縱向數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)指數(shù)回歸模型的參數(shù)估計

劉廣會 孫蝶

摘 要：基于半?yún)?shù)模型的特點，結(jié)合縱向數(shù)據(jù)的基本特征，建立縱向數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)指數(shù)回歸模型，并利用極大似然估計方法對該模型的參數(shù)進(jìn)行估計，討論模型的Fisher信息矩陣，在此基礎(chǔ)上給出似然方程的Newton-Raphson迭代求解過程。

關(guān)鍵詞：縱向數(shù)據(jù);半?yún)?shù)指數(shù)回歸模型;極大似然估計;Newton-Raphson迭代

一、模型引言

縱向數(shù)據(jù)是指對一組個體按照不同的時間或者空間順序重復(fù)觀察而得到的數(shù)據(jù)[1-2]。縱向數(shù)據(jù)最大的特點就是組內(nèi)數(shù)據(jù)相關(guān)而組間數(shù)據(jù)是獨立的。近年來，在生物統(tǒng)計，醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中對總線數(shù)據(jù)的下各種模型的研究引起國內(nèi)外廣大學(xué)者的追捧。縱向數(shù)據(jù)主要是為了分析響應(yīng)變量與相關(guān)協(xié)變量之間的變化影響關(guān)系，并且經(jīng)常適用回歸分析的研究方法進(jìn)行研究。常用的回歸模型有參數(shù)模型E（y）=α+βx、非參數(shù)模型E（y）=α+f （x）、半?yún)?shù)模型E（y）=α+βx1+f （x2）等[3]。參數(shù)模型、非參數(shù)模型的縱向數(shù)據(jù)研究較為成熟。本文建立縱向數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)指數(shù)分布回歸模型，并對模型中的參數(shù)進(jìn)行估計。

縱向數(shù)據(jù)半?yún)?shù)指數(shù)回歸模型

，，

其中是已知設(shè)計的點列，表示為第個個體在時刻相應(yīng)的個協(xié)變量的觀測值組成的向量，表示觀測的時間。是維未知回歸參數(shù)向量，是定義在區(qū)間上的光滑的未知函數(shù)。，，當(dāng)時，與相互獨立。表示反應(yīng)變量在第個個體第次的觀測響應(yīng)值。

本文基于縱向數(shù)據(jù)建立指數(shù)回歸模型[4-6]

其中，的概率密度函數(shù)為

二、模型參數(shù)估計

應(yīng)用一般的線性回歸模型中的參數(shù)的估計方法，利用觀測到的數(shù)據(jù)得到模型中的未知參數(shù)和光滑未知函數(shù)估計表達(dá)式。這里的函數(shù)是關(guān)于時間的函數(shù)。

通常函數(shù)的逼近可以用表達(dá)式做近似代替。即設(shè)

，

其中 是基函數(shù)向量。

設(shè)對變量，

則有相應(yīng)的指數(shù)回歸模型為

，

其中，，為未知參數(shù)。

則的對數(shù)似然函數(shù)為

令

則有

故對求偏導(dǎo)數(shù)有

令

即

則得到未知參數(shù)的估計值為 ，但由于的估計值是非線性的方程組，因此用迭代方法求解。

三、信息矩陣

定義：設(shè)為正則分布族，。

記

定義

稱為分布族的信息陣。

建立在相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，對對數(shù)似然函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)，并計算的信息矩陣及其估計式

參數(shù)的信息矩陣是個二階偏導(dǎo)數(shù)所組成的方陣的負(fù)矩陣的期望，并記為。信息陣中每個元素與隨機(jī)變量的觀測值無關(guān)[7]。故

根據(jù)計算最大似然估計的基本理論，獲得的最大似然估計值的協(xié)方差矩陣為

并求得的最大似然估計，帶入，從而得的估計值為

四、指數(shù)回歸模型的參數(shù)最大似然方程的迭代求解

迭代法的基本思路

設(shè)是關(guān)于參數(shù)的元函數(shù)，要求出，使得

令

設(shè)為第次迭代所得的參數(shù)的值，帶入到和可以計算出和的值。在處將函數(shù)按照元函數(shù)的公式展開，展至二次項為即可，有

令

可以解出為，該式就是求解迭代法的一般公式[8]。

基于迭代方法的思路提出指數(shù)回歸模型的參數(shù)估計基本步驟：

作為對數(shù)似然函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，即

此時令

由此可以得到指數(shù)模型的參數(shù)的最大似然估計的迭代式為

因此指數(shù)模型的參數(shù)的最大似然估計的迭代的計算步驟如下：

第一步：給定初始值，計算，并計算和。

第二步：將，和代入，求得。

第三步：由計算出，并計算出和，并將所獲得的，和值代入，求得。

第四步：重復(fù)第三步驟，當(dāng)達(dá)到時，設(shè)定的誤差限，有

通過這種方法便可以獲得的最大似然估計。

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