杠桿法在行星齒輪機構中的應用

劉兵

摘 要：傳統的自動變速器的傳動大多采用行星輪系，行星齒輪機構比較復雜，通常用使用現有模型或者動畫視頻對行星齒輪機構的運動特性進行分析，這種方法不僅抽象并且難以理解。杠桿模擬法的優點是將一個旋轉運動系統模擬為人們熟悉的直線運動系統，從而可以直觀地在模擬杠桿上對原變速器系統進行分析，本文以單排單級行星齒輪機構為例，對杠桿法在該行星齒輪機構的傳動特性中進行分析。

關鍵詞：行星齒輪機構;杠桿法;等效性

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.19.019

1 杠桿法原理

單排單級行星齒輪機構由齒圈、單級行星齒輪、行星架、太陽輪組成，根據該結構特點把一個行星排轉化為一根杠桿和三個支點，三個支點分別代表、行星架P和太陽輪S齒圈R。杠桿圖中支點S和R分別位于支點P的兩側，且支點S與R到P的距離與太陽輪齒數ZS和齒圈齒數ZR成反比，設ZR/ZS=α，LRP=1則LSP=α如圖1所示。

2 行星齒輪機構等效杠桿與運動特性的等效性分析

根據能量守恒定律可以得到單排單級行星齒輪機構的運動特性方程為：

n1+αn2-（1+α）n3=0

由上述運動特性方程式可知，該行星齒輪機構具有兩個自由度，因此沒有固定的傳動比，不能形成確定的變速傳動。為了形成具有確定傳動比的變速機構，需要將太陽輪和齒圈、行星架中任意兩個分別作為主動元件和從動元件，使另外一個元件運動得到約束或使其固定不動，這樣機構就只剩下一個自由度，整個行星齒輪機構就能以一個確定的傳動比傳動動力。下面就將該機構所存在的不同情況對等效杠桿與運動特性的等效性進行分析。

2.1 S作為動力輸入元件，R作為輸出原件，P固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n1為輸入轉速、n2為輸出轉速、n3=0，可得：n1+αn2=0，即n1/n2=-α，故，i1=n1/n2=-α=-Z2/Z1。

由此可知當太陽輪作為輸入元件以順時針方向運動、行星架固定不動時，又因Z2>Z1，此時齒圈作為輸出元件并以較低轉速做逆時針方向運動。

（2）依據杠桿法原理，支點S作為輸入并以順時針方向運動（設箭頭在杠桿右側表示順時針）、支點P固定不動、支點R作為動力輸出時，過n1端點與P點做一條直線，過R點做條直線與Ln1-P相交，此段即為齒圈轉速，等效為平面杠桿圖，如圖2所示，在杠桿圖中根據相似三角形定理可得：n1/n2=α/1，即i1=n1/n2=α=Z2/Z1，并且從圖中可以看到，支點R以逆時針（箭頭方向在杠桿左側）方向做減速運動。由以上分析可知，S作為動力輸入元件、R作為輸出原件、P固定時桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.2 S作為動力輸入元件，P作為輸出原件，R固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n1為輸入轉速、n3為輸出轉速、n2=0，可得：n1-（1+α）n3=0，即n1/n3=1+α，故i2=n1/n3=1+α。由此可知當太陽輪作為輸入元件以順時針方向運動、齒圈固定時，又因1+α>1，此時行星架作為輸出元件并以順時針方向做減速運動。

（2）依據杠桿法原理，支點S作為輸入并以順時針方向運動、支點R固定不動、支點P作為動力輸出時，過n1端點與R點做一條直線，過P點做條直線與Ln1-R相交，此段即為行星架轉速，等效為平面杠桿圖，如圖3所示，在杠桿圖中根據相似三角形定理可得：n1/n3=（α+1）/1，即i2=n1/n3=1+α，從杠桿圖中也可以直觀的看出來支點P以順時針方向做減速運動。由以上分析可得，S作為動力輸入元件、P作為輸出原件、R固定時桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.3 P作為動力輸入元件，S作為輸出原件，R固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n3為輸入轉速、n1為輸出轉速、n2=0，可得：n1-（1+α）n3=0，即n3/n1=1/（1+α），故i3=n3/n1=1/（1+α）<1，由此可知當行星架作為輸入元件以順時針方向運動、齒圈固定時，太陽輪作為輸出元件并以順時針方向做超速運動。

（2）依據杠桿法原理，支點P作為輸入并以順時針方向運動、支點R固定不動、支點S作為動力輸出時，等效為平面杠桿圖與圖3相似，在杠桿圖中根據相似三角形定理可得：n3/n1=1/（1+α），即i3=n3/n1=1/（1+α），從杠桿圖可以直觀的看出支點S以順時針方向做超速運動，桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.4 R作為動力輸入元件，P作為輸出原件，S固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n2為輸入轉速、n3為輸出轉速、n1=0，可得：αn2-（1+α）n3=0，即n2/n3=（1+α）/α，故i4=n2/n3=（1+α）/α>1，所以當齒圈作為輸入元件以順時針方向運動、太陽輪固定時，行星架作為輸出元件并以順時針方向做減速運動。

（2）根據桿桿法原理，支點R作為輸入并以順時針方向運動、支點S固定不動、支點P作為動力輸出時，等效為平面杠桿圖如圖4所示，在圖中根據相似三角形定理可得：n2/n3=（1+α）/α，即i4=n2/n3=（1+α），從杠桿圖可以直觀的看出支點P以順時針方向做減速運動，經分析，桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.5 P作為動力輸入元件，R作為輸出原件，S固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n3為輸入轉速、n2為輸出轉速、n1=0，可得：αn2-（1+α）n3=0，即n3/n2=α/（1+α），故i5=n3/n2=α/（1+α），所以當行星架作為輸入元件以順時針方向運動、太陽輪固定時，齒圈作為輸出元件并以順時針方向做超速運動。

（2）根據桿桿法原理，支點P作為輸入并以順時針方向運動、支點S固定不動、支點R作為動力輸出時，等效為平面杠桿圖和圖4相似，在圖中根據相似三角形定理可得：n3/n2=α/（1+α），即i5=n3/n2=α/（1+α），從杠桿圖可以看出支點R以順時針方向做超速運動，經分析，桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.6 R作為動力輸入元件，S作為輸出原件，P固定

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n2為輸入轉速、n1為輸出轉速、n3=0，可得：n1+αn2=0，即n2/n1=-1/α=-Z1/Z2，故i6=n2/n1=-Z1/Z2，由此可知當太齒圈作為輸入元件以順時針方向運動、行星架固定不動時，又因Z2>Z1，此時太陽輪作為輸出元件做逆時針方向的超速運動。

（2）依據杠桿法原理，支點R作為輸入并以順時針方向運動、支點P固定不動、支點S作為動力輸出時，過n2端點與P點做一條直線，過S點做條直線與Ln2-P相交，此段即為太陽輪轉速，等效為平面杠桿圖，如圖5所示，在杠桿圖中根據相似三角形定理可得：n2/n1=1/α，即i6=n2/n1=1/α=Z1/Z2，并且從圖中可以看到，支點S以逆時針方向做超速運動。由以上分析可知，R作為動力輸入元件、S作為輸出原件、P固定時桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

2.7 S、R同時作為動力輸入元件，P作為輸出原件

（1）依據單排單級行星齒輪機構的運動特性方程，此時n1=n2為輸入轉速、n3為輸出轉速，可得：（1+α）n1=（1+α）n3，即n1=n2=n3，故i7=1，所以當任意兩個元件作為輸入以順時針方向運動時，剩下一個元件作為輸出元件并以順時針方向做等速運動。

（2）根據桿桿法原理，支點S、R作為輸入并以順時針方向運動、支點P作為動力輸出時，等效為平面杠桿圖和圖6所示，在圖中根據相似三角形定理可得：n1=n2=n3，即i7=n1/n3=1，從杠桿圖可以看出支點R以順時針方向做等速運動，經分析，桿桿法滿足行星齒輪機構運動規律的特性方程。

3 結論

從上述分析中可以看出，對于單排單級行星齒輪機構所存在的所有傳動方案均與相對應的杠桿圖等效，并且通過杠桿圖更能直觀的看到行星齒輪機構三個元件在不同傳動方案下的運動狀態，大大方便了對兩自由的機構運動特性的分析。同時還可以得出以下結論：

（1）當行星架被約束或固定時，不管是太陽輪作為輸入元件還是齒圈作為輸入元件，行星齒輪機構實現反向傳動，既可以得到倒擋;

（2）當行星架作為輸入元件時，剩下兩個元件不管誰作為輸出、誰固定，均是同向超速傳動;

（3）當行星架作為輸出元件時，不管誰作為輸出、誰固定，均是同向減速傳動;

（4）當由任意兩個元件同時作為輸入時，均為同向等速傳動。

本文通過杠桿法將復雜的行星齒輪機構中太陽輪、行星架、齒圈三個元件等效為平面直線圖上的三個支點，把三個元件的旋轉運動轉變成線性運動，將輸入元件的轉速及方向等效為一條帶箭頭的直線，直線的長度代表轉速的大小，箭頭方向代表旋轉的方向。本文以單排單級行星齒輪機構為例，在各傳動方案下對應杠桿圖與其運動規律特性方程的等效性進行了證明，充分表述了杠桿圖完全符合各傳動方案下行星齒輪機構的運動特性

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