考慮連接間隙非確定性的水中多體結構隨機動力響應分析

何孔德, 何雪輝, 方子帆, 楊蔚華, 劉紹鵬, 陳志超

(1. 三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002； 2. 三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002)

水中多體結構是海上浮式平臺、風電浮式基礎、懸浮隧道、水下系泊監測平臺等裝備的主體支撐結構，當前學者對它的研究主要是針對不同產品分類進行，研究了不同產品的個性，而沒有研究這類結構的共性；水中多體結構由柔性結構和剛性結構通過一定的方式連接組成，現在研究中認為外部載荷、邊界條件都是精確確定的或可以精確測量的；把系泊纜索和結構體的連接作為邊界條件來進行耦合，沒有考慮二者之間的接觸狀態。實際情況是外部載荷、邊界條件、多體結構連接接觸狀態在工作過程中都是隨機不確定的，相應就帶來動力特征的不確定性。因此本文針對這類結構基礎動力學模型(水中多體結構)，基于多體動力學理論，考慮系泊纜索和結構體非確定性接觸狀態，研究系泊纜、結構體的隨機動力響應問題。

水中多體結構中，系泊纜索和結構體之間一般都是采取鉸接的連接方式，這種連接方式由于裝配的誤差、運動中的摩擦磨損以及運動狀態需要一定的連接間隙，因此就會帶來結構體的理論運動與實際運動之間的偏差及運動不確定性，并且在運動過程中這種偏差會帶來連接接觸的碰撞，因此會使接觸力產生突變，影響系統的穩定性、運動精度甚至整體壽命，進而帶來整個系統的沖擊、振動及運動狀態的不確定性以及系統功能的偏差。因此有必要研究水中多體結構連接間隙不確定性帶來的系統動力響應的隨機性問題，使理論分析結果更加接近于工程實踐，為這類結構的設計提供一定的理論基礎。

隨著計算機技術的不斷提高以及流體動力學理論的不斷發展，采用理論計算方法對水中多體結構在不同環境條件下動態響應及受力情況進行預報，已具備了相當的條件。國內外學者針對不同類型的具體結構進行了相關的研究，文獻[1]根據多成分懸鏈線方程分析了深水懸鏈線式系泊系統的設計與組合優化問題，對懸鏈線錨纜的恢復剛度進行了分析，發現錨鏈的恢復系數表現出很強的非線性特征，研究過程中不能忽略它的幾何非線性的影響。文獻[2]基于懸鏈線方程，分別研究了不同類型的纜索，并推導了纜索張力分布和幾何位形的解析表達式。文獻[3]在考慮外界作用力的情況下，用一組參數來近似模擬錨纜所受的外部激勵。上述懸鏈線方法忽略了系泊纜索所受的流體作用力等部分外力，是對實際問題簡化后的近似求解。文獻[4]采用數值模擬的方法及有限元方法分別研究了深海平臺系泊纜索形狀和張力的影響，探討了海底地形對系纜張力分布、構型和上部浮體運動的影響，并將數值模擬結果與實驗結果進行了對比，二者吻合良好。文獻[5]通過間接時域耦合法對深海系泊半潛式平臺進行了分析，其中波浪力的計算精確到二階，系泊纜索的控制方程采用集中質量法進行求解。文獻[6]進一步發展了采用二階攝動理論對系泊纜索進行動力分析，此方法可以考慮系泊系統非線性和動態耦合的影響，能夠模擬系泊浮體的慢漂響應。文獻[7]基于沖擊動力學理論，研究了系泊纜索和結構體在受到沖擊作用下系泊纜索的受力，并分析了沖擊前后結構體的運動狀態。上述研究都是把系泊纜索和結構體的連接處作為邊界條件來進行耦合，沒有考慮二者之間的實際接觸狀態，本文以某型系泊多體結構為研究對象，通過在系泊點施加鉸接的邊界條件，考慮剛柔耦合接觸狀態，將系泊纜索的動力方程與結構的運動方程在時域內進行耦合，建立流場與結構體及系泊纜索非線性相互作用的全時域耦合廣義隨機動力學分析模型。

1 考慮間隙的多體結構模型的構建

圖1所示為含有間隙連接的多體結構模型圖。該結構 工作于一定深度的水域中，其中1為系泊纜索，上端通過接頭5和連接板相連，下端錨固于水下，2為結構體，3為連接板，4為銷軸，5為接頭。

(a) 模型總圖

(b) 結構體-連接板放大圖

(c) 系泊纜-銷軸間隙連接放大圖

圖1 含有間隙連接的系泊多體結構模型圖

Fig.1 Diagrammatic figure of mooring multi-body structure with interstitial connections

2 不考慮間隙接觸的動力學模型的建立

根據圖1，含有間隙連接的多體結構的受力特點和與系泊纜的相互作用可知，結構體的運動主要是在流速方向的平面運動，它的運動狀態與其在流場中布放深度、流場流速、結構體的橫向截面形狀有關，根據文獻[8]的研究結果，這種布放于一定深度水域中的系泊結構體會受到垂直浮體軸向的流體力、沿浮體軸向的流體力及橫向和軸向的繞流阻力。圖2為其簡化示意圖。

考慮到結構體受到水流方向的拖曳力、流體的阻力、江水的浮力、自身的重力以及系泊纜的約束作用力。根據圖2所示坐標系及簡化受力分析圖，O點為結構體幾何中心的初始位置，考慮結構體尺寸和系泊纜尺寸的比值，忽略系泊纜上的流體力，根據牛頓力學定律，建立水下系泊多體結構的動力學方程為

(1)

(2)

根據流體動力學理論，處于流場中的運動物體，結構自身運動時也會帶來與結構體本身體積相同的等量流體質量的運動[9]，方程組中m為結構體的質量和結構體排開液體體積的質量之和，K為系泊纜剛度系數，C為水動力阻尼系數。FY、FZ為結構體受到的流體作用力，根據圖2所示坐標系，其中FY為結構體在垂直液面方向的受力之和，根據流體動力學理論，包括流體升力Fl以及Y方向慣性力FIY；FZ為結構體在流場流速方向的受力之和，根據流體動力學理論，包括流體拖曳力Fd以及流速方向慣性力FIZ。

圖2 系泊多體結構簡化示意圖

2.1 流場作用力的求解

根據流體動力學理論，流場作用力可以依據莫里森公示來計算[10]，假設水流無黏性，考慮結構體的直徑和流場深度之比非常小，作用在結構體范圍內的流場為流速均勻的定常流體。流體升力FL、Y方向慣性力FIY、流體拖曳力Fd、Z方向慣性力FIZ分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：CL為流體升力系數；ρ為流體密度；v為流場流速；D為結構體直徑；L為結構體長度；CM為慣性系數；CD為流場阻力系數。

2.2 流場作用下系泊纜索彈性張力和阻尼力的求解

2.2.1 系泊纜剛度系數求解

水中多體結構中，系泊纜是結構體的主要約束構件，系泊纜索的特點就是質量輕，受力形式簡單，能夠充分發揮材料的力學性能，對于系泊纜這種工作于一定環境的水域中，受到隨機波流載荷作用的結構，正是因為它的輕、柔和低阻尼特性，使得整個多體結構系統在外部隨機荷載作用下極易發生大幅的振動，破壞其初始平衡位置，并且由于連接間隙的存在，如圖3所示。

圖3 考慮間隙的連接點A、B處放大圖

連接處的接觸狀態也會發生改變，產生大幅振動，這種大幅振動將導致系泊纜索的長度變化，連接處沖擊力的變化，對整個系統的安全性及耐久性及位置都會產生很大的影響[11]。因此求解系泊纜彈性張力時不僅要考慮系泊纜在流場作用下的彈性伸長，還要考慮在連接不確定性條件下沖擊接觸產生張力突變時所帶來的彈性伸長，并且在求解過程中，對于具有一定構型的柔性構件，還要考慮其垂度的影響，根據文獻[12]的研究，考慮柔性構件垂度影響作用主要采用等效彈性模量法，其計算公式為

(7)

式中：Eeq為計算的等效彈性模量；E為材料彈性模量；q為材料線密度；lx為柔性構件在流速方向的投影長度；Ac為柔性構件的橫截面積；T為初始平衡位置的張力。水中多體結構在一定深度水域中處于平衡位置時其受力分析圖，如圖4所示。

圖4 水中多體結構初始平衡位置體受力圖

由圖4可知，W為結構體及附件的重力，F為結構體及附件所受浮力，多體結構在重力、浮力及系泊纜索約束力作用力下處于暫時平衡狀態。纜索的張力大小為

(8)

2.2.2 阻尼系數的求解

根據流體動力學理論，阻尼系數C可按下式求出

(9)

式中：ω為結構體固有頻率；AL為結構體在流速方向的截面積；U纜索穩態響應的幅值。

考慮系泊纜索的約束力及流場作用力，根據式(1)、式(2)，建立水中多體結構動力學模型

(10)

(11)

3 考慮間隙接觸的隨機動力學模型的建立

3.1 考慮連接間隙的系泊纜彈性伸長的求解

處于一定深度水域中的多體結構在初始平衡位置，在受到外界隨機波流載荷作用下會偏離平衡位置，假設不考慮連接間隙，在外界作用力下系泊纜的彈性變形分別為ui(見圖2)，根據整個水中多體隨機結構的變形協調條件，可得：

(12)

(13)

由于考慮了系泊纜索和結構體連接位置的間隙作用(見圖3)，整個系統的拓撲結構在隨機流場作用下將會發生變化，系泊纜索長度也會出現隨機變化。系泊纜索的長度變化范圍為

0?u1(t)′?Y(t)cosθ1+Z(t)sinθ1+2rc

(14)

0?u2(t)′?Y(t)cosθ2-Z(t)sinθ2+2rc

(15)

式中，rc=rj-rs，rj為接頭內徑，rs為銷軸外徑。

3.2 連接間隙動力學模型建立

由于考慮了系泊纜索和結構體連接位置的間隙，如圖3所示。整個系統的拓撲結構在隨機流場作用下將會發生變化。如何建立準確、可以求解的含有間隙的多體系統動力學模型，國內外學者都進行了很多的研究工作[13-14]，目前采取的方法主要有三種：①連續接觸模型；②三狀態模型；③兩狀態模型。連續接觸模型假設銷軸和接頭內壁始終接觸在一起，接觸表面無彈性變形，不考慮接觸的碰撞和分離，這種方法雖然求解會方便一些，但是沒能表現出間隙碰撞、分離的動力學特性；三狀態模型主要是考慮銷軸和接頭內壁在一個周期內出現自由、碰撞、分離的三種狀態，這種分析方法能很好的反映出接觸、碰撞的動力學特性，但困難是如何精確的確定這三種狀態在一個周期內出現的時間以及碰撞時間，因此它的建模方法很復雜，應用不廣泛；兩狀態模型是目前考慮間隙作用的多體系統分析中常用的方法，該模型認為銷軸和接頭內壁之間只存在接觸和自由兩種狀態，采用赫茲接觸力模型和連續接觸力模型來對碰撞關系進行表達[15]。

基于接觸碰撞力的約束關系，即銷軸和接頭內壁之間只能通過接觸碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互約束，而不存在其他的約束關系。間隙大小為rc，r為中心距(見圖3)。假設碰撞過程中會產生一定深度的穿透，則穿透深度為

δ=r-rc

(16)

采用Impact函數來計算銷軸和接頭內壁之間的接觸碰撞力，Impact函數模型將實際中物體的碰撞過程等效為基于穿透深度的非線性彈簧模型，其計算表達式為

(17)

式中：KJ為接觸剛度系數；δ為穿透深度；n為非線性彈簧力指數，金屬材料取1.5。當δ0時，兩物體不發生接觸，接觸力為0，當δ<0時，兩物體接觸，接觸力大小與接觸剛度系數、非線性指數有關。

根據赫茲接觸理論，物體接觸剛度系數與物體的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關，在此根據文獻[16]提供的接觸剛度計算式來計算接觸面接觸剛度，計算式為

(18)

由于只考慮銷軸和接頭內壁之間通過接觸碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互約束，在切向摩擦力作用下，會發生相對滑動或黏滯，對系統的動力學特性會帶來影響，因此在計算過程中必須考慮摩擦力的作用，最常用的摩擦力模型是庫倫摩擦模型，根據文獻[17]的定義，考慮到求解的難易程度，對于考慮間隙接觸的庫倫摩擦模型進行了修正，摩擦力與速度的關系表達式為

(19)

其中u為庫倫摩擦因數，vt為切向相對運動速度，FN為銷軸和接頭的法向接觸力。

3.3 考慮系泊纜索動態伸長及間隙接觸的隨機動力學模型的建立

(20)

式中：M為系統的廣義質量矩陣;φq為約束方程的雅可比矩陣；λ為拉格朗日乘子；F為系統的廣義力矩陣；包含三項之和，分別為外部作用力在廣義坐標系下的廣義力矩陣、與速度二次項相關的矩陣力、間隙接觸碰撞所產生的法向力和摩擦力在廣義坐標系下的矩陣。

(21)

式(20)綜合了水中多體結構在受到流場作用力、考慮間隙接觸狀態不確定性所帶來的法向力、摩擦力綜合作用情況下的運動狀態，可以比較準確的分析出在載荷及接觸不確定性情況下水中多體結構的隨機動力響應問題。

4 動力響應的隨機性分析

由于考慮了系泊纜索和結構體連接位置的間隙作用，整個系統的拓撲結構在隨機流場作用下將會發生變化，系泊纜索的長度是一個不確定的參數，在實際問題中對于不確定參數的處理一般采取概率方法、模糊方法和區間方法[18]，概率方法和模糊方法需要足夠的數據來確定參數的概率密度分布情況函數和隸屬度函數，區間方法只需要知道參數的范圍就可以，根據式(14)、式(15)，本文采取區間方法分析考慮連接間隙的水中多體隨機結構的動力響應問題。

由于考慮系泊纜的長度為區間變量，據上述分析，剛度系數K、阻力系數C都具有區間性。又考慮流場作用力也是一個不確定的參數，因此考慮間隙接觸的水中多體結構動力學廣義方程式(20)將是一個時變的二階微分方程組[19]。采取Newmark-β方法來求解，將動力學方程化為逐步積分的格式，利用區間算法進行求解。

Kt+Δtδt+Δt=pt+Δt

(22)

Kt+Δt=K+Cα(βΔt)+M(βΔt2)

(23)

(24)

式中：α、β為積分參數；Δt為積分步長；M、K、C為質量矩陣、剛度矩陣、阻力矩陣的均值;下標t為某時刻對應的狀態參數。

5 數值算例

間隙接觸的水中多體結構模型在初始平衡位置時結構體參數、系泊纜索參數及流場水動力系數，如表1所示。系泊纜索下端和流場底部錨固在一起。

表1 設計參數

圖5和圖6分別給出了結構體質心位置在垂直于流場速度方向(Y向)和順流向(Z向)的位移響應時程，在平衡位置受到破壞后會出現擾動，隨著時間的變化，會重新達到一個新的平衡狀態，由于間隙接觸模型會產生一定大小的沖擊力，綜合位移要偏大于鉸接模型；圖7和圖8分別給出了結構體質心位置在Y向和Z向的速度響應時程，在運動過程中，速度都會出現一定的波動，但是變化幅度不大；圖9和圖10分別給出了結構體質心位置在Y向和Z向的加速度響應時程，鉸接模型中加速度的變化是平滑的，間隙接觸模型中，由于銷軸和接頭的接觸狀態呈現一定的隨機性，帶來接觸力的隨機變化，使加速度呈現出很大的波動。由于加速度的變化，因此就帶來了間隙接觸模型和鉸接模型接頭和銷軸接觸力的變化和加速度呈現出同樣的狀態，如圖11、圖12所示。圖13顯示了結構體質心順流方向轉角隨時間的變化規律，隨著時間的變化，在流場作用下，結構體在順流向會出現一定的偏轉角度，間隙接觸狀態的偏轉角度要稍大于鉸接狀態，偏轉角度的變化有可能會引起整個系統的失穩，在針對不同具體結構設計時，要根據結構體的重心和浮心對相對位置進行調整。

(a) Y向位移響應時程

(b) Y向位移響應時程局部放大圖

Fig.5 Time-distance graph of displacement response onYdirection for structure

(a) Z向位移響應時程

(b) Z向位移響應時程局部放大圖

Fig.6 Time-distance graph of displacement response onZdirection for structure

(a) Y向速度響應時程

(b) Y向速度響應時程局部放大圖

Fig.7 Time-distance graph of velocity response onYdirection for structure

圖8 結構體Z向速度響應時程

Fig.8 Time-distance graph of velocity response onZdirection for structure

圖9 結構體Y向加速度響應時程

Fig.9 Time-distance graph of acceleration response onYdirection for structure

圖10 結構體Z向加速度響應時程

Fig.10 Time-distance graph of acceleration response onZdirection for structure

圖11 接觸力合力響應時程(B側銷軸和接頭部位)

Fig.11 Time-distance graph of contact force for structure (position of pin shaft and joint onBside)

圖12 接觸力合力響應時程(A側銷軸和接頭部位)

Fig.12 Time-distance graph of contact force for structure (position of pin shaft and joint onAside)

(a) 結構體質心順流方向轉角

(b) 結構體質心順流方向轉角局部放大圖

圖13 結構體質心順流方向轉角

Fig.13 The rotation angle of structural’s mass center on downstream direction

6 結 論

論文以水中多體結構的簡化模型為研究對象，考慮了系泊纜索和結構體的間隙接觸狀態模型和鉸接模型兩種連接方式，基于流體動力學理論的莫里森公式，根據結構體的截面形狀，計算了不同方向流場作用力，并考慮系泊纜索的柔性特點，研究了它的剛度計算方法。根據多體動力學含間隙接觸的不確定性，采用兩狀態接觸模型，建立了考慮系泊纜索動態伸長及間隙接觸的水下多體結構隨機廣義動力學模型，采取區間方法分析了系統的動力響應問題，得到如下結論：

(1) 考慮間隙接觸狀態不確定性模型更符合工程實際，它所帶來的結構體加速度的均值和峰值都要大于理想鉸接狀態，考慮接觸時間的影響，所帶來的接觸力比理想鉸接狀態大得多；位移和速度有一定變化，但是總體變化不大。

(2) 考慮間隙接觸狀態所產生的張力也會產生隨機變化，出現很大的峰值，在B側銷軸和接頭部位最大接觸力是理想鉸接狀態10倍；A側銷軸和接頭部位最大接觸力也達到理想鉸接狀態的1.4倍，這有可能會在連接處產生疲勞破壞、靜強度斷裂等失效狀態。

(3) 間隙接觸狀態的偏轉角度要稍大于鉸接狀態，偏轉角度的變化有可能會引起整個系統的失穩，在針對不同具體結構設計時，要根據結構體的重心和浮心的相對位置進行調整，優化偏轉角度。因此在研究具體水中多體結構時，要考慮連接處的接觸狀態，分析其隨機動態特性。