萬變不離其宗，尋求“不動點”

倪盼

摘 要 定值定點問題是圓錐曲線重點考察問題之一，亦是學生容易出錯的難點問題。本文通過總結定值定點常考的四種類型：設而不求，找點取證，從猜想到證明，從推理到消元，幫助學生理清其思路，解決定點和定值問題，增強數學運算、邏輯推理等思維能力。

關鍵詞 圓錐曲線 定值定點 數學運算 邏輯推理 思維能力

中圖分類號：G633文獻標識碼：A

0引言

在高考圓錐曲線問題中，定值定點問題是老生常談的話題。這類問題既考查學生的數學運算，又考查學生的邏輯推理能力，歸納梳理這類問題的思想和方法，有助于培養學生的數學運算和邏輯推理這兩個數學核心素養，體現新課標對高中數學的重視程度，圓錐曲線中的定點定值問題，便是考察學生數學素養的一個重要途徑。

1內容分析

1.1考點提要

此類問題主要涉及到直線、圓與圓錐曲線等方面的知識，滲透了函數與方程、轉化與化歸、數形結合，分類討論的思想，所以是高考的熱點題型之一。但是這類問題難度相對較大，學生在第一輪復習中的掌握情況較差。為了提高第二輪復習的有效性，本文通過歸納整合定值定點問題，梳理這類題的思想和方法，對問題進行剖析，希望給學生們一些指導。

1.2深究例題

發現例題的考點，舉一反三，觸類旁通，先用分析法分析，思考并嘗試解決，尋找關鍵點。

1.3一題多解，多題多解

在選題時，要明確選題的目的在于解決本專題的重點或者難點內容，更好地發揮典型題目的示范作用和學生的正向遷移能力。

2定點定值的類型

2.1設而不求

（2014山東理）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有。當點的橫坐標為3時，為正三角形。

（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，

（i）證明直線過定點，并求出定點坐標。

解：分析：要求直線過定點，就要找斜率與截距的關系，由拋物線性質知，，，由得所以直線AB的斜率。因為直線與直線AB平行，所以設直線的方程可以表示出來，導出點坐標，最后找到斜率與截距的關系，得到直線AE恒過點。

知識小結：此類題由斜率入手，設點卻不求出具體的點的坐標，通過分析法和邏輯推理能力，找到變量之間的關系，找到斜率和截距的關系，得到直線的表達式進而求出定點坐標。設而不求比較適合于直線與圓錐曲線的交點均未知的情況，化簡要求比較高。

2.2“找點取證”

（2016年全國新課標Ⅰ理模擬卷）已知橢圓經過點，離心率為。

（2）直線與橢圓交于兩點，點是橢圓的右頂點。直線與直線分別與軸交于點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標;若不是，說明理由。

解：由第一問知：橢圓的方程是。分析：將題意轉化為幾何條件得。，設，，，，。，，假設存在這個定點，則有①轉化為代數條件。

三點共線用斜率相等來證：

知識總結：利用點的位置關系，借助三點共線，斜率相等求出點的坐標，整體代入求出具體定值，培養學生貫穿知識點的能力，一步一步推理，借助其他點求出要求的點的坐標，學會觸類旁通。定點問題：求某直線過定點，或者確定一個定點的坐標。定值定點問題是備受關注的問題，這類解答題既考驗學生的數學運算能力，又考查學生的邏輯推理能力，注重知識的遷移和轉換，具有較強的嚴謹性。

2.3從猜想到證明

（2015四川理）如圖，橢圓的離心率是，過點P（0，1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓E截得的線段長為。

（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由。

解：分析：先猜后證，首先根據特殊位置和數值猜想定值，其次講這個值代入題中，證明其與變量無關。先分析直線斜率存在，或者不存在得出的結論，再證明結論成立。當直線平行于軸時，設直線與橢圓相交于C、D兩點，如果存在Q點滿足條件，則有，即，所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為。

本題的難點是通過作B的對稱點將問題轉化.這種類型題考查學生的推理能力和運算能力，利用數形結合思想，教會學生從特殊到一般，根據特殊情況找到結果，再證明其普遍性。從特殊到一般，是培養學生合情推理，通過對問題的理解和對知識的表征，先求當直線平行于軸或垂直于軸這樣的特殊位置，再求任意位置，也突顯出數學的邏輯推理性，適合學生理解和掌握，并且能很好地運用在數學教學中。

2.4從推理到消元

首先用推理和計算的方法，其次在計算過程中消去變量，得到定值。解答題的核心點在于分析，題和假設的關系，進而建立合適的方程或函數，利用變量關系統一變量，最后消元得到定值。

（2018北京理）已知拋物線：2=2px經過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線與拋物線C有兩個不同的交點A，B且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N。

（Ⅱ）設為原點，，，求證：為定值。

解：分析：由向量關系將和表示出來，最后在計算過程中消去變量，得到定值，設點，，則，，，，，

3歸納總結

（1）本質分析。定點、定值問題的本質在于對問題的分析和掌握程度，以及邏輯推理和數學運算的應用，用適當的方法建立變量之間的關系，通過分析和推理，轉化成定值、定點問題，利用數學運算求出最后的結果。

幾何條件的轉化。例如求三點共線，線線垂直、線線平行、夾角。我們可以將幾何條件轉化為代數條件，轉化的方向有兩類，一類是向量，一類是斜率。

（2）考察能力。大部分學生遇到圓錐曲線問題只會用韋達定理，其實做這類題，應該首先用分析法，提前分析過程，分析考題的核心，韋達定理只是解題的手段，而不是解題的主要思路。主要考察學生數學運算和邏輯推理能力。常用方法：設而不求，找點取證，從猜想到證明，從推理到消元。

（3）總結反思。教師要教學生如何分析，比如假設直線方程時，考慮斜率不存在。教師要教如何思考，比如對定點問題，要分析是點還是斜率。教師要教如何總結，比如分析四中方法的核心和整個過程，可以一題多解，也可以多題多解。高考總復習要注意考試的核心，以及知識的整體思路，舉一反三，靈活應用。

參考文獻

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[3] 張躍紅.撥開迷霧 找準方向——從高三復習課《圓錐曲線》一道例題的化簡方法談起[J].數學通報，2017，56（09）：43-46+62.