部分信息下帶有負債的均值-方差投資組合問題研究?

郭 婷 劉宣會 李照琪

（西安工程大學理學院 西安 710048）

1 引言

1952 年，Markowitz 提出均值-方差模型，成為現代投資組合理論誕生的標志。諸多學者對均值-方差模型進行研究。衛海英，鄧瑋［1］從風險度量方法、理論假定和理論基礎三方面，對均值-方差理論存在的局限進行了闡述，給出了均值-方差理論可以從風險度量，模型本身優化以及運用算法求解三個方面優化模型。孫世杰，高巖［2］研究稅收、紅利和新型交易成本下摩擦市場的多階段均值-方差模型的投資組合問題，得到了各階段的最優投資策略解析表達式，給出有效前沿。劉利敏、肖慶憲［3］研究了在股價服從跳-擴散模型下的投資選擇問題，利用動態規劃原理和凸分析得到了最優投資策略和有效邊界。Zhou 和Li［4］利用LQ 技術研究連續時間下的均值方差投資組合問題。經典投資組合理論，假設投資者掌握完全市場信息，是一種理想化的假設，與實際情況不相符合。在部分信息下研究投資問題與實際情況更加貼近。1995 年，Lakner［5］研究了部分信息下終端財富效用最大化問題。Bauerle 和Rieder［6～8］在資產價格過程服從跳擴散過程下，研究了部分信息下期望效用最大化下的最優投資組合問題；Honda，Haussman 和Sass［9～10］研究了在馬氏調制收益率下，在部分信息和完全信息下的投資組合問題。段亞軍、劉宣會［11］等在部分信息下，考慮了債券和股票價格之間具有一定相關性的均值方差投資組合問題。 Sharpe 和Tint［12］提出負債情形的投資組合問題。楊鵬、王震［13］等在均值-方差準則下研究了具有負債的隨機微分博弈。吳安琪，舒慧生［14］考慮跳躍-擴散模型下帶負債的最優資產選擇問題。周新梅［15］研究了在不允許賣空情況下跳擴散模型的動態均值-方差資產負債問題。吳偉平、高建軍和李端［16］研究金融市場所有資產都是風險資產，且風險資產和債務之間具有相關性時，給出最優投資策略和有效前沿的表達形式。李永武［17］等在部分信息下研究時間一致的投資組合問題，在競爭理論框架下給出相應的閉形式的均衡投資策略及相應的值函數。

基于以上研究，我們考慮在部分信息下考慮具有負債的投資組合問題。運用Kalman 濾波理論和非合作博弈的方式處理，得到閉形式的均衡投資組合策略和均衡值函數。

2 模型與假定

設(Ω，Ft，?)是帶流的完備的概率空間 ，，右連續且關于? 完備，表示在t時刻獲取的信息總和，W1，W2，W3是定義在(Ω，F，?)上的三個1-維標準的布朗運動，其相關系數為ρ1，ρ2，ρ3， 即表示由過去的股票價格生成的信息流。現在假設市場上有兩個資產，一個無風險資產（債券）和一個風險，資產（股票）其價格過程分別滿足：

其中，r表示債券回報率，σ(t)表示股票的波動率，μ(t)表示股票的回報率，在部分信息下不可觀測，滿足隨機微分方程：dμ(t)=k[δ-μ(t)]dt+βdW3(t) 。負債服從下面跳躍-擴散模型：

α(t)表示負債率，q(t)是負債波動率，用Levy 過程刻畫重大事件對負債產生影響，φ(z)表示負債跳躍的強度，且N?(dz，dt)=N(dz，dt)-η(dz)dt，N(dz，dt)表示Levy 過程在dt時間內，跳躍寬度在dz范圍內的跳躍次數，η(dz)dt表示在dt時間內，在寬度為dz的范圍內的平均跳躍次數，即η(dz)dt=E[N(dz，dt)]，N(dz，dt)與W1，W2，W3相互獨立。假設投資者在t時刻在風險資產上的投資金額為u(t)，在無風險資產投資金額為X(t)-u(t)，那財富過程滿足：

定義1（容許策略）投資策略 π={u(t)}0≤t≤T是容許的，如果滿足：

1）{u(t)}0≤t≤T是Gt可測的；

2）E∫0T|u(t)|2dt＜+∞ ；

3）隨機微分方程（4）有唯一的解。

所有滿足上述條件的可容許測略集，用Π 表示。

3 模型求解及主要結果

目標函數為

最優均衡投資組合策略π*，γ表示風險厭惡系數，Et，x，μ[?]=E[?|Xπ(t)=x，μ(t)=μ]，由于J(t，x，μ) 關 于Et，x，μ[X(T)]非線性的，導致上述問題變為時間不相容的問題（參見文獻［18］），Bellman 最優化原則不成立，采用非合作博弈的方式處理問題，首先給出均衡策略的概念。

定義2（均衡策略）可容許投資策略π*是均衡投資策略 ，當對所有u∈R，h>0 ，(t，x)∈成立，其中：

均衡值函數V(t，x)=J(t，x，π*)。

將目標函數進行如下變化：

引理1（驗證定理）若目標函數的值函數V存在，且V，g，u*:[0，T]×R×R→R，則一定滿足下面廣義的HJB系統：

其中g(t，x，μ)=Et，x，μ[XTπ*]，π*是目標函數的均衡投資策略，這一定理是Bjork and Murgoc（i2010）中的一中特殊情況，具體證明可參考文獻［18］。

首先運用Kalman 濾波理論將部分信息下的問題轉化為完全信息下的問題，即(t)=E[μ(t)|Gt]，由文獻［11］可得到，

根據式（5）、（7）、（8），得：

根據式（9）、（10）、（11），廣義HJB系統化簡為

定理1廣義的HJB系統關于u求導，得到：

證明：由于財富過程的線性結構，與有界的形式保持一致，因此可假設

其中b(t)，c(t)，d(t)，B(t)，C(t)，D(t)在定理1中給出，γ是風險厭惡系數。

4 結語

在金融市場是由一個股票和一個債券組成，負債服從一個Levy 過程時，運用卡爾曼濾波理論，及構造求解廣義HJB 方程。得到部分信息下帶有負債的均值-方差均衡投資策略及相應的值函數。