白熾燈燈絲的正常發光溫度、長度及直徑的估算

邵 云

(南京曉莊學院電子工程學院，江蘇 南京 211171)

白熾燈是一種熱輻射光源，雖然它的電能轉換為可見光的效率很低，但因它有良好的顯色性和光譜連續性，故仍被廣泛地應用于舞臺照明、攝影照明、電影放映、生物體內電鏡等場合。

白熾燈的設計涉及力、熱、光、電4個因素，十分復雜。在鎢絲的制作過程中摻入微量的鉀、硅、鋁元素可以增加它在高溫下的力學強度，防止變形。在燈泡中充入稍低于一個大氣壓的氮氣和惰性氣體可阻止鎢絲的氧化和升華，既可以延長燈絲的壽命，又可以提升燈絲的工作溫度以提高光效(溫度越高，熱輻射中的可見光成分越多)。但是充氣又會導致焦耳熱通過熱傳導和對流向外泄露，從而降低了電光轉換效率，因此通常只對40W以上的燈泡充氣，40W以下則得不償失。為減少熱傳導和對流熱損耗，人們通常將鎢絲做成螺旋狀(單螺旋或雙螺旋)以減小有效散熱面積，這樣做的另一個好處便是增加了鎢絲的溫度，從而提高了光效。

鎢絲長度與直徑的選擇是白熾燈設計的核心問題，它們由燈泡(或燈珠)的功率P、電壓U、燈絲的發光溫度T三者共同確定，其中必須考慮到螺旋燈絲內彼此間的吸收和反射因素，以及燈泡內氣體向外散熱因素的影響！

1 白熾燈鎢絲長度與直徑的理論公式

圖1 正常發光的鎢絲示意圖

參見圖1，由于鎢絲是摻雜的多晶體，因此即使在高溫下發光時，它也只能被近似地看作熱學中的灰體而非黑體！其通過表面向外熱輻射的平均發射率可表示為

εT=-2.9976×10-8T2+2.3435×10-4T-0.1176

(1)

其中T是鎢絲(非純鎢)的絕對溫度。該表達式是從文獻[1]中表格2.2.2的數據經計算擬合得到，適用范圍為2000K～3200K。而在正常發光時，長為l直徑為d的鎢絲向外熱輻射的功率可表示成

Pr=δ·εTσT4·πdl

(2)

其中，σT4即為黑體的輻出度；δ則是因螺旋燈絲內部彼此間吸收和反射所帶來的折扣因子，稱遮擋系數[1]；δ與燈絲的結構有關，對于單螺旋燈絲有δ≈0.755，而對于雙螺旋燈絲則有δ≈0.65。

通常燈泡引線和掛鉤的熱傳導損耗很小，幾乎可以被忽略。但燈泡內氣體的熱傳導和對流散熱卻比較可觀。氣體散熱占燈泡電功的比例稱為氣體熱損耗系數，用Kg表示[1]，它與燈泡的功率、泡內氣體的類型、燈絲的繞制結構(單螺旋或雙螺旋)有關。設燈泡的電功率為

P=UI

(3)

其中，U為燈絲兩端的電壓；I為電流，則燈泡內氣體的散熱功率可表示為

Pc=KgP

(4)

在1000K以上較大的溫度區間內，鎢絲的電阻率可準確地表示成[1]

(5)

長度為l，直徑為d的鎢絲在其發光時的電阻為

(6)

則根據焦耳定律并結合式(6)得

變形得

(7)

這便是長度為l和直徑為d的燈絲所需滿足的第一個方程。

將能量守恒定律應用于燈絲有

P=Pr+Pc

(8)

將式(2)、式(4)代入式(8)得

P=δ·εTσT4·πdl+KgP

整理得

(9)

這便是長度為l和直徑為d的燈絲所需滿足的第二個方程。

聯立式(7)、式(9)便可解得

(10)

(11)

再將式(1)、式(5)代入式(10)、式(11)得

這便是長度為l和直徑為d的白熾燈燈絲理論公式，它們是由燈絲的焦耳定律和能量守恒定律所推得。從這兩公式可見l和d不僅依賴于功率P和電壓U，還依賴于溫度T及熱輻射定律；l和d都是P、U、T的三元函數，其數值是由諸物理定律嚴格確定的，而不是隨意選擇的。

2 40W、60W、100W普通充氮泡單螺旋燈絲的正常發光溫度T、長度l和直徑d

從式(12)、式(13)可見，要想算出l和d，就必須知道燈絲的溫度T，而燈絲溫度T又與燈泡的光效ηl有如下關系：

(14)

該關系式是根據文獻[1]中表格2.2.2的數據并結合該文獻中公式(2.4.11)經擬合計算得到。到此，只要知道燈泡的光效ηl，即可從上式推得燈絲的發光溫度T。

我國的《JJG 247—2008總光通量標準白熾燈檢定規程》[2]規定了常用的普通單螺旋燈絲白熾燈泡光效的基本要求，例如：40W，ηl=8.75lm/W；60W，ηl=10.5lm/W；100W，ηl=12.5lm/W。對于國內最普通的充氮氣單螺旋燈絲燈泡，查得它們的氣體熱損耗系數Kg的平均值分別約為0.30、0.285、0.26，分別將ηl和Kg代入式(14)便可推得這些充氮燈泡燈絲的正常發光溫度為

下面利用式(12)、式(13)分別計算這3種燈泡燈絲的l和d。

1) 40W充氮泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2590K、P=40W、U=220V、Kg≈0.30、δ≈0.755、斯特藩-玻耳茲曼常量σ=5.67×10-8W·m-2·K-4一起代入式(12)和式(13)即可求得l=0.685m，d=2.34×10-5m。

2) 60W充氮泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2680K、P=60W、U=220V、Kg≈0.285、δ≈0.755及σ一起代入式(12)和式(13)可求得l=0.705m，d=2.97×10-5m。

3) 100W充氮泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2760K、P=100W、U=220V、Kg≈0.26、δ≈0.755及σ一起代入式(12)和式(13)可求得l=0.772m，d=4.08×10-5m。

可見，普通充氮泡單螺旋燈絲的正常發光溫度T、長度l、直徑d均隨功率P的增加而增加。

式(14)右邊括號內的三次方程實際上是文獻[1]表格2.2.2中鎢絲發光效率η數據的近似擬合，在2000K～3200K的溫度區間內，η與T幾乎呈線性正相關；同時，從上文可見Kg應與T反相關，因此燈泡的光效ηl(注：不同于η)一定與T正相關，也就是說提高燈絲的溫度便能提高燈泡的光效。那么為什么不將40W和60W的燈絲溫度也提高到2760K來提高光效呢？這是因為單純提高溫度會導致燈絲的直徑減小，這已由式(12)驗證。于是單位長度燈絲的側面積、體積也隨之減小，但體積減小比例更大。與同溫的100W燈絲相比，40W和60W燈絲表面的鎢原子相對于鎢絲質量的升華速率無疑要快得多，它們的壽命將大大縮短，因此這種美好的設想是不現實的。低功率燈絲選擇低的工作溫度正是出于對其使用壽命的考慮。

不過，從式(12)、式(14)可見，要想功率P不變，工作溫度T升高以提高光效，同時燈絲直徑d增加以保證使用壽命，那么只能要求燈泡內氣體的熱損耗系數Kg減小或燈絲的遮擋系數δ減小，或者兩者同時減小。充氬氣的雙螺旋燈絲燈泡能滿足此要求，它的Kg比充氮泡的單螺旋燈絲小得多，且δ也比單螺旋燈絲小，因此它的燈絲工作溫度可以更高，光效也更高。遺憾的是，由于雙螺旋燈絲的制作難度大、成本高，不易推廣，因此大多數企業寧愿生產充氬氣的單螺旋燈絲燈泡[3]。

3 基于基本光效的充氬氣燈泡單螺旋燈絲的正常發光溫度T、長度l和直徑d

對于充氬氣(氬氣占85%，氮氣占14%)的單螺旋燈絲燈泡，查得它們的氣體熱損耗系數Kg的平均值分別約為0.20(40W)、0.185(60W)、0.17(100W)，結合它們的基本光效ηl值：8.75lm/W(40W)、10.5lm/W(60W)、12.5lm/W(100W)，代入式(14)可解得這些基本光效充氬氣燈泡燈絲的正常發光溫度為

1) 基本光效下40W充氬泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2520K、P=40W、U=220V、Kg≈0.20、δ≈0.755及σ一起代入式(12)和式(13)即可求得l=0.826m，d=2.53×10-5m。

2) 基本光效下60W充氬泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2605K、P=60W、U=220V、Kg≈0.185、δ≈0.755及σ一起代入式(12)和式(13)即可求得l=0.851m，d=3.21×10-5m。

3) 基本光效下100 W充氬泡單螺旋燈絲的長度與直徑

將T=2690K、P=100W、U=220V、Kg≈0.17、δ≈0.755及σ一起代入式(12)和式(13)即可求得l=0.912m，d=4.37×10-5m。

將這里充氬泡的結果與前面第2節充氮泡的結果對比發現，在功率和光效均相同的情況下，充氬泡的燈絲溫度普遍下降了70K，燈絲長度普遍增加了20%，直徑普遍增加了8%。可見充氬泡燈絲的使用壽命將大大地延長，但是光效不變，用料成本卻大大地增加，這或許是一種浪費，即我們可以犧牲掉燈絲的一部分使用壽命來換取更大的光效和更低的成本。

4 一種實用的充氬氣燈泡單螺旋燈絲的設計方案及對比分析

文獻[1]給出了國內不少廠家設計單螺旋燈絲充氬氣燈泡l和d的一種制造經驗公式(誤差在2%左右)：

其中電流的單位是A。這樣便可直接通過式(15)、式(16)計算出l和d，再將它們與Kg、δ一起代入式(12)、式(13)估算出燈絲的工作溫度T，然后再代入式(14)算出燈泡的光效ηl。

1) 40W充氬氣單螺旋燈絲實用燈泡

將40W燈泡的電流I=40/220≈0.182(A)代入式(15)、式(16)求得燈絲的長度與直徑：l=0.709m，d=2.43×10-5m。將它們代回到式(12)、式(13)推得燈絲的發光溫度大致在2620K，繼而從式(14)算得燈泡的光效ηl=10.6lm/W。

對比前文基本光效下40W充氬泡的結果：

可見，這里按經驗公式制造的實用燈泡光效更高、成本更低；當然，由于燈絲的溫度增加了100K而直徑減小了4%，因此它的使用壽命會短不少，但仍能符合規定要求(見下文)。

若將充氬氣的實用燈泡與前文基本光效下的40W充氮氣泡結果：

相比較可見，充氬實用燈泡的l、d稍微增加了一點，但光效顯著增加。至于使用壽命，雖然燈絲溫度增加了30K即1.2%，但燈絲半徑也增加了2.6%，加之氬氣分子的質量顯著大于氮氣分子，使得氬氣比氮氣更能阻止鎢絲的升華，這些因素最終能使40W充氬實用泡的使用壽命大于前文40W的充氮泡，即能符合燈絲使用壽命要求。

2) 60W充氬氣單螺旋燈絲實用燈泡

將60W燈泡的電流I=60/220≈0.273(A)代入式(15)、式(16)求得燈絲的長度與直徑：l=0.797m，d=3.15×10-5m．將它們代回到式(12)、式(13)推得燈絲的發光溫度大致在2645K，繼而從式(14)可算得燈泡的光效ηl=11.3lm/W。

對比前文基本光效下60W充氬泡的結果：

可見，按經驗公式制造的實用燈泡光效更高、成本更低；當然，由于燈絲的溫度增加了40K而直徑減小了2%，因此它的使用壽命會短一些，但仍能符合規定要求(見下文)。

再對比前文基本光效下60W充氮泡的結果：

可見，充氬氣實用燈泡的l、d、ηl均增加了一些，但T卻減小了一些，加之本身充的是氬氣，因此它的使用壽命一定比基本光效下60W的充氮泡長。

3) 100W充氬氣單螺旋燈絲實用燈泡

類似可求得燈絲的長度l=0.922m，直徑d=4.38×10-5m，正常發光溫度T≈2680K，光效ηl=12.3lm/W。

對比前文基本光效下100W充氬泡的結果：

可見，兩者基本一致，也就是說100W的實用充氬泡就是按照基本光效要求設計的。

再對比前文基本光效下100W充氮泡的結果：

可見，充氬氣實用燈泡燈絲的溫度低了80K，長度、直徑卻增加了不少，而光效基本持平。這不能被算作是一種浪費，而是實踐中出于保證燈泡使用壽命的考慮，這就意味著前文基本光效下100W充氮泡的使用壽命可能達不到1000h的標準要求。由此可見，大功率的燈泡要想保證其使用壽命及光效，就必須充氬氣等大分子的惰性氣體。從式(14)可見，在光效ηl一定而降低了熱損耗系數Kg后，燈絲的工作溫度T便降了下來(相對于大功率充氮泡)；又從式(12)可見燈絲的直徑增加了，于是燈泡的使用壽命便延長了。

5 總結與說明

本文利用所推得的理論公式(12)、式(13)、式(14)分別完整地計算了JJG 247—2008規定的基本光效下常見的40W、60W、100W普通充氮、充氬白熾燈單螺旋燈絲的正常發光溫度T、長度l和直徑d，同時從一種實用的經驗公式(15)、式(16)結合式(12)、式(13)算得同樣功率的實用充氬白熾燈絲的對應參量。將這3種燈泡燈絲的結果進行對比分析發現，基本光效下的普通充氮泡燈絲的溫度偏高，直徑偏小，壽命偏短，其中100W燈泡的使用壽命可能達不到標準要求；基本光效下充氬泡燈絲的溫度偏低，直徑偏大，壽命偏長，有用料成本偏高而光效偏低之嫌；經驗公式制造的實用充氬泡燈絲的溫度隨功率變化不大，數值處在不高不低的位置，直徑總體居中，壽命也適中，但光效大，確實實用。

本文所給理論公式(12)、式(13)、式(14)較文獻[1]中公式更完整、深入、便于計算。它們揭示了燈絲的長度、直徑、溫度與燈泡的功率、結構、充氣性質、光效及使用壽命等因素的內在關聯。3種燈泡的數據結果對比合乎物理邏輯，顯示出理論公式(12)、式(13)、式(14)的正確性。

從文中諸結果可見，白熾燈絲的正常發光溫度T、長度l和直徑d均與功率正相關。那種認為功率越大則燈絲的長度越短、直徑越粗的觀點是膚淺的，同樣，那種認為可以通過單純提高燈絲溫度來提高低功率燈泡光效的觀點也是錯誤的。

公式(12)、式(13)、式(14)中的遮擋系數δ和氣體熱損耗系數Kg本文均選擇了均值，即參考的是燈絲幾何參數的均值，具有代表意義。其中Kg的取值來自文獻[1]中的曲線圖2.4.2，可能存在少量誤差，但文獻[4]中的插圖5又顯示本文Kg取值的誤差其實很小。另外，從本文的理論結果和經驗公式結果均合乎物理邏輯來看，Kg及理論計算的誤差應不大。

如果能夠直接測得燈絲準確的正常發光溫度T，便可直接從公式(12)、式(13)、式(14)計算出燈絲的長度l、直徑d和燈泡的光效ηl；反之，如果l、d已知，那么也可以反過來推定燈絲的溫度T及燈泡的光效ηl。

由于更低功率的燈泡要么是真空泡，要么Kg變得很大，從文獻[1]的曲線圖2.4.2中不易估讀，而更高功率燈泡的導線傳熱比例也漸增大，不容忽視[5]，因此本文只計算了40W、60W和100W的充氣燈泡。

6 結語

本文主要參考的文獻[1]是復旦大學教材《光源原理與設計》。本文所給完整的理論計算公式(12)、式(13)、式(14)，及其與經驗公式(15)、式(16)在具體實例中的詳細應用以及對比分析，或可為相關內容的教學提供點滴參考。不當之處，歡迎指正。