移動荷載作用下多跨梁的振動特性研究

朱偉偉

摘 要：利用傳遞矩陣法，在隨荷載移動的動態坐標系下建立了彈性地基上帶阻尼多跨梁的波傳播分析模型，分析了阻尼和失諧各自單獨作用以及同時存在對波動速度帶的影響。研究表明，阻尼和失諧均會導致結構中發生波動局部化，隨著阻尼和失諧程度的增大，波動衰減增強。在速度通帶內，阻尼和失諧引起的效應可以簡單疊加。對于同一阻尼系數和失諧水平，阻尼引起的衰減效應明顯大于失諧所致。

關鍵詞：周期梁 移動荷載 失諧 阻尼 波動特性

中圖分類號：O327；TH113 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

實際工程中移動荷載經常出現，并使結構產生強烈的振動以及顯著的變形，因此，研究結構中移動荷載引起的波傳播問題得到了學術界的廣泛關注，但以往的研究對象主要集中在均勻結構中。

近年來，一些學者開始致力于研究諧調周期結構中由移動荷載引起的波動傳播現象。Aldraihem和Baz[1]利用有限單元法和沖量參數激振法研究了恒定移動荷載作用下諧調周期階梯梁的動態穩定性，研究發現通過調整階梯梁的空間間距可以改變結構的某些振動模態，從而提高其穩定性，且壓電驅動器的嵌入將會使結構的穩定效果達到更佳。Ruzzene和Baz[2]針對軸對稱諧調周期加固圓柱殼，計算了傳遞矩陣的特征值，并給出了不同移動荷載速度和結構尺寸變化對波傳播動力學的影響，指出周期結構在移動荷載作用下存在傳播域和衰減域，周期性地加固結構可以顯著改善殼體的動態穩定性。Yu等[3]將該方法應用到彈性地基上由兩種不同材料構成的諧調周期復合管系統中，研究了恒定移動荷載作用下結構的穩態振動波傳播，明確指出類似于頻域，速度域內同樣存在振動帶隙，可以利用此特性控制移動載荷下波動的傳播。但是，實際工程結構總是不可避免地同諧調周期結構存在一定的偏差，稱之為失諧。失諧會顯著地影響周期結構的動力特性[4-5]。對于帶阻尼失諧周期結構，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂蘭[7]對比分析了頻域內失諧和阻尼對多跨梁動力特性的影響，指出不同激振頻率下，阻尼和失諧引起的梁動力特性的變化規律相同。而到目前為止，關于帶阻尼失諧周期結構由移動荷載引起的波傳播問題的研究很少涉及，因此有必要對其進行研究。

本文由彈性地基上梁的垂向波動微分方程，建立了結構中各跨在隨荷載移動的動態坐標系下的動態剛度矩陣，并利用傳遞矩陣法得到了相鄰各跨的傳遞矩陣，進而采用局部化因子分析了阻尼和失諧對波動局部化特性的影響，為周期多跨梁的振動控制提供了新的思路。

1 多跨梁波動控制方程和傳遞矩陣

圖1為彈性地基上的多跨梁，荷載以速度沿梁移動。相鄰跨間通過線彈簧和抗彎彈簧與基礎相連，線彈簧剛度和抗彎彈簧剛度分別為Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理論[8]，阻尼采用復阻尼，則移動荷載下第j跨梁的彎曲波動微分方程可寫為

利用傳遞矩陣，可以計算出d對互為相反的Lyapunov指數[9]，第d個Lyapunov指數λd即為局部化因子。對于本文中的諧調多跨梁結構，相鄰跨間的傳遞矩陣Tj保持不變，且其維數為4×4，因此局部化因子為λ2。利用局部化因子即可分析失諧周期梁的波動局部化現象。

2 算例及分析討論

根據上述理論模型，分析阻尼和失諧對移動荷載下彈性地基上周期多跨梁波動局部化特性的影響。所用到的幾何和材料參數如下：跨長為5m，彈性模量為2.11011N/m2，泊松比0.3，截面慣性矩3.05510-5m4，密度7800kg/m3，橫截面面積7.68410-3m2，截面剪切形狀系數0.4。無量綱地基剛度系數，彈簧的線剛度和抗彎剛度。本文設多跨梁的跨長lj發生失諧，且服從均值為l0=5m，變異系數為δ的均勻分布。

2.1 諧調帶阻尼梁

圖2給出了不同阻尼系數下，諧調周期多跨梁（δ=0）中彎曲波動局部化因子隨荷載移動速度的變化情況。由圖可知，當阻尼系數η=0時，結構中存在明顯的速度通帶和禁帶：如在速度區間m/s，局部化因子λ2>0，該區間即為速度禁帶，在速度禁帶內，波動將局限在移動荷載附近；在速度區間m/s，局部化因子λ2=0，該區間即為速度通帶，在速度通帶內，波動能夠自由地傳播。對于帶阻尼多跨梁，原速度通帶內局部化因子出現大于零的情況，并且隨著阻尼系數的增大而增加，波動發生更大的衰減。在通帶區域邊界處，阻尼引起的衰減通常更大。同時，在低速度通帶內，波動衰減得更加強烈，而在高速度區，阻尼引起的衰減并不明顯。注意到，局部化因子在495和665 m/s附近時突然增大，這種現象是由于此時兩種波的衰減常數相等，即兩種波合并形成了一種衰減波，衰減程度增強。因而，可以通過調整結構的阻尼系數和荷載移動速度來改變結構的波傳播特性。

2.2 失諧無阻尼梁

圖3給出了跨長lj發生失諧，變異系數取不同值時，失諧無阻尼梁（η=0）中局部化因子隨荷載移動速度的變化曲線。由圖可見，當變異系數δ>0時，對應δ=0為速度域通帶的區間，局部化因子出現大于零的情況，此時表明波動局部化現象發生，即彎曲波不能在結構中自由地傳播以致傳遍整個結構，而是局限在移動荷載附近。同時，與諧調周期多跨梁相比，失諧也使得波動局部化的范圍進一步加寬。隨著變異系數的增加，通帶內局部化因子逐漸增加，該區間的局部化程度相應地增強；而且，除第一個禁帶外，局部化現象使得局部化因子在速度通帶內逐漸增加，在速度禁帶內降低，當變異系數達到0.05時，第一個通帶完全消失了。因此，在移動荷載作用下，失諧周期多跨梁在特定的速度范圍內能控制彎曲波在結構中的傳播。比較圖2和圖3知，失諧和阻尼都會引起結構中波動的幅值發生空間衰減，且兩種情況下引起的梁動力性能的改變具有相同的趨勢。

2.3 阻尼和失諧共同作用的影響

圖4比較了諧調帶阻尼梁和失諧無阻尼梁中局部化因子隨荷載移動速度的變化情況。同時，對比分析了失諧和阻尼同時存在引起的局部化效應與各自單獨影響之間的關系。由圖可觀察到，在速度通帶內，對于諧調阻尼梁，小阻尼系數η=0.02所引起的衰減高于失諧無阻尼梁中失諧水平δ=0.05所致，失諧和阻尼共同作用引起的衰減與各自單獨作用產生效果之和吻合良好，說明阻尼和失諧產生的衰減效果可以簡單疊加。當荷載速度接近通帶邊界進入速度禁帶時，這種現象逐漸消失。而且，失諧通常會加強由于結構阻尼所引起的衰減，反之亦然。但是，在速度禁帶區域，阻尼和失諧相互作用則使得失諧阻尼梁中的局部化因子遠小于兩者單獨作用之和。

3 結語

本文系統地研究了阻尼和失諧對彈性地基上周期多跨梁波動局部化特性的影響，得出以下結論。

（1）彈性地基上的諧調無阻尼多跨梁存在速度通帶和禁帶，阻尼作用會使得原速度通帶內的局部化因子大于零，波動發生衰減。

（2）在移動荷載作用下，失諧多跨梁中存在波動局部化現象，隨著失諧水平的增強，波動局部化程度加強。

（3）當阻尼系數和失諧水平相同時，阻尼引起的衰減效應要明顯高于失諧所致。同時，在速度通帶，阻尼和失諧引起的效應可以簡單疊加。因此，可以選擇調整阻尼系數和失諧水平來實現移動荷載下周期結構的振動控制。

參考文獻

[1] Aldraihem O J， Baz A. Dynamic stability of periodic stepped beams under moving loads[J]. Journal of Sound and Vibration， 2002，50（5）：835-848.

[2] Ruzzene M， Baz A. Dynamic stability of periodic shells with moving loads[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 296（4-5）： 830-844.

[3] Yu D L， Wen J H， Shen H J， et al. Propagation of steady-state vibration in periodic pipes conveying fluid on elastic foundations with external moving loads[J]. Physics Letters A， 2012，376（45）：3417-3422.

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