雙重介質低滲透油藏水平井試井模型

姜瑞忠，張福蕾，楊 明，喬 欣，張春光

(1.中國石油大學(華東)，山東 青島 266580；2.中海石油(中國)有限公司天津分公司，天津 300452；3.中國石油北京油氣調控中心，北京 100007)

0 引 言

近年來，中高滲油藏在中國油氣資源產出所占的比重越來越低，低滲透油藏對增儲上產起到更加關鍵的作用，合理高效地開發低滲透油藏成為研究人員關注的熱點。前人在研究低滲透油藏試井問題時，大多數考慮擬啟動壓力梯度[1-6]和應力敏感性[7-12]，而擬啟動壓力梯度模型采用不過原點的直線代替曲線，忽略了低壓力梯度下流體的流動能力。袁英同等[1]提出了基于低速非達西滲流模式的固定邊界數學模型，并討論了流動邊界和啟動壓力梯度的影響；蔡明金等[2]考慮啟動壓力梯度、應力敏感性，建立了低滲透均質油藏試井解釋模型；劉永良等[3]建立了考慮啟動壓力梯度的雙重介質低滲透油藏數學模型；姜瑞忠[13]等基于毛細管模型和邊界層理論提出了低滲透油藏新的滲流模型，其很好地解釋了啟動壓力梯度和非線性滲流的存在。目前，利用FEM數值方法求解的同時考慮非線性系數和應力敏感性的低滲透油藏水平井壓力動態分析方法鮮有報道，因此，針對這一問題進行研究。通過繪制典型曲線對各類相關參數進行敏感性分析，并對現場區塊的實測壓力數據進行擬合。研究成果對于提高低滲透油藏的開發效果具有一定的理論指導意義。

1 模型建立

1.1 物理模型

建立圓形雙重介質儲層水平井物理模型，模型假設為：雙重介質儲層由基質系統和裂縫系統組成，基質和裂縫間的竄流視為擬穩態，液體先從基質流入裂縫后再進入水平井井筒，即Warren-Root模型；油藏外邊界為封閉邊界或定壓邊界，儲層水平且厚度一致，儲層滲透率各向異性，水平井位于油藏中心，產量恒定，只考慮裂縫系統的應力敏感性，忽略重力和毛細管力的影響，考慮井筒儲集效應和表皮系數。

1.2 數學模型

流體在低滲透油藏中滲流不再遵循達西模型，根據邊界層理論和毛細管滲流模型，采用文獻[14]中的低速非線性滲流方程：

(1)

式中：v為滲流速度，cm/s；K為滲透率，mD；μ為原油黏度，mPa·s；▽p為驅動壓力梯度，10-1MPa/m；c1、c2為非線性系數，MPa/m；δLV為非線性變量。

其中，c1表示邊界層和屈服應力值的影響，c2僅反映邊界層的影響，二者可通過巖心滲流實驗擬合獲得，擬合結果表明c1>0，c2<0。

直角空間坐標系中，由連續性方程、運動方程和狀態方程得到的滲流控制方程為：

(2)

β=Kfv/Kfh

(3)

式中：Kfh為裂縫水平方向滲透率，mD；Kfv為裂縫垂直方向滲透率，mD；x、y、z為空間坐標；αK為滲透率模數，MPa-1；pi為原始地層壓力，MPa；pf為裂縫系統壓力，MPa；pm為基質系統壓力，MPa；φf為裂縫系統孔隙度；Cft為裂縫系統壓縮系數，MPa-1；t為時間，s；σ為形狀因子，1/m2；Km為基質滲透率，mD；i為初始條件。

(4)

式中：φm為基質系統孔隙度；Cmt為基質系統的壓縮系數，MPa-1。

初始條件為：

pf(x，y，z=0)=pi

(5)

封閉外邊界條件為：

(6)

式中：re為外邊界的半徑，m；ze為頂邊界z方向的坐標，m。

定壓外邊界條件為：

pf(r=re)=pf(z=ze)=pi

(7)

定義無因次變量：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：L為水平井半長，m；zw為井中心z方向的坐標，m；rw為井半徑，m；h為儲層厚度，m；Q為水平井產量，m3/d；B為體積系數；Kv為垂直方向滲透率，mD；Kh為水平方向滲透率，mD；C為井筒儲集系數，m3/MPa；ω為彈性儲容比；λ為竄流系數；lc為特征長度，m。

由式(2)—(23)建立的雙重介質低滲透油藏無因次水平井滲流數學模型為：

(24)

(25)

pfD(xD，yD，zD，tD=0)=0

(26)

(27)

pfD(rD=reD)=pfD(zD=0，1)=0

(28)

2 模型求解

采用隱式求解裂縫系統，顯式求解基質系統的方法。

2.1 裂縫系統

使用Galerkin方法得到不考慮源/匯項的有限元方程，再通過格林函數得到的內部單元和封閉邊界單元的有限元方程為：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：Nj為形函數(j=1，2，3，…)；Ωe為單元域；V為單元域體積；ΔtD為無因次時間步長；n為某時刻的時變量值；Ke為非線性系數矩陣，求解時給Ke初始值并線性化后再求解壓力解。

2.2 基質系統

利用相同的方法得到單元有限元方程矩陣形式的簡化形式為：

(33)

(34)

(35)

竄流項的處理采用同一時間步的裂縫系統求解結果。將水平井視為均勻流量線源，所在網格引入單元內源匯項，應用Delta函數獲取與水平井位置相關的線源匯方程。

(36)

式中：m為水平井劃分結點的數量；δ為Delta函數；x0，y0，z0為結點坐標。

因此，單元源匯項的有限元方程為：

(37)

無因次形式為：

(38)

利用離散數據點拉氏變換法，將實空間中壓力的數值解轉換到拉氏空間中，從而將井筒儲集系數和表皮系數引入壓力公式中。

(39)

利用Stehfest數值反演方法得到實際空間中的無因次壓力。

3 結果驗證及敏感性分析

3.1 結果驗證

當非線性系數c1D=0、c2D=0，滲透率模數αKD=0時，將計算出的數值解與李曉平等[14]的解析解進行比較，數值解與解析解的曲線結果一致，證明建立的模型是可靠的(圖1)。

圖1 數值解的驗證

3.2 典型圖版

繪制不同模型的水平井壓力及壓力導數曲線(圖2，CD=100，s=0，LD=5，hD=200，λ=0.05，ω=0.05)。達西模型中c1D=0.0，c2D=0.0，αKD=0.0，應力敏感性模型中c1D=0.0，c2D=0.0，αKD=0.1，非線性模型中c1D=0.2，c2D=-0.2，αKD=0.0，考慮應力敏感性和非線性滲流的2個因素模型中c1D=0.2，c2D=-0.2，αKD=0.1。

考慮應力敏感性時，壓力及導數曲線上移，壓力導數曲線值大于0.5，偏離了達西模型下中期和晚期徑向流的水平段，隨著時間的推移，偏差的程度變大。考慮非線性滲流時，壓力導數曲線的“凹子”變淺，并向右移動。與非線性系數相比，應力敏感性對曲線的影響更加顯著。

圖2 不同模型的試井典型曲線

3.3 敏感性分析

3.3.1 非線性系數c1D、c2D對試井曲線的影響

非線性系數作用于從基質到裂縫的非線性流動階段，c1D或c2D增大時，最小啟動壓力梯度增大，竄流減弱。c1D主要影響壓力導數曲線“凹子”的深度和位置，當c1D增大時，“凹子”變淺，出現變晚(圖3)；非線性系數c2D影響“凹子”的深度，當c2D增大時，“凹子”上移(圖4)。

圖3 非線性系數c1D對試井曲線的影響

3.3.2 滲透率模數對試井曲線的影響

應力敏感性主要導致曲線在井筒儲存階段上移，隨著滲透率模數的增加，曲線后期上翹更加嚴重，“凹子”的深度和位置不變。因為當應力敏感性增強時，滲透率的損害更加嚴重，流體流動變得更加困難，所需的壓降更大(圖5)。

3.3.3 竄流系數對試井曲線的影響

竄流系數表征流體從基質到裂縫的竄流能力。竄流系數越大，竄流階段出現越早，“凹子”向左移動，其大小和深度保持不變。較大的竄流系數表示基質和裂縫之間的物理性質差異較小，竄流更容易發生。由于應力敏感性的影響，“凹子”出現時間不同，竄流系數增大，“凹子”最低點的高度下降。壓力及導數曲線在晚期徑向流階段重合(圖6)。

圖4 非線性系數c2D對試井曲線的影響

圖5 滲透率模數對試井曲線的影響

圖6 竄流系數對試井曲線的影響

3.3.4 頂底邊界對試井曲線的影響

當頂底邊界非封閉時，井筒儲存階段后的流動階段消失。當壓力波傳播到定壓邊界后，壓力變為恒定且壓力導數迅速下降，混合邊界導數下降晚于定壓邊界(圖7)。

圖7 頂底邊界對試井曲線的影響

4 實例應用

對南海西部文昌油田一口水平井的壓力測試數據進行分析，油藏厚度為10.8 m，孔隙度為0.241，滲透率為24.5 mD，原油黏度為1.33 mPa·s，總壓縮系數為2.215×10-3MPa-1。利用模型得到的理論曲線與實測曲線進行擬合，擬合程度高(圖8)，該研究對低滲透油藏試井分析有很好的指導作用。

圖8 理論曲線與實測曲線擬合結果

5 結 論

(1) 建立的雙重介質低滲透油藏水平井數學模型可以研究非線性系數和應力敏感性對試井曲線的影響，實現了FEM數值方法求解數學模型。

(2) 試井典型曲線顯示數值解與解析解的曲線結果一致，分析非線性系數、滲透率模數、竄流系數、頂底邊界等各類參數敏感性，實際區塊壓力數據與理論曲線可以良好擬合。

(3) 考慮應力敏感性時，壓力導數曲線值大于0.5，偏離了達西模型下中期和晚期徑向流的水平段，偏差程度隨時間推移增大。考慮非線性滲流時，壓力導數曲線的“凹子”變淺，且向右移動。與非線性系數相比，應力敏感性對曲線的影響更加顯著。