隨機沖擊下多相關退化的競爭失效可靠性模型

劉漢蔥，唐家銀，劉 赪，譚啟濤

(西南交通大學 數學學院, 成都 611756)

隨著高可靠性、長壽命產品的出現，經典的可靠性研究方法以產品的壽命數據作為研究的對象，但對于高、長壽命產品，在短時間內很難得到產品的壽命數據。實際生活中，高、長壽命產品在生產和使用過程中，可利用監測工具獲取大量關于產品的性能退化數據。以性能退化數據作為可靠性研究的對象起源于20世紀90年代中期，由于性能退化數據可以保證不減少產品的使用壽命，更符合實際需求，因此從20世紀末開始已經有許多基于退化數據的可靠性研究[1-2]。

目前，基于性能退化數據的研究成為可靠性研究的重點[3-8]。系統的性能退化是由內部退化和外界隨機沖擊帶來的退化這兩部分構成。一方面，內部退化使得系統抵抗外界沖擊的強度降低，使得系統更容易失效；另一方面，外界沖擊加速了內部退化進程，表現在兩方面：其一，外界隨機沖擊帶來的瞬間退化加快了內部退化；其二，沖擊降低了系統的強度進而影響了失效閾值。對于系統性能退化受制于內部退化和外界隨機沖擊的產品而言，其失效可分為軟失效(退化型失效)和硬失效(突發型失效)。當累積退化量超過失效閾值時發生的失效稱為軟失效。當外界沖擊的強度過大或者隨機沖擊次數的間隔時間太短發生的失效稱為硬失效。系統的內部退化有各種退化模式，而各個退化模式之間是相關的。外界沖擊對各個退化路徑的失效閾值都會產生影響，需要建立變失效閾值模型。實際生活中，各個退化路徑是相關的，所以建立相關性模型很有現實意義。

近年來，基于隨機沖擊和內部退化競爭失效的可靠性評估成為研究的熱點。黃文平等[5]基于變失效閾值的競爭失可靠性模型，假定退化過程為線性退化過程，分別研究了沖擊為極值沖擊、δ沖擊情形下的可靠性模型。Song等[6]研究了在不同部件受到沖擊時，基于部件退化對系統進行了可靠性建模，并用仿真驗證了模型的實用性。Hao和Zhao等[9]假定退化為線性伽馬退化過程，沖擊為泊松過程，基于競爭失效過程進行了多態相關的可靠性建模。Fan等[14]基于退化與沖擊相關競爭失效的可靠性建模。

本文從相關性的角度出發，對于伴隨隨機沖擊及內部退化的系統，考慮各退化路徑相關的情形下，建立了系統可靠性模型。通過Copula相關內容，刻畫了各退化路徑之間的相關性。為了計算方便，本文假設性能退化過程均為線性退化過程，沖擊過程為極值沖擊模型，且各參數均服從正態分布。最后結合仿真案例，證明了模型的可行性、有效性和較高的工程應用價值。

1 符號說明和系統描述

1.1 符號說明

1.2 系統描述與模型假設

假設系統只存在性能退化失效，但外界存在多個隨機沖擊，總退化量由兩部分構成：系統的連續性能退化導致的退化量(簡稱內部退化)和每次外界沖擊導致系統性能的退化量的突然增加。

為了模型建立的合理性，進行如下假設：

1) 系統存在k種性能退化模式，且內部退化過程為線性退化過程；

2) 外界存在m種沖擊，其到達率為λm的齊次泊松過程；

3) 同一沖擊對不同的性能退化造成不同的影響。

當系統的任意一種性能退化量Xl(t)超過失效閾值Hl時，發生性能退化失效。假定第l(l=1,…,k)種性能退化模式的退化過程為

Xl(t)=φl+βlt

(1)

(2)

因此系統第l(l=1,…,k)種退化模式的總性能退化量為

(3)

圖1為競爭失效的圖解。

圖1 競爭失效圖解

2 Copula定義及相Sklar定理

定義1[17]n維Copula是一個函數C：[0,1]n→[0,1]，且滿足：

當ui,i≠k,i=1,2,…,n=1，對任意0≤uk≤1，則

定理1[17](n維Sklar定理)H(x1,x2,…,xn)是n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的聯合分布函數，其邊際分布分別是F(x1),F(x2),…,F(xn)，那么存在唯一的n維Copula函數C(u1,u2,…,un)，使得對任意的(x1,x2,…,xn)∈Rn有

H(x1,x2,…,xn)=Cθ(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(4)

其中：θ是相關程度參數；Cθ解析形式因相關結構各異。

3 基于隨機沖擊的系統可靠性建模

3.1 相關性失效下伴隨單隨機沖擊、多退化模式下的可靠度模型

假設系統存在k種性能退化模式，伴隨一種隨機沖擊，并且各性能退化之間相互影響。則系統第l(l=1,…,k)種性能退化模式的總性能退化量為

(5)

當各性能退化模式失效相關時，XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)不再獨立，因此評估任意t時刻的可靠度函數涉及各性能退化模式在t時刻的聯合密度函數f(x1,x2,…,xn;t)。由n維Sklar定理，XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)的聯合密度函數為

(6)

當然XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)的時變相關結構C(u1,…,un;θt)可以通過本文后續第6節的方法，依據樣本數據統計擬合得到。因此，系統的可靠度函數為：

RS(t)=P(XS(t)

(7)

3.2 相關性失效下伴隨多隨機沖擊、多退化模式下的可靠度模型

假設系統存在k種性能退化模示，伴隨m種隨機沖擊，并且各性能退化之間相互影響。則根據上小結的思想，系統的可靠度函數為：

RS(t)=P(XS(t)

(8)

4 基于極值沖擊的系統可靠性建模

當外界沖擊為極值沖擊模型，且沖擊到來的強度服從參數為λ的泊松過程時，假設系統有一種沖擊兩種退化路徑，其中沖擊均為極值沖擊，退化路徑均為線性退化路徑，沖擊量大小為Wi，所有的Wi為獨立同分布的隨機變量。在性能退化量小于L1時，其失效閾值為D1；性能退化量大于L1小于H1時，其失效閾值為D2。在性能退化量小于L2時，其失效閾值為D1；性能退化量大于L2小于H2時，其失效閾值為D2。則在不同失效閾值條件下，系統不發生突發失效的概率為

P(Wi

(9)

(10)

其中Φ(·)為標準正態變量的分布函數。則系統在(0,t]時間內，系統的可靠度可以表示為

(11)

由于R(t|N(t)=i)的計算過于復雜，以下分5種情況進行討論：

1) 系統在(0,t]時間內沒有發生外界沖擊，則系統可靠度為

R1(t)=R(t|N(t)=0)·P(N(t)=0)=

P(X1(t)

(12)

2) 系統在(0,t]時間內，發生外界沖擊大于等于1次，且兩種性能退化量均小于Lp(p=1,2)，則系統可靠度為

(13)

3) 系統在(0,t]時間內，發生外界沖擊大于等于1次，且第1種性能退化量大于L1小于H1，第2種性能退化量小于L1，則系統可靠度為

(14)

其中RS(t|N(t)=i)為在沖擊次數為N(t)=i的條件下系統不發生突發失效的可靠度函數。

由于系統在時刻t的性能退化量大于L1，令u(u

由泊松過程的獨立增量性可得

(15)

令FX1(k,L1,t)表示在外界沖擊次數為N(t)=k且第一種退化性能退化量小于L1的分布函數。則

(16)

故其密度函數為

(17)

由此可得：

(18)

4) 系統在(0,t]時間內，發生外界沖擊大于等于1次，且第一種性能退化量小于L1；第二種性能退化量大于L1小于H1,則系統可靠度的計算類似于 3)，就不再具體給出。

(19)

5) 系統在(0,t]時間內，發生外界沖擊大于等于1次，且兩種性能退化量均大于Hq(q=1,2)，則系統的可靠度函數為

(20)

由于系統在時刻t的性能退化量大于L1，令u1(u1

(21)

(22)

令FX1(k,L1,t)表示在外界沖擊次數為N(t)=k1且第1種退化性能退化量小于L1的分布函數;FX2(k,L2,t)表示在外界沖擊次數為N(t)=k2且第1種退化性能退化量小于L2的分布函數，則

(23)

(24)

故其密度函數為

(25)

(26)

由此可得

(27)

系統在運行到時刻t時，其狀態是上述5種狀態之一，且它們為互斥事件，因此系統在時刻t時的可靠度為上述5種之和，由此可得：

R(t)=R1(t)+R2(t)+R3(t)+R4(t)+R5(t)

(28)

5 時變Copula的選擇

假設存在k種退化模式，觀測時間為t1,t2,…,tm，共有N個試驗樣本，獲得觀測數據：

為計算系統的可靠度，需對相關結構進行選擇，具體步驟如下：

步驟3記選出的Copula函數(共M=M1+M2+…+Mm個)集合為：{C1(u1,u2,…,uk,β1),C2(u1,u2,…,uk,β2),…,CM(u1,u2,…,uk,βM)}

步驟4根據每一備擇Cf(u1,u2,…,un,βf)(f=1,…,M)在tj(j=1,2,…,m)時刻，得到對應似然函數：

步驟5將tj(j=1,2,…,m)時刻k種退化模式的觀測數據按列變量排序：

6 仿真算例

基于微電子機械系統疲勞機制，這些研究中強調的微電子機械系統器件是Sandia開發的微型發動機，其正交靜電線性致動器連接到輪轂上的齒輪。齒輪主要失效機理是接觸區域的磨損，還使用滑動梁上試驗結構來測量不同表面涂層和環境的摩擦系數和磨損形態。其參數如表1所示。

表1 仿真算例參數

將表1中的值代入式(28)得到了微電子的可靠性曲線。表中的參數可以根據實際情況進行調整。

圖2 微電子產品的可靠度函數

通過可靠性曲線，得到微電子產品在兩種退化下受到極值沖擊時，產品的可靠度的一般規律。隨著時間的推移，在產品的初期和末期，可靠性曲線下降比較快，而在中期比較平穩，這與熟知的產品失效率“浴盆”狀是吻合的。從圖中還可得到受到同一種沖擊的產品，在不同的退化路徑下，其可靠性下降趨勢是不同的，這與前文得到的結論是一致的。

7 結論

對系統經歷性能退化和外界沖擊過程造成的退化，建立了競爭失效可靠性模型。通過仿真案例，驗證了模型的合理性和有效性。

本文基于線性退化軌跡下，有如下結論：

1) 一般情形下系統可靠性表達的解析式；

2) 通過時變Copula選擇方法，得到了相關性退化、極值沖擊下系統可靠性表達式，并具體給出了兩種退化路徑，一種極值沖擊下的可靠度函數表達式；

3) 結合競爭失效的理論知識，在給定參數下，得到了案例的可靠度函數，加強了理論知識。

本文只考慮了退化過程為線性退化，在后續的研究中可以考慮多沖擊及其他形式退化過程下系統競爭失效的可靠性建模。