正交小波的多分辨分析的研究

劉江

摘 要：本文引入并定義了函數系構成中的小波基。討論正交小波構造方法。

關鍵詞：小波;多分辨分析;構造方法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.17.203

最早的小波變換是不需要在乎函數是否正交的，那時候只有CWT，其計算是通過積分類似差分方程來計算小波系數的，小波的核心思路——伸縮和平移的基礎理論就是這時提出的，這時多分辨分析的完整概念其實還沒有完全提出來，但CWT其實也姑且可以認為是有多分辨分析性質的。

后來mallat和Daubechies覺得CWT能干的事太少，功能偏弱，于是絞盡腦汁提出了mallat算法，這就是后來使用mallat算法的DWT。這要分解細節和逼近就涉及了正交函數問題，但其實關于正交函數變換的問題已經研究了很長時間，在mallat算法之前有很多關于正交函數的變換研究，為mallat算法的研究提供了基礎，它們才可為鼻祖，mallat只是覺得這些理論可以很好地與小波變換聯系起來，于是最終提出了mallat算法。后來人們放寬了條件，發現即使是不正交的雙正交小波也可以使用mallat算法，這也正是這個算法著名的地方。不正交或不雙正交的小波只能用于CWT、二進小波變換或不使用mallat算法的DWT。

所以，目前通常的DWT指的都是使用mallat算法的DWT，也就是多分辨分析（提到多分辨分析這個特定概念名詞通常必然是使用了mallat算法的），它可以使用正交小波來變換，也可以使用雙正交小波來變換。

1 基本概念

小波分析的出發點之一是構造函數空間的各種基底，包括：框架、Riesz基與正規正交基等，進而得到空間的各種分解。如果是中的正交小波，則函數系構成中的一個正規正交基，稱為小波基。因此，本文重要定義并討論多分辨分析為構造正交小波提供了統一方法。

參考文獻：

[1]Reihani M H，Abadi Z.Rationalized Haar function method for solving Fredholm and Volterra intergral equation[J].J.Comp.Appl.Math.，2007（20）：12-20.

[2]姜國.一類Volterra積分方程的有理化Haar小波解法[J].湖北師范學院學報，2007，27（02）：48-53.

[3]Maleknejad K，Mirzaee F.Using rationalized Haar wavelet forsolving linear integral equations[J].Applied Mathematics andComputation，2005（160）：579-587.

[4]連新澤，林長勝，陸征一.一類非線性微分方程組的有理化Haar小波解法[J].純粹數學與應用數學，2010（01）.

[5]Razzaghim O.Solution of differential equations via rationalized Haar functions [J].Mathematics and Computers in Simulation，2001，56（03）：235-246.