各向異性油藏水平井變流量壓力動態響應計算方法

孟憲偉 劉洪杰 王佩文 鄭建軍 劉軍 張浩

中海石油（中國）有限公司蓬勃作業公司

水平井作為一項高效開采技術以提高單井產能、提高儲量動用程度、提高采收率等優勢，在底水油藏、稠油油藏、裂縫性油藏、低滲透油藏、天然氣藏等各種類型油氣藏開發中得到廣泛應用。國內外學者對水平井的壓力動態分析和產能等關鍵技術都進行了深入的研究。針對水平井壓力動態分析，目前有以點源函數理論為基礎建立不同油藏類型下的水平井試井模型，此外還有通過建立拉氏空間無因次壓力關系分析壓力動態的方法。其中以點源函數理論建立試井模型研究最為廣泛和深入。

1959年，Carslaw第1次將點源函數和Green函數引入熱力傳質學［1］。Gringarten于1973年對于點源函數方法進行了基于實數空間下的詳細推導和說明，給出了用于不穩定壓力分析的諸多實用的瞬時源函數，為建立水平井實空間滲流數學模型奠定了基礎［2］。一些學者采用拉普拉斯變換和數值反演求解不同情況下的壓力動態，如Ozkan于1991年依據拉氏變換提出一般情況下的拉氏空間中點源解的壓力分布滲流數學模型，該通解考慮不同的井型、邊界類型以及不同油藏類型的拉氏空間解析模型并提供相應的快速算法，對研究不穩定壓力分析產生深遠影響，但仍然沒有很好地解決其計算方法問題［3］。Clonts、Goode、Daviau、lssaka等學者對水平井試井問題進行了充分的研究［4-7］。Ezulike從基本流動方程出發，建立了拉氏空間內水平井分段無因次線源函數解，最后通過stehfest數值反演進行求解，該方法解決了水平井在分采條件下，關掉賊層后相應水平段流量變化時的壓力典型曲線，該試井模型假設在單分采水平段內的流量不變［8］。

國內學者對點源函數理論研究及水平井試井模型的研究始于上世紀90年代。孔祥言針對分支水平井各向異性氣藏，導出氣藏擬壓力的瞬時點源解,利用瞬時源函數和Newman乘積原理，給出氣藏中各種分支水平井的Green函數解析表達式，并給出了常用的基本源函數表，方便了點源函數理論應用［9］。廖新維用點源函數和格林函數法推導出拉普拉斯空間線源解。沿井筒平均流量解可得無限導流解,在拉普拉斯空間用疊加原理加上井筒儲存和表皮效應的影響,再用數值反演方法得到含井儲和表皮的真實空間解。通過參數組合得出考慮井筒儲存和表皮因子的更具有實用價值的理論圖版［10］。宋付權應用源函數理論研究了單一直線邊界油藏水平井的壓力動態，得到水平井應平行于單一直線邊界布置的結論為實際的水平井布井提供理論依據［11］。王曉冬、劉慈群利用積分變換方法和源匯疊加原理建立了拉氏空間箱式封閉油藏中定產量水平井無因次壓力分布式，分析了箱式油藏水平井壓力動態分析，提供了實用可靠的計算方法；用積分變換、匯源疊加方法求得其數學模型的Laplace變換解式并建立了快速、實用的應用方法，通過典型曲線計算方法、調參分析方便了水平井不穩定試井資料的分析與解釋［12-13］。汪志明根據Newman乘積原理和疊加原理，利用瞬時點源方法推導出了多分支水平井在箱形有限地層中的壓力分布通式，研究了水平井分支數、滲透率平面非均質性以及水平井水平段長度與水平井產量的關系［14］。段永剛采用點源函數的方法通過對水平井在無限大油藏、一條斷層、直角斷層以及封閉矩形等條件下的壓力動態，在數值反演計算中同時考慮表皮系數和井筒存儲對壓力動態的影響,分析了水平井壓力動態［15］。李成勇利用點源函數的思想建立了邊水氣藏滲流常產量下的數學模型，利用stehfest反演算法求解該模型；并且利用點源函數的思想,求解了各向異性無限大地層水平井在拉氏空間中的無因次壓力響應，在拉氏空間中,討論了無窮累加項中累加次數的取值問題,簡化了其理論壓力動態響應曲線的計算過程［16］。李樹松利用點源函數為基礎建立了水平井和多分支井的不穩定滲流模型，同時在拉氏空間進行了求解［17］。劉振宇以點源函數和格林函數的思想為基礎求解出一條直線邊界油藏中的水平井壓力響應模型，對流動階段及邊界影響進行分析認為邊界對水平井壓力的影響主要表現在邊界的類型及距離上［18］。周密采用Green函數和疊加原理方法求解了在Laplace空間下水平井井底壓力計算公式，并利用改進的Stehfest算法反演得到實空間的井底壓力，分析了水平方向鉆遇斷層后壓力變化特征［19］。楊志剛運用Lord Kelvin點源修正解，考慮啟動壓力梯度影響，結合杜哈美原理和泊松公式求解了低滲透油藏水平井的點源解，通過無因次壓力導雙對數圖版分析了低滲氣藏水平井滲流特征及其影響因素［20］。方思冬利用Green函數和拉普拉斯變換建立裂縫流動的一維單元，建立有限導流裂縫井底壓力的求解方法分析了多裂縫水平井在不同流動形態下的壓降變化和對產能影響［21］。王家航應用點源函數理論和邊界元思想，建立一種可用于非均質油藏多段壓裂水平井非穩態壓力分析的半解析模型，對儲容比、竄流因數、裂縫導流能力、長度及各裂縫泄流面積的影響進行討論［22］。

對于各向異性油藏的研究，劉月田利用坐標變換，將各向異性油藏轉化為各向同性油藏進行求解［23］；何應付將各向異性坐標變換應用到邊界元方法中求解封閉地層各向異性油藏壓力動態［24］。由于油藏各向異性是在自然條件下隨機形成，影響因素較多，利用試井分析油藏系統本身就是黑箱問題，考慮各向異性的角度是從笛卡爾坐標系下直接建立各向異性油藏模型，在計算時要求各向異性物性參數在求解時滿足一定約束條件以符合實際生產動態。最后在求解結果的基礎上對模型后續動態進行預測，達到可現場應用目的。

綜上所述，對于空間連續點源情形的壓力分布數學模型的研究，大部分學者主要從實數空間和拉氏空間2個方向建立數學模型。其中在實數空間中建立點源函數的數學模型復雜度高，在復雜地質油藏條件下由于模型復雜程度高在實際應用時受到限制，為滿足實際應用條件，通常需要設立諸多限制條件，如對邊界形狀、油藏壓力和產量等條件進行限制；而在拉氏空間建立的數學模型雖然可建立較復雜模型，如解決近井存在有限或無限導流能力的情況、井儲和表皮情況、水平井過斷層情況等復雜條件；但涉及的反演計算復雜，由于目前工程上常用的數值反演算法有基于函數概率密度的Stehfest反演算法和基于Fourier變換的Crump反演算法。Stehfest算法穩定性和精度不如Crump算法，但Crump算法的計算速度較慢阻礙了在實際中的應用。另外，通過大量文獻調研，國內外學者對于水平井試井數學模型的建立多數定流量條件下的試井壓力分析，對變流量情況下的壓力分析較少。

通過引入信號與系統分析理論中卷積和矩陣概念，結合點源函數理論建立水平井變流量壓力動態響應離散模型。最后利用最優化方法對該模型直接計算，求解模型最優解，避免了反演計算。計算過程和結果精簡可靠。克服了缺少精密壓力數據條件下不穩定試井分析方法的應用，克服了常規模型中流量不變的假設，解決了流量變化條件下的壓力響應問題。文章中推導的試井解釋模型適用于解決有界斷塊內封閉邊界，水平和垂直方向各向異性油藏中水平井在變流量條件下的壓力響應問題。在不同邊界形狀和條件下，對點源函數進行擴展，可適用于定壓邊界和混合邊界的模型應用。擴展后可適用于對應地質油藏條件下的試井模型建立和計算。

1 各向異性油藏變流量水平井試井模型

在變流量條件下，試井數學模型建立的理論依據為格林函數和Newman乘積原理，同時結合系統理論中單位沖擊響應函數和系統輸入輸出關系，對水平井流量變化時的壓力響應進行分析和計算。利用格林函數理論構造點源函數和Newman乘積方法建立矩形斷塊內各向異性油藏水平井的點源函數，該函數在模型中表征了系統的單位沖擊響應。變流量條件時表征為系統輸入信號的變化，水平井跟端壓力響應即為系統的輸出。該系統模型在實域空間的解析式即為杜哈美原理導出的褶積表示式。

從基于格林函數的點源函數理論出發，將模型分解成實空間3個方向的瞬時點源解，結合Newman乘積原理構造水平井瞬時源函數解。最后建立基于變流量條件下瞬時點源解的連續系統卷積公式。并根據離散系統的卷積和關系，將連續系統卷積公式變換成為基于各個測試點的卷積和矩陣關系式，最后利用該卷積和矩陣關系進行模型的計算。

1.1 各向異性油藏基本控制方程

考慮到礦場實際條件下，可獲取的數據質量情況，地質油藏狀況，以及井筒狀況，同時為簡化計算，降低計算的復雜度。針對模型建立如下假設條件：將水平井假設為封閉斷塊內的水平直線源，因此模型不考慮水平井井筒半徑的影響；有界斷塊內各點水平滲透率和垂向滲透率分布一致，模型假設為均質各向異性油藏；單相弱可壓縮流體，流體黏度均勻分布；水平井井筒流量隨而時間變化。

在不考慮井筒儲集效應和表皮系數的條件下，考慮水平方向和垂直方向的各向異性，利用連續性方程和達西定律建立各向異性油藏控制方程為

由于求解該擴散方程的水平井變流量模型涉及帶時間變量的復雜邊界條件，直接求解困難。而利用Green函數理論建立變流量條件下點源函數模型將邊界條件影響體現在不同的瞬時點源函數。

1.2 各向異性油藏水平井點源函數構成

由于控制方程滿足線性疊加原理，其解也滿足疊加原理，利用點源函數思想解決水平井不穩定滲流問題，將各種類型的邊界條件體現在點源函數的源函數上，結合卷積原理解決變流量問題；對于空間連續點源情形的壓力分布Gringarten利用了熱力學方面研究成果，采取Newman乘積方法在實域中給出變流量解，該壓力解為褶積形式為

式中，S(x,y,z,t-τ)為模型源函數，cm-2；q(τ)為模型中源的單位沖擊強度，cm3/(s·cm)。

設地層頂底面為封閉不滲透地層，地層厚度h/cm，水平井位于封閉斷塊內且平行于頂底面，平行于水平井井筒方向的斷塊邊界水平距離xe/cm，垂直于井筒方向斷塊邊界水平距離ye/cm。建立坐標系如圖1所示，水平井水平段長度為L/cm，水平井中點坐標為(xw，yw，zw)。水平滲透率為kh，垂直滲透率為kv。

圖1 邊界為封閉斷塊內一口水平井油藏模型Fig.1 Reservoir model of horizontal well in a closed fault block

對于頂底面封閉不滲透層、有界封閉斷層內一口水平井油藏系統來說可分解成為x方向為條帶形封閉邊界內寬度為L的條帶源、y和z方向為條帶形封閉邊界內直線源，斷塊內水平井瞬時源函數為3個方向瞬時源函數乘積。如圖2所示為3個方向的邊界條件示意圖。

圖2 封閉斷塊內平行于頂底面水平井分解為源函數模型Fig.2 Decomposition of horizontal well parallel to the top and bottom surface in a closed fault block into the source function model

上述3個源函數反映了3個方向上對應的邊界條件下的表達式，根據Newman乘積原理整體模型的源函數可表示為3個方向的源函數乘積，該模型同時滿足整體的邊界條件。

1.3 變流量下水平井壓力動態響應關系式建立

以水平井跟部位為壓力測試基準點，可得到水平井跟部井壁流壓變化關系式，由式(3)得到變流量下水平井跟部流動壓力動態響應關系式為

對于封閉邊界條件下，式(8)中點源函數在跟端的表達式為

式(8)中q(τ)的數學物理意義為輸入該模型的單位沖擊信號，在變流量情況時表征為單位空間尺度下的流量隨時間變化的函數。針對所建立的模型為封閉斷塊內各向異性油藏水平井可表示為q(τ)=BQ(τ)/L。而源函數即為信號與系統理論中的單位沖擊響應函數，兩者的卷積為系統的輸出信號，此處即為壓力響應。式(9)為封閉邊界條件下點源函數在跟端的表達式。同理，依據文獻[2]提供的基本源函數，基于上述相同的假設條件，可建立定壓邊界和混合邊界條件下斷塊內水平井跟端點源函數表達式如下 (10)、(11)所示。

在上下頂底面封閉邊界、平面定壓邊界條件下，水平井跟端壓力響應點源函數(單位沖擊響應函數)表達式為

在上下頂底面封閉邊界、平面混合邊界條件下，點源函數表達式為

在得到不同邊界條件下的點源函數后，根據實際情況可將對應點源函數帶入各向異性油藏水平井井底流壓動態響應關系式(8)中進行計算。由于響應關系式為連續系統的表示形式，為了使該實數連續空間表達式具有可應用價值，將連續系統的褶積形式寫成等價的離散系統卷積和形式為

為簡化公式對式(12)進行簡化，令

則式(12)簡寫成為式(15)為

可以在每個測試點n=0,1,2,···,t，依據式 (15)進行展開后得到矩陣形式為

上述(16)式中Δτ取決于測試數據密度，對于每日測試數據可取Δτ=24 h。由于流量歷史q[n]和壓力歷史Δp[n]已知，利用文獻[25]中的計算思路和最優化算法求得該模型參數的最優解，編制計算機最優化程序實現計算結果。

2 礦場計算實例

由于上述卷積和形式的關系式反映了水平井跟端壓力在變流量時動態壓力響應，實際測試數據密度決定了模型的輸入和輸出數據質量，也決定了模型可認識程度。該井實例測試數據來源于混合邊界斷塊中水平井日產數據，流壓測試數據為日度數據。

X井為渤海區域某有界封閉邊界和定壓邊界構成的混合邊界斷塊內1口水平井，該井初期流量和壓力變化實測數據見表1。從該井實測流量數據可知，該水平井流量變化較大，常規定產量模型不適用。為了利用動態監測中的日頻度數據進行不穩定試井壓力解釋和分析，應用前面推導的基于源函數卷積和矩陣關系式模型進行模型擬合和計算。

基于油田礦場X井附近斷層信息和該井附近壓力支持的實際情況，建立該井靜態模型，該模型中斷層邊界及水平井位置參數詳細信息見表2。

由于3個方向源函數的計算都涉及到無窮級數項，在實際應用中，級數項個數n的取值會影響計算精度。為了在不影響計算精度的條件下減少不必要重復計算，應用本模型中源函數，對不同數目級數項下的源函數計算結果進行對比，如圖3所示。

圖3顯示了不同級數項目個數的計算結果對比，在級數項個數n≤5時，源函數計算結果差別較大；而在級數項個數取值n＞5時，源函數計算結果差別較小。實際應用中建議級數項個數取值大于5，計算結果可以滿足準確性和精度的要求。

表1 X 井實測流量和壓力動態響應Table 1 Flow rate and pressure behavior response measured in Well X

表2 X 井靜態模型參數Table 2 Static model parameters of Well X

利用初期測試流量和壓差數據，結合上述卷積和矩陣乘積得到p[n]*，設置目標函數最小化為利用初始值計算模型的壓力響應。利用優化方法求解目標函數極小值，達到優化模型參數符合該井實際測試數據，編制計算機最優化程序算法，計算后得到模型的壓差。如圖4所示，可知模型和實測的壓力響應擬合結果吻合程度較高。模型計算結果與實際測試數據對比其相對誤差情況統計見表3，相對誤差平均在3.1%左右。從實際應用表明，該模型所用方法具有較高的可靠性，具有應用價值。

圖3 級數項不同取值個數下源函數計算結果對比Fig.3 Calculation results of source function at different numbers of series terms

圖4 各向異性混合邊界油藏水平井變流量實測與模型壓力對比Fig.4 Comparison between the calculated pressure and measured value of horizontal well at variable flow rate in anisotropic reservoirs with combined boundaries

表3 實測壓力變化與模型壓力變化相對誤差統計Table 3 Relative errors between well test pressure change and model pressure change

最優化方法求解得到模型的決策參數結果見表4。由于該模型和求得的對應參數符合該井生產初期動態，后續可綜合利用該模型的各項參數，對模型后續的動態表現進行預測。參數預測后續模型結果和實際生產數據對比如圖5所示，預測結果與實際生產數據吻合程度較高。

表4 模型參數解釋結果匯總Table 4 Summary of interpretation results of model parameters

圖5 基于模型參數預測定流量下實測壓力與模型壓力響應對比Fig.5 Comparison between the measured pressure at constant flow rate and the modeled pressure response result

上述計算實例為混合邊界條件下的變流量壓力響應結果，通過歷史動態數據擬合得出模型參數后，對模型后續動態進行預測，預測結果和實測數據吻合程度高，模型具有實際應用價值。利用封閉邊界和定壓邊界下的點源函數，計算在相同的輸入(流量變化史)、相同的模型參數下，得到不同的邊界情況下該水平井壓力動態響應結果，如圖6所示。可以看出，模型在相同的流量變化條件和相同的模型參數條件下，實測壓力數據與混合邊界模型壓力擬合程度較高，而封閉邊界和定壓邊界模型在初期吻合程度較好，隨著壓力傳遞到邊界后，后續的壓力動態響應出現了明顯的差異。說明了不同邊界條件下，該井在相同的輸入(流量變化史)時，不同邊界模型初期的壓力響應基本一致。為了后續能夠預測該井動態，本計算實例采用混合邊界模型更符合生產實際。

圖6 不同邊界條件水平井實測壓力與模型壓力響應結果對比Fig.6 Comparison between the measured pressure of horizontal well under different boundary conditions and the modeled pressure response result

3 結論

(1)利用點源函數理論和Newman乘積原理建立的各向異性油藏水平井在不同邊界條件下的變流量壓力動態響應卷積關系式，該模型適用于定壓邊界、封閉邊界、混合邊界條件下的不穩定壓力分析。通過變換得到的矩陣關系式可利用計算的數據適用范圍廣，對數據頻度要求低；計算結果可反求出油藏參數，該方法建立的模型反映出各向油藏水平井實際動態情況。

(2)模型實際計算過程中，水平井點源函數的級數項取值應大于5，以滿足模型計算準確性和精度要求。利用最優化方法快速擬合了歷史數據并求得了模型參數，實例應用表明對單井模型后續預測準確性較高，對油田開發評價和后續實際生產具有較高的實用價值。

符號說明

B為流體的體積系數；ct為綜合壓縮系數，atm-1；h為地層厚度，cm；kh為地層水平滲透率，μm2；kv為地層垂直滲透率，μm2；L為水平井水平段長度，cm；Δp為水平井跟端壓力變化差值，atm(一個標準大氣壓)；q為水平段內單位長度井底流量，cm3/(s·cm)；Q為水平井井口流量，cm3/s；t為生產時間，s；ηx,y為地層水平導壓系數，cm2/s；ηz為地層垂直導壓系數，cm2/s；μ為流體黏度，mPa·s；φ為地層孔隙度。