基于反饋變分模式分解的單通道盲源分離算法

趙知勁， 黃艷波， 強芳芳， 楊安鋒

(1.杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，杭州 310018； 2. 杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，杭州 310018)

常規(guī)的多通道盲源分離( Blind Source Separation，BSS)算法不適用于單通道盲源分離(Single Channel BSS，SCBSS)，目前對SCBSS的解決方法主要有三類：①基于循環(huán)譜域濾波的SCBSS算法[1-3]；②基于信號參數(shù)差異的SCBSS算法[4-6]；③基于虛擬多通道的SCBSS算法[7-13]。前兩類算法性能與源信號特性密切相關(guān)，第三類算法常用小波分解、小波包分解、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)和增強經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Essential EMD，EEMD)與ICA結(jié)合，但是小波基和分解層數(shù)選擇困難、EMD分解經(jīng)常出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象等問題，這些直接影響算法的分離性能。

Dragomiretskiy等[14-15]提出了基于變分模式分解(Variational Mode Decomposition, VMD )的單通道盲源分離(VMD-SCBSS)算法，但是該算法需要預(yù)先知道模態(tài)數(shù)K。高艷豐等[16]提出一種基于變分模式分解和 Teager 能量算子相結(jié)合的高壓輸電線路雷擊故障行波檢測方法。馬增強等[17]針對滾動軸承早期故障振動信號信噪比低、故障特征提取困難的問題，提出了基于變分模式分解和能量算子的滾動軸承故障特征提取方法，并提出了一種確定模式數(shù)K的方法。針對混合的源信號數(shù)未知，本文提出基于反饋VMD的通信信號SCBSS算法。

1 VMDF-SCBSS算法

1.1 變分問題的構(gòu)造

VMD是基于維納濾波、Hilbert變換和混合頻率的變分問題的求解過程，通過尋找約束變分模式最優(yōu)解自適應(yīng)地將信號分解成一系列的具有稀疏特性的模式分量。

VMD的目的是將待分析信號x(t)分解成K個具有特定稀疏性的模式信號uk(t)，每個uk(t)的帶寬之和最小，其約束條件是各個uk(t)之和等于待分析信號。

利用Hilbert變換計算每個uk(t)的解析信號為

(1)

并將各個模式的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶，即

(2)

估計各個模式的帶寬，約束變分問題可表示如下

(3)

式中：uk(t)={u1(t),…,uK(t)}；ωk(t)={ω1(t),…ωK(t)}。

為了求解式(3)變分問題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘法算子λ(t)，即將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成非約束優(yōu)化問題，如式(4)所示。其中α的取值保證信號重構(gòu)精度，λ(t)使約束條件保持嚴(yán)格性。

(4)

(5)

(6)

(7)

收斂條件如式(8)所示

(8)

1.2 頻域更新公式推導(dǎo)

由于uk(t)和ωk(t)的更新困難，本文從頻域進行更新，然后傅里葉反變換實現(xiàn)uk(t)和ωk(t)的更新式。

(9)

(10)

(11)

將式(11)第一項中的ω用ω-ωk替換并計算2-范數(shù)，可得：

(12)

令

(13)

2Δ*(ω)=0

(14)

2Δ(ω)=0

(15)

由式(14)和式(15)求得最小值解為

(16)

與uk(t)的最小化問題處理方式相同，將中心頻率更新問題轉(zhuǎn)換到頻域。由式(13)可知，fh(ω)的第二項不包含ωk，因此可得

(17)

求最小值解可得

(18)

此中心頻率是在模式中觀察到的瞬時相位的最小二乘線性回歸的頻率。

(19)

(20)

(21)

式中：τ為帶寬。

1.3 VMDF-SCBSS算法

將VMD應(yīng)用于單通道盲源分離(將此方法簡記為VMD-SCBSS)，VMD分解得到的模式分量uk(t)就是對應(yīng)的源信號，但由式(19)、式(20)和式(21)可知，VMD算法需要預(yù)先確定模式數(shù)目K。VMD-SCBSS算法在源信號數(shù)目未知的情況下，K值需由VMD得到的頻譜判斷，其值與算法預(yù)先設(shè)定的中心頻率差值Δf有關(guān)。如果設(shè)定的Δf較大，可能發(fā)生欠分解；如果設(shè)定的Δf較小，可能發(fā)生過分解。所以，Δf設(shè)置不合理，可能引起K判定失誤，從而影響源信號分離。

針對此問題，本文提出了基于反饋VMD的SCBSS(簡記為VMDF-SCBSS)算法，該算法無需預(yù)先設(shè)置Δf。反饋VMD就是將每次分解得到的最純的模式分量反饋到VMD的輸入端，并在VMD的輸入端減去這個模式分量，將剩余的信號作為新的信號繼續(xù)進行二模式的VMD，重復(fù)這個過程，直到混合信號分解完全。

令第Kn次分解得到的模式分量為uKn,1(t)和uKn,2(t)與觀測信號x(t)的相似系數(shù)分別為δKn,1和δKn,2，δKn,i(i=1,2)的計算如式(22)所示

(22)

根據(jù)式(23)求I，則最純模式分量為uKn,I(t)。

(23)

分解完全的判別條件為

max{δKn,1,δKn,2}

(24)

因此，本文提出的基于反饋VMD的SCBSS算法主要步驟如下：

步驟1 模式數(shù)目K=2，初始化迭代次數(shù)Kn=1，xKn(t)=x(t)。

步驟3 利用式(22)計算相似系數(shù)δKn,1和δKn,2，利用式(23)得到分解最純模式分量uKn,I(t)(I取1或2)。

步驟4 當(dāng)式(24)成立時，停止反饋和分解，源信號個數(shù)等于Kn+1。否則轉(zhuǎn)“步驟5”。

步驟5 將步驟3選取的模式分量uKn,I(t)反饋到VMD的輸入端，并從輸入信號中減去該模式分量，即xKn+1(t)=xKn(t)-uKn,I(t)。xKn+1(t)作為新的VMD輸入，令Kn=Kn+1，重復(fù)“步驟2”～“步驟4”過程。

根據(jù)上述算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)單通道的盲源分離，而且可以確定源信號數(shù)目為Kn+1。

2 算法仿真與性能分析

本節(jié)仿真分析VMDF-SCBSS算法性能，并與VMD-SCBSS算法比較。仿真中余弦信號、2ASK和BPSK調(diào)制信號作為源信號s1(t)、s2(t)和s3(t)，采樣速率為20 kHz，幅度均為1；單通道觀測信號為x(t)=A·S(t)，其中A是一維隨機行矢量；S=[s1(t)s2(t)s3(t)]T。算法中參數(shù)設(shè)置如下：ε=1×10-7，懲罰因子和帶寬使用默認(rèn)值，即α=2 000，τ=0。

2.1 K對VMD-SCBSS算法的影響

s1(t)、s2(t)和s3(t)的載頻分別為5 kHz、4 kHz和1 kHz，不同K值VMD-SCBSS算法得到的各模式中心頻率如表1所示。

表1 不同K值時VMD-SCBSS算法得到的各模式中心頻率

由表1可知，VMD-SCBSS算法的分離性能受K值影響大。當(dāng)K未知時，VMD-SCBSS算法需依據(jù)頻率間隔Δf確定模式數(shù)目K，不同的Δf對分離結(jié)果有較大的影響。根據(jù)文獻[17]確定模式數(shù)目K方法和表1可知，Δf=1 kHz時，確定的模式數(shù)目為K=2，小于源信號數(shù)目3，設(shè)置的Δf過大；Δf=0.5 kHz時，確定的模式數(shù)目為K=3，設(shè)置的Δf正好合適；Δf=0.1 kHz時，確定的模式數(shù)目為K=4，大于源信號數(shù)目3，設(shè)置的Δf過小。由此可知，VMD-SCBSS算法性能受Δf影響大。

2.2 VMDF-SCBSS算法

2.2.1 最純模式分量確定

在無噪情況下，迭代次數(shù)Kn=1時，由VMDF-SCBSS算法分離得到的信號u1,1(t)和u1,2(t)與觀測信號x(t)的相似系數(shù)δ1,1、δ1,2及u1,1(t)和u1,2(t)與源信號S(t)的相似系數(shù)矩陣δS1如表2所示。

表2 δ1,1、δ1,2和δS1

由表2可知，δ1,2δ1,1，根據(jù)本節(jié)提出的算法可知，u1,2(t)是最純模式分量，可作為一路源信號反饋到VMD的輸入端；δS1的第一列第二行的數(shù)值接近于1，即u1,2(t)與源信號s1(t)的相似系數(shù)為0.990 8，驗證u1,2(t)是一路源信號。

將u1,2(t)反饋到輸入端，并從信號x1(t)中減去，剩余信號記為x2(t)。此時Kn=2，VMDF-SCBSS算法得到的信號u2,1(t)和u2,2(t)與觀測信號x(t)的相似系數(shù)δ2,1、δ2,2及u2,1(t)和u2,2(t)與源信號S(t)的相似系數(shù)矩陣δS2，如表3所示。

表3 δ2,1、δ2,2和δS2

由表3可知，δ2,1δ2,2；u2,1(t)是最純模式分量，可作為源信號的一路信號。同樣δS2的第三列的第一行的數(shù)值接近于1，即u2,1(t)與源信號s3(t)的相似系數(shù)為0.958 2，驗證了u2,1(t)是源信號的估計。

2.2.2 迭代終止判斷

由表2和表3可知，δ1,2δ1,1δ2,1δ2,2，也就是說Kn=2時，分離信號與觀測信號的相似系數(shù)的最大值小于Kn=1時的分離信號與觀測信號的相似系數(shù)最小值。根據(jù)本節(jié)提出的VMD停止條件可確定Kn=2時VMD已經(jīng)完成，源信號個數(shù)為Kn+1=3個，且u1,2(t)、u2,1(t)、u2,2(t)分別是源信號s1(t)、s3(t)、s2(t)的估計。

為了證明Kn=2時分解已經(jīng)成功，令Kn=3，由VMDF-SCBSS算法得到分離信號u3,1(t)和u3,2(t)與x(t)的相似系數(shù)δ3,1、δ3,2及u3,1(t)和u3,2(t)與源信號S(t)的相似系數(shù)矩陣δS3，如表4所示。

表4 δ3,1、δ3,2和δS3

比較表3和表4可知，這次分解得到的u3,2(t)是源信號s2(t)的估計，與u2,2(t)相同，所以這次分解沒有意義，即Kn=2時已經(jīng)將源信號全部分離。

2.2.3 源信號載頻對分離性能的影響

當(dāng)余弦信號、2ASK和BPSK信號的載頻(fc1，fc2，fc3)分別為(5，4，1) kHz、(5，4，3) kHz和(4.5，4，3.5) kHz時，VMDF-SCBSS算法得到分離信號與源信號s1(t)、s2(t)和s3(t)的相似系數(shù)矩陣，如表5所示。

表5 VMDF-SCBSS算法相似系數(shù)矩陣

表5中：加粗加下劃線的數(shù)字表示該元素理想情況應(yīng)為1；帶框的數(shù)字表示理想情況為零，現(xiàn)該元素值大于0.2。由此可見，源信號載頻相差越大，VMDF-SCBSS算法分離性能越好。

2.2.4 實際信號分離性能

載頻分別為5 kHz和1 kHz的余弦信號和2ASK信號混合后，由基于AD9361的軟件無線電平臺發(fā)射并采集，源信號和由VMDF-SCBSS算法分離的分離信號的部分波形如圖1所示。

(a) 源信號_余弦信號

(b) 源信號_2ASK信號

(c) 分離信號_余弦信號

(d) 分離信號_2ASK信號

圖1 VMDF-SCBSS算法分離效果

Fig.1 VMDF-SCBSS algorithm separation performance

2.3 兩種算法比較

2.3.1 分離性能比較

信號參數(shù)同“2.1”節(jié)，K=3。不同信噪比條件下，VMDF-SCBSS算法和VMD-SCBSS算法得到的分離信號與源信號的平均相似系數(shù)，如圖2所示。

圖2 不同信噪比條件下兩種算法的平均相似系數(shù)

由圖2可知，VMDF-SCBSS算法分離性能優(yōu)于K值已知的VMD-SCBSS算法性能；低信噪比時用VMD-SCBSS算法分離性能較差，大于8 dB時平均相似系數(shù)大于0.9，分離效果較好，而VMDF-SCBSS算法在信噪比大于5 dB時，就能達(dá)到較好的分離效果。

2.3.2 復(fù)雜度分析

3 結(jié) 論

將反饋機制引入VMD中，提出了基于反饋VMD的單通道盲源分離(VMDF-SCBSS)算法，該算法分離性能優(yōu)于VMD-SCBSS算法，不需要預(yù)先設(shè)置頻率間隔Δf參數(shù)，能夠自動確定源信號數(shù)，算法復(fù)雜度低于后者。如何進一步提高源信號載頻靠得較近時分離性能值得進一步研究。