測量不確定度分析在大學物理實驗設計中的應用

樊代和 賈欣燕 劉其軍 常相輝 魏 云

(西南交通大學物理科學與技術學院；物理國家級實驗教學示范中心，四川 成都 611756)

1 提出問題

大學物理實驗是一門培養本科生動手能力和科學實驗素養的重要實踐課程之一[1]。目前，國內大部分高校，包括西南交通大學開設的傳統基礎型物理實驗項目，在實驗教材中都明確了“實驗目的”“實驗儀器”“實驗原理”“實驗步驟”等幾部分內容[2]。高校本科生在進行大學物理實驗課程內容的學習過程中，一般在課前要預習教材中的“實驗原理”部分并寫出預習報告，在實驗課時聽取教師對具體實驗原理的重難點和實驗注意事項等內容的介紹，然后按照教材所列出的“實驗步驟”內容逐一進行測量，就可較好地完成該實驗項目所需的測量。在沒有測量錯誤的情況下，最終都可以得到較為理想的實驗測量結果。

然而，這種傳統的實驗教學內容和教學方法，實際上是極度缺乏創新理念的[3]，對培養本科生的創新能力無法提供進一步的幫助。具體而言，本科生在完成某一實驗項目后，只能對本實驗項目所采用的測量原理，以及所獲得的測量結果有一定的了解，但一般不會去積極思考該實驗項目為什么要采用這樣的實驗方法和實驗儀器？應該采用何種實驗原理，或者采用何種實驗儀器對該實驗項目進行改進就能得到更為精確的測量結果等問題。大部分本科生在修完大學物理實驗課程后，只能了解到從這門課學到了什么，而不能了解到這門課為什么學，如何才能學好的問題。

西南交通大學物理實驗中心(以下簡稱實驗中心)所開設的大學物理實驗課程，在學期開始的第一次實驗課時，就專門用6學時的課時對本科生講解測量不確定度的相關知識。該部分教學的目的是為了使本科生能夠全面了解測量不確定度在物理實驗中所起的重要作用。然而，在實際的實驗教學過程中發現，大部分學生對測量不確定度的學習和應用僅僅停留在用其進行物理量測量結果的不確定度評定方面，不會去主動思考不確定度分析在物理實驗內容設計過程中所起的重要作用，就更談不上能夠對現有實驗儀器進行改進了。換言之，通過大學物理實驗這門重要的實踐課程的學習，對學生創新能力的培養還沒有達到預期的目標。

為了克服以上提到的問題，實驗中心除了進行如上所述的6學時的測量不確定度知識講授外，還增加了一個設計性實驗項目，如“單擺的研究”，用于加強本科生對測量不確定度知識的全面掌握。但經過一定時間的教學實踐發現，僅用一個設計性實驗項目來進行測量不確定度分析的學習還不夠。因此，在最近幾年里，實驗中心在所開設的所有基礎性物理實驗教學內容中，特別地引入了測量不確定度分析相關知識在具體實驗內容中所起作用的講授工作。通過實踐發現，這樣的教學內容改革，不但可以讓本科生能夠更加深入地掌握所學的實驗內容，而且能夠根據所學的測量不確定度相關知識，提出針對具體實驗內容的改進方案。通過將測量不確定度分析應用到高校大學物理實驗課程的基礎性實驗項目內容中，能夠對學生進行創新性思維的啟發，進一步為高校培養創新性人才奠定堅實的基礎。

本文以目前實驗中心所開設的3個具體實驗項目，如“單擺的研究”“楊氏彈性模量測量”“分光計測量三棱鏡折射率”等為例，對測量不確定度分析在具體實驗內容設計中的應用以及所取得的成果進行介紹。

2 不確定度分析在實驗設計中的應用舉例

眾所周知，單擺實驗是測量重力加速度g的一種實驗方法，有部分本科生在中學階段就接觸過此實驗[4]。然而，我們在大學物理實驗的實際授課過程中發現，學生對該實驗項目了解的僅是之前中學教師講解的初步知識內容，如：為了測量重力加速度g的值，在單擺小角度擺動情況下，只需要將單擺擺動n個周期所用的總時間t測量出來，然后計算得到單擺的擺動周期T=t/n，最后利用測量得到擺長L的值，利用公式，

(1)

就可以得到重力加速度g的值。

但是，這里有一個重要的物理問題學生們并沒有進行思考。如為什么采用單擺來測量重力加速度，而不采用“自由落體法”[5]進行測量？假設采用單擺法進行測量，實驗儀器涉及的實驗參數(例如擺長L的選取，以及測量周期時所涉及的n取值的選取)應該如何設定，才能將測量重力加速度g的相對不確定度控制在0.5%以內？換句話說，這個實驗該如何設計，才能滿足儀器設計時所考慮的測量精度的要求，學生之前很少有思考過的。為此，實驗中心就專門開設了一個設計性實驗項目，名稱為“單擺的研究”，用以說明測量不確定度分析在實驗內容涉及方面所起的重要作用。該實驗項目的具體內容和說明如下：

首先，根據式(1)，可以計算得到重力加速度g的相對不確定度的表達式如下所示：

(2)

其中，uL和uT分別為擺長和周期的不確定度。為了滿足測量精度要求ug/g≤0.5%，利用不確定度的等量分配原則，可將式(2)中的兩個物理測量量(長度和時間)進行分離變量操作，即

這樣，結合公式t=nT，在只考慮B類不確定度的情況下(設計實驗時還沒有進行多次測量，因此可暫不考慮A類不確定度)，直接就可以得到

從式(4)中可以看出，只要在實驗前估計出測量擺長時可能的所有誤差ΔLi以及測量時間時可能的所有誤差Δti，即可得出滿足設計要求下，單擺裝置需要設置的最小擺長Lmin及所需測量的最小擺動次數值nmin。或只要單擺實驗項目中的所涉及到的擺長和擺動次數能夠滿足式(4)，那任何一個學生采用這樣的實驗儀器，在實際實驗測量時，即能得到滿足設計要求ug/g≤0.5%的實驗測量結果。當然，一方面，由于實際實驗測量中，要考慮重復測量的A類不確定度，因此實驗儀器中擺長和擺動次數可再適當放大一點；另一方面，為了盡可能方便地滿足式(4)，可對學生選擇不同的測量儀器(不同的測量儀器選取將對應不用的B類不確定度)提供依據。

以上即為實驗中心所開設的一個設計性實驗，用于培養學生利用所學的不確定度知識來設計一個簡單的，滿足實驗設計要求的一個具體實驗項目步驟。在實際的教學過程中，我們發現通過開設類似的設計性實驗項目內容，可進一步培養學生的創新思維能力，為其進一步將測量不確定度知識應用到其他物理量的精確測量過程中提供參考。

例如，楊氏彈性模量實驗[6]也是目前大多數高校所開設的一個實驗項目，該實驗項目的目的一方面是讓同學們掌握一種測量楊氏彈性模量，包括光杠桿測量微小伸長量的方法；另一方面大多數高校也要求進行詳細的不確定度計算，用以對不確定度相關知識的進一步掌握。目前大多數高校該實驗儀器中采用的鋼絲原長L約在400mm到800mm之間。在實際的實驗過程中，如此長的鋼絲原長就可能會使鋼絲有一定的自然彎曲，導致鋼絲原長的測量存在較大的誤差。因此，有部分積極思考的同學就會提出如下的問題：在楊氏彈性模量測量儀中，能否將鋼絲原長L設置得更短一些呢？簡單地回答此問題，鋼絲原長L縮短，則會導致在單位拉力下，鋼絲的微小伸長量ΔL將更小，不利于實際的實驗測量。但此問題可通過增加光杠桿到望遠鏡的距離D來克服。為何要取這么長的鋼絲原長呢？事實上我們也可從測量不確定度的知識方面來回答此問題。

根據楊氏彈性模量E的計算表達式，

(5)

其中，F為待測金屬絲沿長度方向所受外力；D為光杠桿到望遠鏡的距離；L為鋼絲原長；b為光杠桿的長度；d為鋼絲直徑；ΔN為望遠鏡中標尺兩次讀數的變化量。可計算得到，其相對不確定度表達式為

(6)

其中，xi={F,D,L,b,d,ΔN}；uxi為對應的不確定度。當選取一般實驗情況下的參數值，例如F=10N，uF=0，D=1000mm，uD=3mm，b=70mm，ub=0.3mm，d=0.7mm，ud=0.002mm，ΔN=3mm，uΔN=0.1mm，uL=1.0mm，可以得到楊氏模量的相對不確定度uE/E隨鋼絲原長L的變化關系如圖1所示。

圖1 楊氏模量相對不確定度隨鋼絲原長的變化關系曲線

從圖1中可以看出，隨著選取鋼絲原長L值的增大，測量鋼絲楊氏彈性模量的相對不確定度將減小。特別地，當L<100mm時，相對不確定度值隨L的增大將急劇減小。而當選取L>300mm后，楊氏彈性模量的相對不確定度將趨于穩定，基本維持在3%左右。實驗中心的任課教師在指導學生完成該基礎型實驗時，就會從測量不確定分析這個角度來講解楊氏模量測量儀的設計原理，并從測量不確定的角度給出諸如上述學生提出的關于鋼絲原長問題的答案，即：通常情況下，楊氏模量測量儀中，鋼絲的原長都會設定在大于300mm的范圍內。

通過近幾年專門針對諸如上述實際實驗項目的測量不確定度分析講解，能夠使大多數本科生，特別是物理專業的本科生在完成大學物理實驗的同時，不僅能夠對實驗中心目前開設的實驗內容進行全面的學習，而且還能夠去深入思考該項實驗為什么要采用當前的實驗儀器來進行測量，并能夠提出針對實驗內容的改進方案。這對培養本科生的創新能力起到了很大的幫助。下面，舉兩個本科生所取得的具體研究成果來說明將測量不確定度分析應用在大學物理實驗設計中的重要作用。

邁克耳孫干涉儀實驗是目前大部分高校，特別是針對物理專業所開設的基本實驗內容之一。利用邁克耳孫干涉儀，實際上可以實現微小伸長量的精確測量。西南交通大學機械學院的兩名本科生在經過對測量不確定度分析的深入學習之后，就設計了一種基于邁克耳孫干涉儀的全自動楊氏彈性模量測量儀，用以解決傳統實驗中采用光杠桿測量所帶來的種種缺點。他們通過深入分析基于邁克耳孫干涉儀測量楊氏彈性模量的相對不確定值，設計了一種全自動的楊氏模量測量儀。通過分析發現，他們設計的實驗儀可將楊氏彈性模量測量的相對不確定度提高到約0.43%。相比通常用的光杠桿方法，該設計儀器對金屬絲楊氏彈性模量的測量精度可提高1到2個數量級。該研究結果以本科生為第一作者，于2016年12月發表于《實驗技術與管理》期刊[7]。

利用分光計測量三棱鏡折射率也是目前大多數高校所開設的傳統實驗內容之一。目前，大多數高校開設的此項實驗項目為，利用分光計，結合一個等邊三棱鏡，利用最小偏向角法等測量光源(如汞燈、或者鈉燈)某一特征譜線對應的波長，最多再計算一下測量不確定度，給出測量結果的真值在一定范圍內的概率，就算很好地完成了本實驗內容。西南交通大學應用物理專業的兩名本科生，在經過前述的關于不確定度分析在實驗儀器設計的應用培訓后，就詳細地從理論上分析了采用3種(最小偏向角法，掠入射法，垂直底邊入射法)常用的分光計測量三棱鏡折射率方法時，選取不同頂角的三棱鏡，以及針對不同波長的入射光，對所能獲得的折射率相對不確定度造成的影響進行了研究，其研究結果可如圖2所示[8]。

圖2 分光計測量三棱鏡折射率時，折射率相對不確定度(a) 與三棱鏡頂角選取大小的影響； (b) 與被測波長選取大小的影響[8]

從圖2(a)中可以看出，當設計的三棱鏡頂角較小時，采用掠入射法測量三棱鏡的折射率將獲得較小的折射率相對不確定度值，且3種方法所得到的折射率相對不確定度都隨選取的三棱鏡頂角的增大而急劇減小。而當選擇三棱鏡頂角大于25°后，3種方法所測得的折射率相對不確定度幾乎沒有差別。從圖2(b)中可以看出，隨著被測波長值的增加，最小偏向角法可獲得的折射率相對不確定度值將減小，而另外兩種方法可獲得的折射率相對不確定度值將增加。3種方法中，最小偏向角法測量三棱鏡折射率可獲得較小的相對不確定度值。這樣的研究結果，可為利用分光計精確測量三棱鏡的折射率的實驗儀器設計提供指導作用。該研究成果以本科生為第一作者于2017年12月發表于《激光與光電子學進展》期刊。

從以上的兩個實例可以看出，本科生通過對這一基礎的分光計測量折射率不確定度的分析，就可以對物理量的精確測量提出改進方案。

3 結語

測量不確定度分析是大學物理實驗課程的重要內容之一。通過強化測量不確定度分析在基礎性物理實驗項目中的應用的講授工作，西南交通大學物理實驗中心進行了一定的大學物理實驗教學內容改革。本文通過3個具體的實驗項目，詳細介紹了我校物理實驗中心將測量不確定分析應用于具體實驗內容設計中所做的教學改革以及學生取得的研究成果。我們相信，這樣的大學物理實驗教學內容改革，可為學生設計精確測量物理量的實驗儀器提供有力支持，更進一步，為高校培養具有創新實踐能力的本科生奠定基礎。