不同車輛-軌道垂向動力學模型功率流傳遞特性研究

徐 寧，任尊松，薛 蕊，李 強

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044)

列車運行速度提高后，車輛對輪軌激擾的敏感性增強，輪軌激擾頻率范圍增大，深入研究車輛振動傳遞規律意義重大[1]。在車輛和軌道動力學傳遞特性研究中，國內外研究人員曾開展很多研究工作。Hedrick[2]以15自由度客車橫向線性動力學模型為研究對象，討論了懸掛參數的變化對臨界速度和傳遞特性的影響；Seung等[3]以10自由度車輛垂向模型為研究對象，通過對懸掛參數的優化，提高了車輛乘坐舒適性；劉偉[4]從理論和正線測試兩方面對高架線常用軌道結構垂向振動傳遞特性進行對比分析，探討了參數和載荷作用位置不同引起的傳遞特征的變化。這些研究均給出車輛系統和軌道系統傳遞特征的一些結論，但未考慮車輛和軌道系統耦合作用對傳遞特性的影響。

翟婉明[5]建立了車輛-軌道垂向耦合動力學模型，并與傳統10自由度車輛垂向模型的輪軌力、軌道加速度等時域響應結果進行了對比；翟婉明[6]為簡化動力學計算，提出了22自由度軌下集總參數的車輛-軌道垂向耦合系統模型。陳果等[7]基于車輛-軌道垂向耦合模型，采用數值積為分的算法獲得系統各部件垂向振動的響應，進而通過FFT變換方法求得頻域傳遞規律，并與10自由度車輛模型的頻域響應特性進行了比較；王開云等[8]基于傳統車輛橫向動力學模型和車輛垂、橫動力學統一模型，對臨界速度、輪軌橫向作用力以及橫向運動穩定性等性能進行了較為詳細地分析比較。黃彩虹等[9]、宮島等[10]分別采用模態疊加法和格林函數法求解了車體的振動響應問題。這些研究工作都直接和間接地分析了模型的精細化和彈性化車輛系統時、頻域響應特點，但大多數沒有涉及部件間的頻域振動傳遞規律。

振動傳遞是部件或子結構間能量的傳遞，其特性的優劣主要取決于相鄰部件或子結構間輸入(出)能量的大小。功率流從能量角度描述振動問題，兼顧了結構上部件間的動態力和動態響應頻域特征，并包含二者的相位關系，因而更為適合對大型系統振動特征進行評價。許多研究人員通過功率流描述了浮筏隔枕系統[11]、軌道結構[12]的振動傳遞特征，對于復雜系統懸掛參數的混合控制[13]研究方面，功率流也成為能否有效抑制系統振動傳遞的重要評價指標。鑒于此，本文基于4種精細化程度不同的車輛-軌道動力學模型，利用解析方法建立了形式統一的系統部件間功率流傳遞特征，給出了車輛一系懸掛、二系懸掛、輪軌與鋼軌間以及鋼軌和軌枕間的振動功率流傳遞規律，比較不同模型下各部件間功率流傳遞特征的差異，討論懸掛參數的變化對部件間功率流傳遞特征的影響。

1 車輛-軌道垂向系統動力學模型及其統一形式的數學表達

1.1 幾種垂向模型及其自由度描述

常見的車輛-軌道系統垂向動力學模型有：10自由度車輛垂向動力學模型[5]；22自由度車輛-軌道垂向耦合動力學簡化模型[6]；車輛-軌道垂向耦合動力學模型[7]；考慮車體彎曲振動的車輛-軌道垂向耦合動力學模型[8]。圖1～圖4為這4種動力學模型示意圖。

圖1 10自由度車輛垂向動力學模型(模型Ⅰ)

圖2 22自由度車輛-軌道垂向集總參數動力學模型(模型Ⅱ)

圖3 車輛-有砟軌道垂向耦合動力學模型(模型Ⅲ)

圖4 考慮車體彎曲振動的垂向耦合動力學模型(模型Ⅳ)

比較圖1～圖3可以看出，這3種模型中包含的車輛各部件自由度完全相同，僅是鋼軌及其以下的部分有所區別。共有的自由度包括：車體及一位和二位構架的浮沉和點頭運動；一到四位輪對的浮沉運動。10自由度車輛垂向動力學模型將軌下視為絕對剛性，不考慮軌下各部件的慣性以及支撐剛度和阻尼；22自由度車輛-軌道垂向耦合動力學簡化模型的軌下部分包含1～4位輪對位置處集總鋼軌、集總軌枕以及集總道床的浮沉自由度；車輛-軌道垂向耦合動力學模型中軌下部分包括鋼軌的MN階簡支模態，N個支撐軌枕和N個道砟的浮沉自由度。

由圖3、圖4可以看出，考慮車體彎曲振動的垂向模型僅是比車輛-軌道垂向耦合動力學模型多包含MQ階車體彈性梁彎曲振動，二者的其他自由度完全相同。為敘述方便，在后續文中圖1～圖4中模型分別記為模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ、模型Ⅳ。

1.2 統一形式的模型數學表達

模型Ⅰ～模型Ⅳ均為線性系統，都可以寫作以下統一表達形式

(1)

式中：M為系統的質量矩陣；C為系統的阻尼矩陣；K為系統的剛度矩陣；z為廣義自由度列向量；G為輸入剛度矩陣；P為外界輸入位移列向量。

式(1)中，各矩陣具體表達式為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

P={ze1,ze2,ze3,ze4}

(7)

式(2)～式(6)中，下標含有Lv的各分塊矩陣與車輛部分相對應，下標含有Mv的各分塊矩陣與鋼軌相對應，下標含有Nv的各分塊矩陣與軌下部分相對應，對于模型Ⅰ～模型Ⅳ，以上分塊矩陣在維數和內容上均有所差異。式(7)中ze1～ze4為1到4位輪對處外界輸入位移激勵。

模型Ⅳ形式最為復雜，且與實際最為接近，這里僅給出模型Ⅳ各矩陣表達式，模型Ⅰ～模型Ⅲ可參考文獻[7-9]中微分方程化簡得到。

對于模型Ⅳ，式(2)中M的分塊矩陣M1表達式為

(8)

其中，M1_1～M1_4表達式為

M1_1=IMQ×MQ

(9)

(10)

M1_4=diag

[Mc,Ic,Mt,It,Mt,It,Mw,Mw,Mw,Mw]

(11)

式(9)中，I*×*代表*行*列的單位矩陣，式(10)中mzi和mθi(i=1～MQ)的表達式為

(12)

(13)

式(2)中M的分塊矩陣M2、M3為

M2=IMN×MN

(14)

(15)

M3_1=MsIN×N

(16)

M3_2=MblIN×N

(17)

式(16)、式(17)中：Ms和Mbl分別為軌枕和集總道砟的質量。

式(3)中分塊矩陣K1～K7的表達式為

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

其中

K1_1=

(23)

(24)

K5_1=-KpdYp

(25)

K7_1=(Kpd+Kbd)IN×N

(26)

K7_3=K7_2=-KpdIN×N

(27)

(28)

式(23)中，Y1和Y2表達式為

Y1=[Yc1(xc1),Yc2(xc1),…,YcMQ(xc1)]T

(29)

Y2=[Yc1(xc2),Yc2(xc2),…,YcMQ(xc2)]T

(30)

式中：Yci(x)為車體各階梁函數；xc1和xc2為一、二位構架與車體二系懸掛處沿長度方向的坐標；Kr、Yw和Yp為與鋼軌模態相關的矩陣。

[Kr]MN×MN=diag[Kr1,Kr2,…,KrMN]

(31)

式中：diag[·]為對角矩陣；Kri具體表達為

(32)

[Yp]MN×N=

(33)

[Yw]MN×4=

(34)

Yi的具體表達式為

(35)

式(32)和式(35)中：Mr為單位長度鋼軌質量；lr為鋼軌長度；EI為鋼軌抗彎剛度。

式(4)中分塊矩陣C1～C5的表達式分別見式(36)～式(39)。式中各子塊矩陣的表達式為式(40)～式(45)。

(36)

C2=Cpd[Yp][Yp]T

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

C3_1=-CpdYp

(42)

C5_1=(Cpd+Cbd)IN×N

(43)

C5_3=C5_2=-CpdIN×N

(44)

(45)

式(5)中，分塊矩陣x2和x3的表達形式為

x2=[qr1,qr2,…,qrMN]T

(46)

x3=[zs1,…,zsN,zbl1,…,zblN]

(47)

式中：qri(i=1～MN)為鋼軌各階模態物理坐標。

輸入剛度矩陣式(6)中分塊矩陣G1和G2可見式(47)、式(48)。

G1=KhI4×4

(48)

G2=-KhYw

(49)

2 部件間功率流傳遞函數的建立

對式(1)進行傅里葉變換，可得

(K+iωC-ω2M)X(ω)=GP(ω)

(50)

由式(49)經過化簡可以得到各部件輸出位移和速度頻域列向量，得

X(ω)=H(ω)P(ω)4×1

(51)

V(ω)=iωH(ω)P(ω)4×1

(52)

式中：H(ω)為位移傳遞函數，其表示為

H(ω)=[(K+iωC-

ω2M)-1G](Lv+Mv+Nv)×4

(53)

式(51)、式(52)中，X(ω)和V(ω)中各行元素分別與系統中各自由度對應位移和速度頻域響應，進而可求出一位構架和一位輪對間一系懸掛力Fp為

Fp(ω)=Kp(X(Lv-3)-(X(Lv-6)lb+

X(Lv-7)))+Cp(V(Lv-4)-

(V(Lv-6)lb+V(Lv-7)))

(54)

車體和一位構架間二系力Fs為

Fs(ω)=Ks(X(Lv-6)lb+X(Lv-7)-

Cs(V(Lv-6)lb+V(Lv-7)-

(55)

依照上述方法可獲得一位輪對處輪軌力Fwr、鋼軌與(附近)支撐軌枕間垂向力Fpd、附近撐軌枕與道砟間垂向力Fbd

(56)

式中：adj(·)代表與·最接近的支撐軌枕對應的鋼軌坐標。

依據式(56)的功率流計算公式，可獲得車輛-軌道垂向系統各相鄰部件間的功率流

(57)

將線性系統位移和速度之間的關系帶入式(57)中，可以得到關于部件位移的功率流計算式

(58)

以上4種模型具有空間對稱性，根據文獻[12]，從軌道不平順到車輛各部件的幅頻傳遞特性可轉化為從任一位輪對到該部件的幅頻傳遞函數與“間距函數”的乘積。由式(51)、式(52)得到響應函數，僅考慮由一位輪對處激勵產生的部分即可。以計算Fp(ω)為例，其結果見式(58)，進而求出傳遞功率流Pp(ω)。

Fp(ω)=Kp{H(Lv-3,1)-

[H(Lv-6,1)lb+H(Lv-7,1)]}+

iωCp{H(Lv-4,1)-

[H(Lv-6,1)lb+H(Lv-7,1)]}ze1(ω)

(59)

Pp(ω)=Kp{H(Lv-3,1)-

[H(Lv-6,1)lb+H(Lv-7,1)]}+

iωCp(H(Lv-4,1)-

[H(Lv-6,1)lb+H(Lv-7,1)]·

iω[H(Lv-6,1)lb+H(Lv-7,1)]·

(60)

3 計算結果及分析

為便于對比分析，按照文獻[14]的方法求得模型Ⅰ～模型Ⅳ在標準參數下系統固有頻率和模態特征向量。具體結果見表1。

表1 幾種動力學模型下系統固有頻率和振型

注：①為不計道砟間的相互作用，即Kwd和Cwd為零的情形；②為考慮道砟間的相互作用的情形。

3.1 車輛-軌道垂向耦合系統部件間功率流傳遞特性

模型Ⅲ是理論分析和數值計算中較為常用的模型，首先給出模型Ⅲ在標準懸掛參數下的功率流傳遞特性。軌上和軌下部分部件間功率流傳遞特性見圖5、圖6。圖5、圖6中傳遞函數符號的數值大小本身并沒有意義(以下各圖同)，僅代表功率流的流向以及系統的吸振和減振特性，傳遞函數符號為正時，代表該頻段的能量能夠較為順利流入該部件，傳遞函數符號為負時，代表該頻段能量由路徑流出部件或流入部件的能量得到衰減[16]，本文中功率流符號為負可看作流入部件的能量獲得衰減和較為有效的抑制。

圖5 軌上部分部件間功率流傳遞函數

由圖5(b)、圖6(b)可以看出，由輪軌激勵能量至輪對和道砟的傳遞功率覆蓋0～1 000 Hz的全頻帶。構架僅在小于7 Hz頻段上以及70～95 Hz間實現了激勵能量傳遞。

至車體的傳遞能量包含0～0.8 Hz以及45～185 Hz 兩個頻段。傳遞至鋼軌的能量包含除1～2 Hz以外的全頻帶，至軌枕的傳遞能量為頻率10～500 Hz間的頻帶，至道砟的能量為0～130 Hz的頻帶。說明系統的剛度和阻尼參數的配置能夠使得從激勵源到達上層車輛部件的能量流主要為一個或幾個低頻區段，而流向軌下部件的能量則主要為頻率較高的頻段。

圖6 軌下部分部件間功率流傳遞函數

由圖5(a)、圖6(a)可以看出，構架到車體的傳遞函數在小于1 Hz范圍相對較大，在45～185 Hz這一頻段較小；輪對到構架傳遞函數在小于7 Hz和70～95 Hz 兩個頻段數值相近。由輪軌間到輪對的傳遞函數在大于30 Hz的頻段上能保持在一定數量級以上，且在50～60 Hz以及95～125 Hz 兩個頻段能夠具有相對較大數值的傳遞函數。至軌下各部件傳遞函數在50～125 Hz均具有較大數值。結合表1可以發現，55～60 Hz和70～120 Hz這兩個頻段分別與輪對浮沉振型及軌下部件耦合振型相對應。說明位于激勵源附近位置的輪對和鋼軌，其固有頻率附近的激勵能量往往具有較強的傳播性，致使車體、道砟這樣位于路徑終端的部件在這些頻段上依舊具有較大量值的傳遞函數。此外，在部件各自的固有頻率區，該部件往往具有傳遞函數的最大值，如在頻段0.7～0.9 Hz上構架到車體的傳遞函數，在頻段500～700 Hz上輪軌間至鋼軌的傳遞函數以及在頻段200～220 Hz上鋼軌到軌枕的傳遞函數。

3.2 不同模型對功率流傳遞特性的影響

從形式上，模型Ⅰ～模型Ⅳ中包含的自由度逐漸增多，精細化程度逐漸增強，不可避免地引起部件間功率流傳遞主頻及各傳遞主頻上傳遞率發生改變。圖7～圖11中給出了不同模型下部件間功率流傳遞函數的比較。在軌下部件動力學研究中也常有不考慮道砟間相互作用的情況，因而在對比軌下部件間功率流傳遞時，這一情況也包含在內。

圖7 不同模型-輪軌間到輪對功率流傳遞函數對比

圖8 不同模型一系懸掛功率流傳遞函數對比

由圖7～圖9可以看出，4種模型中，至輪對和構架的傳遞函數在10 Hz以下基本是一致的，至車體的傳遞函數在5 Hz以下也是一致的，說明簡單模型對于車輛低頻傳遞特性的模擬式較為真實。模型Ⅰ中，傳遞函數在大于20 Hz的頻段上僅有178 Hz輪對浮沉振動主頻附近具有一量值很大的極大值，這與模型Ⅰ缺少軌下彈性支撐、整體剛度較大有關。根據傳函符號，這一頻段功率流并不會流向構架和車體。與模型Ⅰ相比，模型Ⅱ～Ⅳ中軌下多級支撐的引入使得系統整體剛度變小，致使輪對浮沉模態主頻分別變為39～40 Hz和58～60 Hz之間，且模型Ⅱ中，至車體和構架的傳遞函數在大于20 Hz的頻段上也幾乎沒有能量流入，這與真實情況的吻合程度較低。

圖9 不同模型二系懸掛功率流傳遞函數對比

模型Ⅳ中，至車體的傳遞函數在彎曲振動主頻下均為極大值，但至構架和至輪對傳遞函數，模型Ⅲ和Ⅳ幾乎完全相同，說明車體的彎曲振動僅對車體自身的傳遞特性有較為顯著的影響，對相鄰部件傳遞特性的影響極為微小。

圖10 不同模型輪軌間到鋼軌功率流傳遞函數對比

由圖10～圖12可以看出，模型Ⅱ中，軌下部件的傳函符號始終為正，說明采用軌下集總參數模型，0～1 000 Hz的頻率范圍內能量均能流入各部件，這與模型Ⅲ和Ⅳ中流入軌枕和道砟的能量僅為一定頻率段內的情況有所不同，且在大于200 Hz的頻段上，模型Ⅱ中至軌枕和道砟傳遞函數在數值上都大于模型Ⅲ和Ⅳ，說明集總參數模型對于軌枕和道床兩部件的振動頻域特征描述上準確程度有所欠缺。考慮道砟間的相互作用能夠使流入軌枕的能量頻率范圍減小并向低頻方向移動，對于道床剛好相反。在60～100 Hz頻段內，不計道砟間相互作用下至各軌下部件的傳遞函數均小于考慮相互作用的情形，二者的差距以至道砟的傳遞函數最為明顯。

圖12 不同模型軌枕-道砟間功率流傳遞函數對比

3.3 參數的改變對功率流傳遞特性的影響

由3.2節可以發現，模型Ⅳ包含系統頻域特點最多，自由度的增多也使模型本身與實際更為接近。本節以模型Ⅳ為例，討論部件質量、剛度參數以及懸掛參數的變化對于部件間功率流傳遞特性的影響。

圖13 一系懸掛參數和輪對質量的變化對至輪對功率流傳遞函數的影響

圖13表征了模型Ⅳ中一系懸掛參數與輪對質量的變化對至輪對功率流傳遞函數的影響。由圖13可以看出，對至輪對傳遞函數影響最大的是一系阻尼，減小一系阻尼使得在30～1 000 Hz范圍內傳遞函數均有所減小，一系剛度的變化對傳遞函數的影響幾乎可以忽略。輪對質量的增大，雖使得30～60 Hz范圍內的傳遞函數增大，但使得大于100 Hz中高頻傳遞函數有所減小。

圖14 一系懸掛參數和輪對質量的變化對輪對到構架功率流傳遞函數的影響

圖14、圖15表征了一系懸掛參數與輪對質量變化和二系懸掛參數與車體質量變化對輪對至構架功率流傳遞函數的影響。由這圖14、圖15可以看出，二系懸掛參數和車體質量的變化對輪對至構架傳遞函數影響都較小，僅影響1 Hz附近頻段。一系懸掛各參數對1 Hz附近頻段傳遞函數幾乎沒有影響，主要影響頻段為3～7 Hz和70～90 Hz 2個頻段，其中一系剛度的變化對前一頻段的影響較為明顯，一系阻尼的變化對于后一頻段的影響較為明顯。一系剛度Kp減小使7 Hz以下的傳遞函數明顯減小，且流入構架能量的頻率范圍也有所減小；一系阻尼Cp減小使70～90 Hz范圍內傳遞函數減小，但會增大流入構架能量的頻率范圍。此外，輪對質量的變化對輪對到構架傳遞函數的影響也較小。

圖15 二系懸掛參數和車體質量的變化對輪對到構架功率流傳遞函數的影響

圖16 二系懸掛參數和車體參數的變化對輪對到構架功率流傳遞函數的影響

圖16顯示了二系懸掛參數和車體參數的變化對輪對到構架功率流傳遞函數的影響。從該圖可以看出，在車體彎曲振動主頻附近，車體抗彎剛度EI的增大(或減小)使傳遞函數向較高(或較低)頻率方向移動，但傳遞函數量值的改變并不大。二系剛度的變化對1 Hz以下低頻段傳遞函數的影響較為明顯，二系阻尼的變化對10～200 Hz較高頻段傳遞函數的影響較為明顯。二系剛度Ks減小使1 Hz附近傳遞函數數值明顯減小，且流入構架能量的頻率范圍也有所減小；二系阻尼Cs減小使10～200 Hz范圍內傳遞函數數值以及流入構架能量的頻率范圍都減小，但會使1 Hz附近傳函數值一定程度地增大。

由圖17可以看出，簧下質量對于50～100 Hz頻率范圍內軌下部件傳遞函數影響較大，對大于200 Hz的中高頻傳遞函數影響十分微小。簧下質量的增大使50～100 Hz頻段傳至鋼軌和道砟的傳遞函數值都有所增大，但對鋼軌而言，500～700 Hz區間才是鋼軌功率流傳遞的主要頻段，因而簧下質量的變化對軌枕至道砟傳遞特性的影響最為明顯。這與文獻[15]中簧下質量的增大對鋼軌影響較小而對道床破壞較為嚴重的結論相一致。

圖17 簧下質量的變化對軌下部件間功率流傳遞函數的影響

4 結論

本文基于4種精細化程度不同的車輛-軌道垂向動力學模型，建立了相鄰部件間功率流傳遞函數，并相應的獲得以下一些結論。

(1) 從激勵源傳至上層車輛部件的能量主要為一個或幾個低頻區段，而流向到軌下部件的能量則主要在頻率較高的頻段。位于激勵源附近位置的輪對和鋼軌，在其固有頻率附近(60～100 Hz)的振動能量往往具有較強的傳播性，致使車體、道砟等位于路徑終端的部件在這些頻段上依舊具有較大量值的傳遞函數。

(2) 模型Ⅰ、模型Ⅱ中，對于車輛10 Hz以下低頻垂向傳遞特性的模擬較為真實，但對中、高頻傳遞特性的表達與復雜精細模型相差較大。且模型Ⅰ中，不能對輪軌激勵作用傳至軌下部件進行討論，模型Ⅱ對于傳至鋼軌的振動能量模擬相對較為準確，對于傳至集總軌枕和集總道床兩部件振動能量模擬的準確性仍有所欠缺。

(3) 模型Ⅲ、模型Ⅳ真實和完整地反映了軌下系統，對于軌下各部件垂向頻域傳遞特性的模擬也都較為準確。且二者對于構架和輪對的功率流傳遞特性的模擬也較為一致，但由于模型Ⅳ考慮了車體彎曲振動的影響，在車體彎曲固有頻帶附近，傳至車體的功率流傳遞特性更為準確。

模型Ⅰ、模型Ⅱ可適用于對10 Hz以內車輛系統傳遞特性的描述，模型Ⅲ、模型Ⅳ適用于較高頻率范圍內車輛系統傳遞特性的描述，模型Ⅳ能夠更為準確地反映車體固有頻率附近的傳遞特征。

(4) 一系剛度的改變對輪軌間傳至輪對的傳遞函數幾乎沒有影響，一系阻尼的減小使得在30～1 000 Hz范圍內傳遞函數有所減小。對于輪對傳至構架的傳遞函數而言，二系懸掛參數的變化僅對1 Hz附近頻段的傳遞函數有一定影響，一系剛度變化對3～7 Hz頻段傳遞特性有影響，一系阻尼變化對70～90 Hz傳遞特性有影響。在車體彎曲振動主頻附近，車體剛度的變化會使傳至車體的傳遞函數在頻率上發生移動，但傳遞函數量值的改變并不大。

(5) 簧下質量的變化對軌枕至道砟的傳遞特性的影響最為明顯，對由輪軌間傳至鋼軌的傳遞特性影響不大。