 結論

(1)設計羅茨泵轉子型線葉峰曲線合理區域，便于指導轉子型線參數選取，對轉子型線的改進設計開發具備一定的指導作用，提高設計效率。

(2)針對漸開線型轉子型線，用一整段NURBS曲線表達葉峰曲線，由控制點和權因子決定，得到了誤差最大為1.041×10-1μm的型線，驗證了用NURBS進行型線設計的可行性。增加了羅茨泵轉子型線設計的曲線類型。結合葉峰曲線合理設計區域，利用NURBS曲線局部調整性對型線進行優化，最終得到了優化后的型線，型線的面積利用系數得到了提高，提高了羅茨泵性能。

圖9 改進的NURBS型轉子型線Figure 9 Improved NURBS rotor profile

表4 改進的NURBS型轉子型線葉峰曲線數據Table 4 Improved NURBS rotor profile peak curve data mm

(3)結合NURBS曲線設計轉子型線，優勢在于NURBS曲線的便捷的局部調整性，研究中只通過修改權因子的方式調控曲線，為了最大化利用NURBS曲線的形狀調整工具，今后應同時結合調整控制點的方法設計轉子型線。