船用燃機低壓轉子-軸承系統非線性動力學分析

李默,劉永葆,王強,b

(海軍工程大學 a.動力工程學院；b.兵器工程學院，武漢 430033)

滾動軸承因摩擦因數小，質量輕，易于安裝和冷卻等優點，廣泛應用于船用燃氣輪機和航空發動機等轉子系統，為轉子系統提供良好的穩定支承。但軸承變剛度振動、非線性Hertz恢復力、徑向游隙等非線性因素會引發轉子系統的非線性動力學行為。

國內外對轉子-軸承系統的非線性動力學特性做了大量研究。文獻[1]考慮軸承徑向游隙、變剛度頻率等多個非線性因素，分析了轉速對轉子-軸承系統的非線性動力學特性的影響；文獻[2]建立了兩自由度轉子-軸承系統，分析了系統阻尼變化對系統分岔、混沌的影響；文獻[3]建立了轉子-軸承系統動力學模型，結合Poincaré 映射圖等進行了轉子系統非線性特性分析；文獻[4]考慮軸承波紋度等系統的非線性因素，分析了波紋度頻率對系統振動的影響；文獻[5]分析了不同轉速下轉子-軸承系統的分岔、混沌等非線性動力學特性；文獻[6]考慮軸承的接觸非線性和游隙非線性建立了偏置轉子系統動力學模型，分析了徑向游隙對偏置轉子系統的非線性動力學影響；文獻[7]建立了三自由度對稱支承的轉子-軸承系統動力學模型，分析了徑向游隙對系統振動的影響；文獻[8]建立了單自由度剛性轉子非線性動力學模型，分析了徑向游隙對系統非線性動力學的影響；文獻[9]建立單自由度轉子-軸承系統，分析軸承變剛度振動和強迫振動耦合振動對轉子系統非線性動力學特性的影響；文獻[10]建立單跨轉子系統動力學模型，分析了轉速、擠壓油膜間隙對系統非線性動力學特性的影響；文獻[11]建立轉子-軸承系統有限元模型，分析了結構參數對連續質量的轉子系統非線性動力學特性的影響；文獻[12]建立了陀螺儀轉子-軸承系統非線性動力學模型，分析了轉子-軸承系統的阻尼剛度對系統非線性動力學特性的影響；文獻[13-15]建立了偏置轉子系統非線性動力學模型，分析了偏置距離和徑向游隙對轉子系統非線性動力學特性的影響；文獻[16-17]建立了四支承雙跨轉子系統動力學模型，分析了軸承支承下的故障轉子非線性動力學特性；文獻[18-19]建立了三支承雙跨轉子系統動力學模型，分析了滑動軸承支承下故障轉子系統的非線性動力學特性。

上述研究對轉子-軸承系統進行了非線性動力學分析，但僅針對簡單的單跨單盤雙支承轉子-軸承系統，結構參數單一，未根據實際轉子-軸承結構進行建模。鑒于此，以某船用燃氣輪機轉子-軸承系統為例，建立1套深溝球軸承和2套圓柱滾子軸承的三支承雙跨形式轉子-軸承系統，分析支承軸承轉速和徑向游隙對系統非線性特性的影響。

1 滾動軸承建模

為便于對轉子-軸承系統進行非線性動力學分析，做如下假設：1)軸與軸承內圈剛性連接；2)軸承座與軸承外圈剛性連接；3)滾動體在滾道內自由滾動，不產生滑動。滾動軸承簡化模型如圖1所示，圖中：O1為軸承不受載時的軸質心；O2為軸承受載后的軸質心；Ri為內圈半徑；Re為外圈半徑；Gr為徑向游隙；j表示第j個滾動體；θj為第j個滾動體位置角。

根據幾何關系可得

(1)

式中：Z為滾動體數量；t為運動時間。

圖1 滾動軸承簡化模型

第j個滾動體接觸變形量為

χj=xcosθj+ysinθj-Gr，

(2)

式中：x，y為受載后軸質心坐標。

接觸只能產生正向接觸壓力，當χj<0時，不會產生壓力，僅χj>0時才會有壓力，引入Heaviside函數，即

(3)

根據Hertz接觸理論得到軸承恢復力為

(4)

式中：Fbx,Fby分別為軸承在x，y方向的恢復力；Kb為接觸剛度；Fj為第j個滾動體所受載荷;n為載荷-變形指數，對于深溝球軸承，n=3/2，對于圓柱滾子軸承，n=10/9。

2 轉子-軸承系統建模

根據某船用燃氣輪機低壓轉子-軸承系統的實際支承形式，將轉子系統簡化為三支承雙跨的三盤轉子系統，如圖2所示。圖中：O為坐標原點；Ob1，Ob2，Ob3分別為軸承1，2，3的形心；Op1，Op2，Op3分別為盤1，2，3的形心；Oc1，Oc2，Oc2分別盤1，2，3的質心；e1，e2，e3分別為盤1，2，3的偏心距。A段模擬壓氣機段，由2個剛性盤模擬，分別位于壓氣機段的三等分處；B段模擬渦輪段，由一個剛性盤模擬，位于渦輪段中點：整個轉子系統由3套軸承支承(軸承1為深溝球軸承，軸承2,3為圓柱滾子軸承)。模型考慮轉子在軸承和圓盤處的集中質量，轉子與軸承之間采用無質量彈性軸，忽略轉子扭轉振動和軸向振動，僅研究橫向振動，每個集中質量只考慮x，y這2個方向的自由度。

圖2 轉子-軸承系統簡化模型

假設3個盤偏心距相同，由于主要研究軸承對系統非線性響應的影響，假設壓氣機段和渦輪段轉子結構、材料相同，根據平面梁結構關系得到軸段的剛度關系為：k1=k3=k/2，k2=2k，k4=k5=k,k=2.5×107N/m。根據Lagrange運動方程和轉子動力學理論得到系統非線性動力學微分方程組為

(5)

M=diag(mb1,mp1,mp2,mb2,mp3,mb3)，

C=diag(cb1,cp1,cp2,cb2,cp3,cb3)，

K=

Fbx=(Fbx,0,0,Fmx,0,Frx)T,

Fby=(Fby,0,0,Fmy,0,Fry)T,

X=(xb1,xp1,xp2,xb2,xp3,xb3)T,

Y=(yb1,yp1,yp2,yb2,yp3,yb3)T,

Fex=(0,mp1e1ω2cos(ωt),mp2e2ω2cos(ωt),

0,mp3e3ω2cos(ωt),0)T,

Fey=(0,mp1e1ω2sin(ωt),mp2e2ω2sin(ωt),

0,mp3e3ω2sin(ωt),0)T,

式中：M為系統剛度矩陣；C為系統阻尼矩陣；K為系統剛度矩陣；Fbx，Fby為軸承恢復力矩陣；Fex，Fey為轉子不平衡力矩陣；g為重力加速度；mb1，mb2，mb3分別為轉子在軸承1，2，3處的集中質量；mp1，mp2，mp3分別為轉子在盤1，2，3處的集中質量；cb1，cb2，cb3分別為轉子在軸承1，2，3處的阻尼；cp1，cp2，cp3分別為轉子在盤1，2，3處的阻尼；Flx，Fmx，Frx為軸承1，2，3恢復力的水平分量；Fly，Fmy，Fry為軸承1，2，3恢復力的垂直分量；ω為角速度；xb1，xb2，xb3分別為軸承1，2，3的水平位移；xp1，xp2，xp3分別為盤1，2，3的水平位移；yb1，yb2，yb3分別為軸承1，2，3的垂直位移；yp1，yp2，yp3分別為盤1， 2，3的垂直位移。

引入量綱一化參數

(6)

式中：γ是與軸承徑向游隙相當的一個長度量,數值選擇根據數值計算方便。

對(5)式進行量綱一化處理可得

(7)

3 系統非線性動力學分析

軸承主要結構參數見表1，轉子參數為：mb1=1.2 kg，mb2=1.2 kg，mb3=1.2 kg，mp1=2.09 kg，mp2=11.00 kg，mp3=6.00 kg，cb1=2 200 N·s/m，cb2=2 200 N·s/m，cb3=2 200 N·s/m，cp1=1 050 N·s/m，cp2=1 050 N·s/m，cp3=1 050 N·s/m，k=2.5×107N/m，e1=e2=e3=10 μm。微分方程組具有強非線性，故采用四階Runge-Kutta法求解。變剛度頻率fvc=frRi/(Ri+Re)(fr為軸旋轉頻率)。

表1 軸承主要結構參數

3.1 轉速對系統非線性動力學特性的影響

隨轉速逐漸增大，旋轉機械運動狀態發生復雜變化。以轉速n為變量，分析盤1水平位移的分岔非線性特性，結果如圖3所示。由圖3可知：隨轉速增大，盤1經歷了擬周期、單周期、擬周期、周期二、周期四、周期二和單周期運動過程，說明系統具有復雜的非線性特性。

圖3 盤1水平位移隨轉速變化的分岔圖

在n=1 432 r/min時盤1的頻譜圖如圖4所示(頻率比λ為特征頻率與旋轉頻率的比值)，由圖可知：系統有3個激振頻率，1個轉速激勵頻率和2個軸承變剛度頻率。在fr，fvc1(軸承1變剛度頻率)，fvc2(軸承2,3變剛度頻率)處出現峰值，且變剛度頻率幅值大于旋轉頻率幅值，系統振動頻率以軸承變剛度頻率為主。分析結果與文獻[20]一致。

圖4 在n=1 432 r/min時盤1的頻譜圖

盤1水平位移隨轉速變化的三維譜圖如圖5所示，由圖可知:隨轉速增大，盤1變剛度頻率幅值逐漸減小，旋轉頻率幅值逐漸增大，不平衡激勵為盤1的主要激勵。當轉速遠小于臨界轉速(8 000 r/min)時，盤1變剛度頻率和旋轉頻率的作用差別不大，軸承變剛度頻率幅值與旋轉頻率幅值接近，且頻率不可相約，故盤1表現為擬周期運動。

圖5 盤1水平位移隨轉速變化的三維譜圖

不同轉速下盤1的龐加萊圖和頻譜圖如圖6所示，由圖可知：1)n=5 254 r/min時，龐加萊圖為一個封閉曲線，頻譜圖有多個不可相約的主要峰值；2)n=9 745 r/min時，龐加萊圖為一個點，頻譜圖上主要是旋轉頻率及其倍頻;3)n=14 426 r/min時，龐加萊圖為一個不規則的封閉曲線，頻譜圖上出現較多的低倍頻。

圖6 盤1的龐加萊圖(左)和頻譜圖(右)

隨轉速增加，不平衡激勵及其分頻越來越明顯，盤1逐漸出現分岔運動。更高的轉速下，盤1的龐加萊圖如圖7所示，由圖可知：在轉速為18 535，20 636，22 356，24 936 r/min時龐加萊圖分別為2個單點、4個單點、2個單點和1個單點，對應盤1的周期二、周期四、周期二和單周期運動。

圖7 高轉速下盤1的龐加萊圖

3.2 徑向游隙對系統非線性動力學特性的影響

3.2.1 3套軸承同時變化

轉子-軸承系統非線性因素主要來自軸承恢復力，體現為軸承載荷-變形指數和恢復力分段性。根據Hertz接觸理論，載荷-變形指數與軸承類型有關,恢復力分段性由徑向游隙決定，與軸承結構參數有關。在此分析徑向游隙同時變化對系統非線性動力學特性的影響。

3套軸承徑向游隙相同，隨徑向游隙增大盤1水平位移的分岔圖如圖8所示，由圖可知:隨徑向游隙增大，盤1經歷了單周期、周期二、周期四和周期二運動。當徑向游隙小于6.4 μm時，盤1進行單周期運動，此時徑向游隙較小，軸承恢復力非線性比較弱，軸承恢復力對系統非線性運動影響較小；徑向游隙為6.4～11.1 μm時，盤1進行周期二運動，徑向游隙增大使盤1發生倍周期分岔；徑向游隙為11.1～ 25.9 μm時，盤1進行周期四運動；最后進行周期二運動。

圖8 隨徑向游隙增大盤1水平位移的分岔圖

不同徑向游隙時盤1水平位移的相圖如圖9所示，由圖可知： 當徑向游隙為5 μm，相圖為一個封閉曲線；當徑向游隙為8 μm，相圖為2個封閉曲線；當徑向游隙為20 μm時，相圖為4個封閉曲線；當徑向游隙為28 μm時，相圖為2個封閉曲線。不同徑向游隙時盤1的龐加萊圖如圖10所示，由圖可知：當徑向游隙為5 μm時，龐加萊圖為孤立的點；當徑向游隙為8 μm時，龐加萊圖為2個孤立的點；當徑向游隙為20 μm時，龐加萊圖為4個孤立的點；當徑向游隙為28 μm，龐加萊圖又是2個孤立的點；分析結果與盤1的水平位移分岔圖對應。

圖9 不同徑向游隙時盤1的相圖

圖10 不同徑向游隙時盤1的龐加萊圖

3.2.2 單套軸承徑向游隙變化

在實際工作過程中，由于系統質量沿軸向分布不均或由于潤滑不足等原因，滾動體與內、外滾道接觸而磨損,會使軸承徑向游隙發生較大的變化，偏離了原始設計值。根據某船用燃氣輪機實際工況，渦輪處軸承工作在高溫環境中時，軸承徑向游隙變化較大，在此分析右端軸承(軸承3)徑向游隙變化對系統非線性動力學特性的影響。

隨軸承3徑向游隙變化，盤1水平位移的分岔圖如圖11所示。由圖可知：當徑向游隙小于2.2 μm時，盤1進行單周期運動；當徑向游隙超過2.2 μm時，盤1通過倍周期分岔進入周期二運動狀態，且大范圍游隙內盤1進行周期二運動。

圖11 盤1水平位移隨軸承3徑向游隙變化的分岔圖

軸承3不同徑向游隙時盤1的相圖和龐加萊截面圖如圖12所示，由圖可知:1)徑向游隙為2 μm時，盤1相圖只有一個封閉的圓形，龐加萊圖上只有一個孤立的單點，充分說明了此時盤1處于單周期運動狀態；2)徑向游隙為20 μm時，盤1的相圖有2個互相交叉的封閉圓形，龐加萊圖有2個孤立的點，說明此時盤1處于周期二運動狀態。

圖12 軸承3不同徑向游隙時盤1的相圖和龐加萊圖

4 結論

以某船用燃氣輪機為研究對象，建立了三支承雙跨三盤滾動軸承支承動力學模型，分析了轉速、徑向游隙對轉子-軸承系統非線性動力學特性的影響，得出以下結論：

1)隨轉速增大，軸承變剛度影響變弱，系統主要表現為轉頻的倍頻和分頻運動，出現擬周期、單周期、周期二、周期四等復雜非線性運動。

2)3套軸承徑向游隙同時增大時，系統通過倍周期分岔途徑運動，且軸承徑向游隙越大，系統運動越復雜，當徑向游隙超過一定范圍，由于游隙過大，滾動體與內外圈接觸不充分，系統表現為周期二運動。在軸承設計時，應根據轉子系統工作環境溫度、載荷等，控制軸承徑向游隙小于6.4 μm，保證轉子系統處于穩定的單周期運動狀態。

3)由于轉子-軸承系統右端軸承徑向游隙增大，系統通過倍周期分岔途徑由單周期過渡到周期二運動，該非線性特性可作為右端軸承徑向游隙增大的判斷依據，為軸承故障診斷提供理論依據。