對影響快鏈條運動狀態的相關參數的研究

張童欣 李晉斌 謝金江 張芳芳

(1南京航空航天大學理學院，江蘇 南京 210016； 2 清華大學航天航空學院，北京 100084；3南京航空航天大學航空宇航學院，江蘇 南京 210016； 4南京航空航天大學航天學院，江蘇 南京 210016)

鏈條類物體問題是歷史上一個古老而備受關注的力學問題。歷史上，不管是在靜力學領域還是在動力學領域，基本上都是使用較理想的一維，柔性，均勻模型。鏈條問題最開始的提出是在靜力學領域，有趣的是最開始研究它的是意大利著名的天才人物達芬奇，達芬奇的經典作品《抱銀貂的女人》中女人的項鏈下垂的形狀描繪，達芬奇苦苦思考了許久：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？

最早的定量分析可以追溯到伽利略對在重力作用下兩端固定鏈條的形狀為拋物線的猜想，但是荷蘭物理學家惠更斯就用數學物理方法證明其不是拋物線。真正解決這個問題要在達芬奇去世170多年后的雅各布·伯努利，他用微積分方法比較輕松的解決了這個問題。從那時候開始，微分方程就成了解決鏈條問題的標準方法。

19世紀下半葉的大西洋海底電纜鋪設工程，一維柔性物體連續力學模型被不斷運用。但這并不代表繩索動力學的研究已經趨于完善，如太空漫步中宇航員與航天器連接繩索在引力梯度下的呈現的力學特性，航空母艦上對艦載機的阻攔索在極大沖擊下的響應等問題都對繩索動力學提出了新的挑戰。

即使是繩索最簡單的下落問題，也是在20世紀中后期在得出比較一致的認識。鏈條下落時會出現快鏈條的奇特現象。快鏈條現象最早指的是連續性系統的加速現象。前人研究的場景主要有三個。第一個場景中的鏈條從高處自由釋放落入盤中；第二個是將一串鏈條兩端拴在同一高度的地方，從某一時刻開始將一端自由釋放，稱之為折疊鏈；第三個是將一捆快鏈條盤堆在臺面邊緣上，然后將其一端自臺面邊緣自由釋放，三種場景都能得出加速度增大的結論。

Calkin and March[1,2]認為這個第二個系統是保守的，并沒有耗散機制。他們一開始測量一根2m長，含有81個鏈結的鏈的下落過程，發現這種鏈比自由落體運動下落得更快。連續模型準確地描述了實驗鏈的運動，但是在繩末端出現了問題，隨后他們測量了固定端的拉力T，發現理論上連續模型所給出的鏈的拉力包含了一個與速度的平方成比例的項。而實驗所測得的拉力的最大值是鏈條自身重量的25倍，超過了自由落體運動下的拉力的理論值。因此毫無疑問折疊鏈下落的速度是大于g的。

Hamel[1,3]假設能量守恒，正確的解釋了折疊鏈問題。在早期的論文中，作者們反對Hamel的能量守恒解法，并且聲稱在折疊鏈下落過程中存在由非彈性動量守恒碰撞造成的能量的耗散。他們引用了其他一些下落鏈的Carnot能量損失的例子來辯護他們的理論。但Hamel認為，我們能看到能量守恒的結果，是因為質量離開自由端鏈時所得到的能量彌補了固定端子鏈吸收轉移質量所造成的Carnot能量損失。Schagerl et al.對于折疊鏈的測量結果使得他們大吃一驚，因為他們在理論上得出折疊鏈下落的加速度是g，并且總機械能不守恒的。但是他的實驗得到了折疊鏈下落加速度大于g的結論。

折疊鏈下落的加速度大于g這一現象可能會引出折疊鏈的運動不是唯一的這一結論，因為“下落的繩子本身就存在更多的滿足線性動量守恒但是機械能不守恒的解”，于是這個問題在Schagerl et al[1,4]的文章里是一個悖論。

但是很明顯這一結論是不成立的。因為不論折疊鏈能量守恒與否，它的運動方程都是一個線性微分方程，給定初始條件之后就得到了唯一的解。所以折疊鏈的加速度大于g這一實驗結果恰恰證明了這個運動不會是能量不守恒的自由落體運動這一事實。

Irschik he Holl[1,5]也提到了關于折疊鏈的動量守恒但是能量不守恒的這一結論。在關于拉格朗日方程的一些早期論文里，他們困惑于實驗結果，因為他們認為固定端鏈的拉力應該消失，因此自由端應該做自由落體運動，他們發現這一結論與觀察結果不符。

我們能看到關于能量損失的錯誤的結論是由于忽視了轉移質量離開自由端時的能量的獲取。這個能量增益與固定端接收的轉移質量所造成的Carnot能量損失實時相反。

無獨有偶，第三種模型也曾被認為總機械能是不守恒的。Cayley[1,5,6]在1857年首先研究了這個問題，他把這種運動處理成一個連續碰撞問題，得到了能量不守恒以及加速度為g/3這一結論。

De Sousa和 Rodrigues[1,7]得出了共識：能量是不守恒的。他們首先用牛頓運動方程來描述兩個變質量的子鏈的問題，考慮了地心引力，但不考慮鏈的拉力。他們得出了錯誤的能量不守恒的結論：加速度a=g。于是他們轉換思路，假設能量守恒，這次他們得出了正確的結論。這也是我們所能找到的唯一正確的結論。

還有部分學者對下落鏈條的組成結構和底部沖擊物進行探究，并對觸發裝置、接收裝置進行了改進,參考[8]。

鏈條下落問題的本質是變質量體的動力學問題，變質量動力學在火箭推進系統，流體動力學，阿特伍德機，變質量振蕩器中都有很多的應用，而鏈條的下落恰恰是最簡單的變質量物體運動。如前文所述，自雅各布·伯努利用微積分解決懸鏈線的形狀問題以來，前人對這類非連續性的動力學問題的處理方式一直是是利用連續性模型建立微分方程，再利用電腦進行離散化的數值分析，但是由于鏈條物理結構的特點，存在鏈節的橫向擺動造成縱向收縮，單個鏈結本身發生的轉動造成碰撞等復雜的運動形式，讓連續性模型在很多地方的求解失效果[9]。本文旨在建立本就離散的物理模型，即若干根與地面呈一定傾角的棍子交錯排列連接而成鏈條，主要研究其在下落過程中加速的奇特現象，探討影響其加速度的相關因素，并試圖把此模型在更多的場景下推廣，并且爭取在修正后能在工程上有所運用。

實際上，我們知道，計算機的高效計算的本質也是把鏈條進行了離散化處理，因此我們從第一種場景出發(如圖1中的(a)所示)，在理論和實驗中直接將其進行了離散化，即把宏觀上連續的繩子離散為交錯相連的鏈條進行研究，此舉相比于之前學者所研究的實驗模型而言，更容易在數學上對其進行建模，能夠從純力學角度對其進行解釋，且相關影響因素更為明顯、更易測量。

圖1(a) 展現的是柔性繩索自由下垂狀態下靜止釋放，下落，接觸桌面并在其上堆積的過程； (b) 展現的是固定在天花板上的柔性繩索，提起其自由端再靜止釋放的過程； (c) 展現的是柔性繩索從桌面上開的小洞中下落的過程

1 連續性假設下對模型的討論

最簡單的模型一在很早的時候就被廣泛討論，在20世紀50年代以前，對此種狀態下鏈條整體的加速度為g這一點深信不疑。這種理論是在連續性的假設下考慮dt時間內改變的動量為

dp=-pv2dt

(1)

從而計算出“動約束力”：

(2)

從而計算出理論上，如果將鏈條落于壓力感應器上，會得出壓力值：

F=f+mg

(3)

為了簡單化驗證的難度，假設此模型中繩子末端恰好接觸地面，并結合式(1)～(3)有壓力值為3倍鏈條重力。

早期的實驗中也有驗證了這一理論，這等于側面證實了鏈條在此模型下的下落過程加速度等于g。但是鏈條實際的離散化特點以及電信號的延遲問題都對實驗造成了誤差。Hamm和Géminard[10]首次實實在在的在實驗中驗證了這一點。這說明在這個過程中鏈條下落的加速度是大于g的，同時在動力學上也暗示在下方堆積的鏈條表面存在著把鏈條向下拉拽的力。Grewal, Johnson and Ruina[11]定性且定量的描述了這樣一個過程，并且指出這是因為離散的鏈條單元下接觸地面是存在轉動的效果。

于同旭[9]曾經提到鏈條的轉動和鏈條的各種幾何參數是決定鏈條下落過程運動特性的重要因素，后文中提到的鏈條模型，就是將這種離散化方法，并且定量研究相關參數對其影響。

圖2 快鏈條模型

2 離散化理論模型

2.1 前提假設及涉及原理

本文假設所有棍子均為剛體，且整個運動過程中不受空氣阻力的影響。在預實驗過程中，觀察到棍子下落會彈起，因此這里采用了非完全彈性碰撞的理論，考慮了恢復系數這一參量。建模過程中應用到了牛頓第二定律、沖量定理、沖量矩定理等原理。由于棍子只在碰撞的一瞬間發生加速度的突變，為了便于后期的實驗觀察，這里將這一離散過程連續化，也就是探究碰撞多次所疊加的等效加速度和速度，而不是瞬間碰撞的加速度和速度。

2.2 現象解釋

將一根快鏈條從高處自由釋放(如圖2)，棍子1與地面之間有一定的距離，直到棍子1碰地之前，快鏈條都做自由落體運動。當棍子1與水平面碰撞時，其發生速度突變，并且發生逆時針的微小轉動，使得左側輕繩被拉緊，右側繩子處于松弛狀態。碰撞結束后快鏈條又處于自由下落狀態，直到棍子2發生碰撞。棍子2發生碰撞時，發生順時針的微小轉動，使得右側繩子被拉緊，左側繩子處于松弛狀態。如此往復，發生棍子3、4直到棍子n的碰撞。觀察發現這種瞬間的轉動現象非常微弱，且最后順時針逆時針轉動可以互相抵消，因此可以將輕繩近似為豎直運動。

圖3 快鏈條受力分析

由于每次碰撞都會發生速度突變，因此快鏈條的加速度一直在變大。棍子旋轉時短邊輕繩一端的相對質心的速度方向與棍子回彈時產生的速度方向相反，因此可以預料到的是，當棍子與水平面之間的傾角不斷增加時，會有一個臨界角度，使得該棍子碰撞產生的速度增量為零，或者為負值，此時快鏈條兩邊的輕繩都處于松弛狀態，不受力的作用，因此加速度一直為重力加速度，不出現“快鏈條”現象。

2.3 數學模型

首先考察棍子1發生碰撞時快鏈條的運動狀態，可以寫出碰撞的恢復系數，參考圖3：

(4)

由于碰撞所產生的角速度為

(5)

寫出角動量公式和沖量公式：

補充運動關系式：

(8)

B點在豎直方向上的絕對速度為

VBy=VB C1cosθ+VC1

(9)

接下來寫出第2根、第3根……直到第n根棍子的方程，其中同一短繩連接的兩根棍子的端部豎直速度相等

(10)

化簡可以得到棍子1直到棍子n的運動狀態以及質心速度：

并且可以求解出每根棍子的轉動角速度為

整理得每根棍子的角速度和質心速度為

(19)

因此可以得到碰撞時突變的速度為

(20)

引入常數k，k只與恢復系數e、棍子與地面的夾角θ，棍子總數n有關。

當速度差大于零時加速下落，為“快鏈條”，速度差小于等于零時，繩子處于松弛狀態，因此鏈條仍為自由下落。

此時的臨界角度為

(21)

也就是說，當傾角小于54.7°時，鏈條做加速下落運動，等傾角大于54.7°時，鏈條做自由下落運動。

但這里需要注意的是，傾角為零的情況并不適用與這里的分析，因為本文考慮的是單點碰撞，而傾角為零的情況比較復雜，在理想條件下棍子與地面發生的是線碰撞。

接下來考察第Q號棍子(Q>P)的運動情況。令質心距為h，棍子1的質心距地面高度為H，則

(22)

第一次碰撞前棍子Q的質心速度：

(23)

第一次碰撞后棍子Q的質心速度：

(24)

第二次碰撞前棍子Q的質心速度：

(25)

第二次碰撞后棍子Q的質心速度：

(26)

第P次碰撞前棍子Q的質心速度：

(27)

第P次碰撞后棍子Q的質心速度：

(28)

從釋放至第P次碰撞過程中的等效加速度為

(29)

第P次碰撞時的速度V為

(30)

由此確定影響加速度和速度的因素有七個，分別是恢復系數e，碰撞次數P，棍子質心距h，棍子長度l，棍子根數n，起落高度H，棍子與水平面的夾角θ。

3 仿真模擬

為了直觀的看到快鏈條“快”的特性，歷史上也采用過不同的方法，于同旭提到過用平滑濾波消除實驗噪聲觀察測量臺面度數的方法，但是這種方法并沒有直接體現出“快”的特性。

也有實驗[12]將鏈條和剛性小球在同一高度同時釋放，通過在圖像來對比各個階段兩物體的相對位置來確定鏈條油加速現象。

圖4 圖像觀察到的快鏈條現象

但我們發現這種方法存在兩個問題。

(1) 小球和鏈條整體受到的空氣阻力不同，在實驗進行的過程當中，我們可以明顯地看到由于空氣阻力的存在，連接鏈條間的繩子會出現明顯的彎曲現象，而單純的用繩子穿過一組質量較大的小球便沒有這樣的現象(圖4)。從理論上來說，球體的迎風面積較小，而鏈條每個鏈節的迎風面積都比較大，另外起連接作用的繩子本身受到的空氣阻力也是很大的。

(2) 小球和鏈條在釋放的時候同步性難以保證，需要比較精確的釋放裝置。

我們注意到這樣的加速現象實際上和與地面的碰撞過程緊密相關，所以我們設計了一組仿真實驗，并且利用直觀的沙盤式仿真軟件軟件Algoodoo進行了過程模擬，比較直觀地展現了加速現象，也很直接地顯示了這種加速現象和鏈條與平臺的碰撞相關性(圖5和圖6)。

圖5 Aldogoo快鏈條模型

圖6 Algodoo快鏈條仿真

定量研究方面，我們根據理論進行了如下的仿真模擬。

考慮到空氣阻力及釋放方式等帶來的較大誤差，我們在這里的仿真分析將不考慮快鏈條效應下的自由落體加速度的值設置為預實驗條件下測得的快鏈條加速的近似值9m/s2。

圖7中，灰線表示快鏈條加速度，黑線表示快鏈條的速度，虛線表示自由落體加速度，點線表示自由落體的速度。圖7縱坐標只表示數值而不考慮單位。

圖7 碰撞次數對加速度、速度的影響

3.1 碰撞次數P對快鏈條運動狀態的影響

在控制其余參數不變的情況下根據式(29)和式(30)做出圖7，圖中灰線是快鏈條加速度，可以看到在此條件下維持在11m/s2左右，虛線則是不考慮快鏈條效應下的加速度。相應的速度如圖中黑線和點線所示，可以看到明顯的“加速”效應。

圖8 與地面夾角對加速度、速度的影響

3.2 棍子與水平面的夾角θ對快鏈條運動狀態的影響

從圖8可以直觀地看到快鏈條的加速度和速度大小隨著其桿與地面夾角的變化成波動的形態，并且約以5°為一個周期。整體呈下降的趨勢，并且在54.7°左右時和正常下落加速度無異。

這里需要注意的是，0°時的情況并不在本文式子所適用的條件范圍下，上文有說明。

3.3 恢復系數e對快鏈條運動狀態的影響

由圖9中可以看到快鏈條加速度和其與碰撞面間的摩擦因素存在一定的正相關性。

3.4 起落高度H對快鏈條運動狀態的影響

圖10 起落高度對加速度、速度的影響

從圖10中可以看到起落高度越高，快鏈條的加速度越大，但是此函數存在凹性讓起落高度對其加速度的影響隨高度值增加越來越小。

3.5 棍子長度l對快鏈條運動狀態的影響

從圖11灰色曲線可以看到快鏈條加速度隨著棍子長度的增加而減小。

圖11 木棍長度對加速度、速度的影響

3.6 棍子質心距h對快鏈條運動狀態的影響

從圖12可以看到快鏈條加速度隨著棍子質心距的增加而增大。

圖12 中心距對加速度、速度的影響

3.7 棍子根數n對快鏈條運動狀態的影響

圖13 棍子根數對加速度、速度的影響

從圖13可以看到快鏈條加速度隨著其棍子根數的增加而減小。

4 實驗

之前的很多理論和實驗重心[12-16]放在力上，前文也提到了這種方法由力傳感器的產生的誤差比較大。R.Moreno, A.Page[17]提出用視頻直接分析運動的方式來研究此類變質量物體的運動特性，他研究的是如圖14所示的情形，取得了比較好的結果。

圖14 視頻分析法

我們把這種方法運用到我們的情形中進行如下實驗。

實驗裝置與實驗環境如圖15和圖16所示。

實驗所用的木棍直徑均為1cm，長度隨實驗的不同而定，木棍采用沒有彈性的鞋線連接，木棍與繩子之間采用熱熔膠連接固定。

圖15 實驗裝置與實驗環境1

圖16 實驗裝置與實驗環境2

用每秒240幀的攝像機錄下鏈條下落的整個過程，導入到Tracker軟件中分析，如圖17所示。

圖17 實驗視頻及實驗數據分析1

圖18 實驗視頻及實驗數據分析2

首先我們制作了木棍總數為16，木棍長度為0.25m，中心距為0.2m，棍與地面夾角約呈27.8°的鏈條。并且通過增墊不同類紡織品設置恢復系數e=0.01，連接釋放長度調整繩控制起落高度H=1來控制實驗環境與仿真相符。根據Tracker逐幀的速度，加速度數據采集可以得到如圖12所示的散點圖，與仿真曲線對比可看到在碰撞次數小于6時實驗數據和仿真符合較好，碰撞次數較大后出現的數據會因底端堆積木棍的增加所造成的二次碰撞等因素失真。

當固定碰撞次數為10次，其他參數不變時。通過連接于釋放端的繩和掉落端的標尺來調整起落高度，得到了如圖13的實驗結果，與仿真模擬符合較好。

當固定起落高度為1m,其他參數不變時，制作了4組不同中心距的木棍，經過多次試驗得到了如圖14的實驗結果，與仿真模擬符合較好。

當固定中心距0.2m不變(此處由于增加木棍根數帶來的長度增加，考慮到場地限制的情況下采用較小的中心距)。在其他參數不變的情況下制作了木棍根數分別為16,19,22,26,30的鏈條。實驗所得圖像15仍可以看到隨著木棍數量的增多，實驗數據存在失真的情況。

由于碰撞恢復因素和棍子長度控制涉及比較大的工作量，暫時未進行實驗探究。

在做實驗的過程中，我們能夠容易發現地面堆積的木棍會對整個快鏈條有所影響，這里并沒有測量地面恢復系數，是因為在木棍堆積了幾根之后，上方的木棍再落下來時，已經觸碰不到下面的地面了，因此只在木棍與木棍之間發生碰撞。但木棍碰撞的情況確實比較復雜，因此這里不考慮堆積的情況。

表1和圖19是碰撞次數的實驗結果與數值仿真結果的對比。

表1 碰撞次數與加速度、速度的關系

圖19 碰撞次數與加速度、速度的關系

表2和圖20是起落高度的實驗結果與數值仿真結果的對比。

表2 起落高度與加速度、速度的關系

圖20 起落高度與加速度、速度的關系

表3和圖21是中心距的實驗結果與數值仿真結果的對比。

表3 中心距與加速度、速度的關系

圖21 中心距與加速度、速度的關系

表4和圖22是木棍總數的實驗結果與數值仿真結果的對比。

表4 木棍總數與加速度、速度的關系

5 結論

本文章通過回顧里維柔性物體力學問題的發展歷程，發現在一些場景中“連續性”假設失效帶來的問題，于是嘗試構建離散的物理模型，重點研究此物理模型下落的力學特性。通過預實驗驗證了快鏈條現象的存在，建立了快鏈條的數學模型，推導出快鏈條下落的加速度、速度與相關變量的關系表達式，并做了一定的仿真分析。通過多組實驗定量研究了恢復因數、木棍總數、木棍長度、木棍傾角、木棍中心距、起落高度等因素對快鏈條下落的加速度和速度的影響，并實驗論證了理論的正確性。

空氣阻力，地面木棍堆積，繩子與木棍連接處熱熔膠，下落高度，Tracker幀數和數據處理等存在的誤差等會導致部分實驗數據點偏離理論曲線的況，這些都將造成實驗數據和理論分析不能嚴格吻合。

關于木棍堆積產生的誤差，實驗時也有采用過在下方墊一塊三角木塊，使得木棍落下來之后能滾下去，但是這又會產生斜碰撞的問題，增加了分析的理論難度，因此希望能夠在以后的研究中優化對這些誤差的處理，做更加精確的實驗或者在理論中嘗試添加新的誤差項。本文只做出了一種情形的鏈條的“離散化分析”，同樣可以按照同樣的方法，研究其他下落情形的鏈條的特點。

最后，本文做了一些猜想，當木棍長度足夠小時，木棍可以近似為一個有質量的質點，這時不會發生類似于木棍碰撞地面時產生的微小旋轉，不存在對繩子的拉扯，因此質點鏈條仍然會以自由落體的方式向下墜落。而如果在質點的基礎上，把輕繩的長度減小為零，也就是有質量的點直接連接在一起，成為一根連續均質量的鏈條，這時候的情況很復雜，因為鏈條的堆疊會對鏈條產生十分大的影響，例如碰撞時鏈條上的點會向水平方向運動，從而拉動正在下落的鏈條，導致加速度的增大。此處只是提供了這樣一種假設，后續可對此種鏈條進行研究。

本文最想強調的還是在研究鏈條問題時的一種新思路，既拋棄連續性假設和微分方程的經典方法，轉而尋找合適的離散物理模型定量研究問題。