重視矢量場(chǎng)定理在電磁場(chǎng)理論教學(xué)中的應(yīng)用

李長(zhǎng)勝 周 震 馮麗爽

(北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)光電工程學(xué)院，北京 100083)

“電磁場(chǎng)理論”或“電磁場(chǎng)與電磁波”是目前理工科電氣、電子、通信以及光電信息科學(xué)與工程等專業(yè)本科生的重要基礎(chǔ)課，理科物理專業(yè)本科生對(duì)應(yīng)的類似課程為“電磁學(xué)”和“電動(dòng)力學(xué)”。由于電磁場(chǎng)理論的抽象性，本課程普遍被認(rèn)為是一門(mén)難教、難學(xué)的課程[1-3]。為了使學(xué)生學(xué)好這門(mén)課程，許多文獻(xiàn)提出了各種有針對(duì)性的方法，以增強(qiáng)本課程的教學(xué)效果、降低教學(xué)難度。例如：(1)選擇合適的教材和采用合理的教學(xué)方式[1]；(2)利用幾何圖形以及電磁場(chǎng)仿真圖形和動(dòng)畫(huà)技術(shù)，采用形象化的教學(xué)方式幫助學(xué)生理解電磁場(chǎng)的概念和規(guī)律[4]；(3)加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)課和實(shí)踐課的教學(xué)環(huán)節(jié)[5]；(4)歸納總結(jié)電磁場(chǎng)的對(duì)稱性和對(duì)偶性特點(diǎn)[6, 7]；(5)采用類比教學(xué)法，例如：將矢量場(chǎng)類比為流體中的流速場(chǎng)[8]；研究利用電磁力與慣性力的相似性[9]；(6)重視電磁場(chǎng)與電磁波的理論知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，關(guān)注電磁學(xué)相關(guān)物理效應(yīng)的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[10]等。

矢量分析和場(chǎng)論是電磁場(chǎng)理論課程中的核心基礎(chǔ)內(nèi)容，有的工科院校將其單獨(dú)開(kāi)設(shè)為一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程[11]，其主要內(nèi)容包括標(biāo)量場(chǎng)的梯度，矢量場(chǎng)的通量、環(huán)量、散度、旋度等基本概念，以及散度定理、斯托克斯定理和亥姆霍茲定理等基本矢量場(chǎng)定理。這些基本概念和定理提供了后續(xù)電磁場(chǎng)與電磁波課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和“場(chǎng)”的基本思想，因而通常出現(xiàn)在相關(guān)教材的第一章[12-16]。

關(guān)于矢量分析和場(chǎng)論與本課程教學(xué)之間的關(guān)系，已有一些文獻(xiàn)進(jìn)行了相關(guān)分析和討論，例如：文獻(xiàn)[17]討論了矢量分析在物理規(guī)律中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[3]和[18]討論了幾何圖形及矢量圖分析在電磁場(chǎng)教學(xué)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[19]提出在電磁學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)“場(chǎng)”的物理思想和體系；文獻(xiàn)[20]認(rèn)為電場(chǎng)線的兩大性質(zhì)是靜電場(chǎng)兩大定理(即高斯定理和環(huán)路定理)的形象表述；等等。但目前尚未見(jiàn)有文獻(xiàn)分析和討論矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)，特別是典型矢量場(chǎng)定理在電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)中的重要作用。

本文在討論場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)與電磁場(chǎng)理論課程內(nèi)容之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出在“電磁場(chǎng)理論”課程教學(xué)中應(yīng)充分重視矢量場(chǎng)定理的普遍應(yīng)用，從而可以幫助學(xué)生理解和掌握本課程內(nèi)容，有效降低本課程的教學(xué)難度，提高教學(xué)效率。

1 場(chǎng)論基礎(chǔ)與電磁場(chǎng)理論的關(guān)系

場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)形態(tài)，是物理學(xué)中最基本、最重要的研究對(duì)象之一。“場(chǎng)”的概念和思想貫穿于物理科學(xué)發(fā)展的始終，在宏觀、微觀物理，尤其是近代物理中，均離不開(kāi)“場(chǎng)”的思想，包括引力場(chǎng)、流體場(chǎng)、電磁場(chǎng)以及場(chǎng)的量子理論和規(guī)范場(chǎng)等[21]；場(chǎng)論既是物理學(xué)，也是數(shù)學(xué)的重要組成部分和研究對(duì)象[11]。場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)提供了上述各種形態(tài)物理場(chǎng)的一般概念和基本規(guī)律，它描述了各種物理場(chǎng)均具有的共同屬性，因此學(xué)好矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)，正確理解和掌握“場(chǎng)”的一般概念、思想、規(guī)律及其數(shù)學(xué)表述，將有助于降低電磁場(chǎng)理論課程學(xué)習(xí)的難度，對(duì)于本課程教學(xué)具有重要指導(dǎo)意義。

電磁場(chǎng)是典型物理場(chǎng)之一，因而電磁場(chǎng)理論與場(chǎng)論之間是“特殊與一般”的關(guān)系。實(shí)際上，電磁場(chǎng)理論中的諸多概念和定理均是根據(jù)場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)定義和推導(dǎo)得出的，例如：利用標(biāo)量梯度的概念描述電位與電場(chǎng)之間的關(guān)系；利用矢量場(chǎng)的散度和旋度描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與其場(chǎng)源之間的關(guān)系；利用散度定理和斯托克斯定理，可以將麥克斯韋方程的微分形式轉(zhuǎn)換為積分形式，等等[12-16]。

因此在電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分重視矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)的普遍應(yīng)用，善于利用場(chǎng)論基礎(chǔ)中的一般概念和定理分析、理解和掌握電磁場(chǎng)理論，以便降低本課程的教學(xué)難度，提高教學(xué)效率。

2 矢量場(chǎng)定理在電磁場(chǎng)理論中的應(yīng)用

矢量場(chǎng)F的散度是為了描述F在空間某點(diǎn)M附近的通量特性而引入的，它定義為點(diǎn)M處單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量F的通量，即該點(diǎn)的通量源密度，其定義式為[12]

(1)

式中S為包圍點(diǎn)M的任意閉合曲面，ΔV為S所限定的體積。

矢量場(chǎng)F的旋度是為了描述F在空間某點(diǎn)M附近的環(huán)流(量)特性而引入的，其大小等于該點(diǎn)處環(huán)流面密度的最大值，其方向是使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，其定義式為[12]

(2)

式中ΔS為經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的面元，C為ΔS的邊界閉合路徑，en為面元ΔS的正法線單位矢量。可見(jiàn)，點(diǎn)M處矢量場(chǎng)的旋度即是該點(diǎn)的漩渦源密度。

電磁場(chǎng)是一種典型的矢量場(chǎng)，矢量場(chǎng)的散度和旋度的概念始終貫穿于電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)之中，例如：描述電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的麥克斯韋方程組是由電磁場(chǎng)量的兩個(gè)旋度方程和兩個(gè)散度方程組成的，因而可以利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)的散度和旋度運(yùn)算求解其場(chǎng)源；同時(shí)表明在無(wú)界、自由空間中的矢量場(chǎng)可以完全由其散度和旋度確定，這也是亥姆霍茲定理的核心內(nèi)容。

矢量場(chǎng)的基本定理主要包括散度定理、斯托克斯定理和亥姆霍茲定理，這3個(gè)定理在電磁場(chǎng)理論中得到普遍應(yīng)用；在教學(xué)過(guò)程中，要求學(xué)生深刻理解并熟練應(yīng)用這些基本定理，將有利于學(xué)生順利地理解和掌握電磁場(chǎng)理論中的有關(guān)概念、規(guī)律和分析方法，從而提高本課程的學(xué)習(xí)效率。

2.1 散度定理的應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)散度定理，矢量場(chǎng)F的散度·F在體積V內(nèi)的體積分等于該矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合面S上的面積分[12]，即

(3)

散度定理的典型應(yīng)用實(shí)例主要包括：

(1) 靜電場(chǎng)高斯定理與穩(wěn)恒磁場(chǎng)磁通連續(xù)性[12]。可以利用散度定理將上述定理的微分形式轉(zhuǎn)換為積分形式。在電通密度(或電位移)矢量為D的場(chǎng)域內(nèi)任意取一閉合曲面S，S所包圍的區(qū)域體積為V，S內(nèi)的自由電荷體密度為ρv，已知靜電場(chǎng)高斯定理(麥克斯韋第四方程)的微分形式為

·D=ρv

(4)

對(duì)式(4)兩邊取體積分，并利用散度定理即可得出靜電場(chǎng)高斯定理的積分形式，即

(5)

式中Qv為體積V內(nèi)的自由電荷總量。

穩(wěn)恒磁場(chǎng)是有旋無(wú)散場(chǎng)，即對(duì)于磁通密度矢量為B的任意閉合曲面S內(nèi)任意一點(diǎn)，有

·B=0

(6)

對(duì)式(6)兩邊取體積分并利用散度定理可得

(7)

上式即為穩(wěn)恒磁場(chǎng)磁通連續(xù)性定理(麥克斯韋第三方程)的積分形式。

(2) 電流連續(xù)性方程與基爾霍夫電流定律[12,16]。利用散度定理，可以根據(jù)電流連續(xù)性方程的積分形式推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的微分形式。設(shè)某閉合面S所限定的體積V不隨時(shí)間變化，且該區(qū)域內(nèi)自由電荷體密度為ρv、傳導(dǎo)電流體密度為Jc，則電流連續(xù)性方程的積分形式為

(8)

(9)

由于體積V是任意的，故根據(jù)式(9)可得出電流連續(xù)性方程的微分形式，即

(10)

此外，將式(5)代入式(8)等號(hào)右邊，并利用散度定理可得，

(11)

式中Jd和Id分別為位移電流密度和位移電流。式(8)等號(hào)左邊為流入和流出閉合面S的所有傳導(dǎo)電流的總和，即

(12)

式中Ic為傳導(dǎo)電流。將式(11)、(12)代入式(8)可得基爾霍夫電流定律，即

(13)

式中Ij為傳導(dǎo)電流或位移電流。

(3) 坡印廷定理[12]。假設(shè)空間中閉合曲面S所限定空間場(chǎng)域V內(nèi)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電通密度、磁通密度矢量分別為E、H、D、B，電流密度矢量為J，則根據(jù)麥克斯韋方程組中的兩個(gè)旋度方程，以及矢量恒等式·(E×H)=H·(×E)-E·(×H)可得，

(14)

式中w=(H·B+E·D)/2為電磁場(chǎng)的能量密度，對(duì)式(14)兩邊取體積分并利用散度定理可得坡印廷定理的積分形式，即

(15)

(4) 電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定理[22]。假設(shè)介質(zhì)中電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度矢量定義為

gem=D×B

(16)

動(dòng)量流密度張量(或電磁應(yīng)力張量)定義為

Jg=0.5(D·E+B·H)l-DE-BH

(17)

式中l(wèi)為二階單位張量，Jg為二階對(duì)稱張量，電磁場(chǎng)對(duì)自由電荷密度為ρ、恒定電流密度為j的靜止帶電系統(tǒng)的洛倫茲力密度為

f=ρE+j×E

(18)

則電磁場(chǎng)動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定理的微分形式為

(19)

對(duì)式(19)兩邊取體積分并利用散度定理可得該定理相應(yīng)的積分形式為

(20)

(21)

上式等號(hào)左邊表示體積V內(nèi)所有帶電體的機(jī)械動(dòng)量和電磁動(dòng)量之和的時(shí)間變化率，等號(hào)右邊表示該體積表面所受的總的面積力[23]。

(5) 電磁場(chǎng)的角動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定理[22]。假設(shè)電磁場(chǎng)的角動(dòng)量密度矢量為

l=r×gem=r×(D×B)

(22)

式中,r為場(chǎng)點(diǎn)位置矢量，角動(dòng)量流密度張量為

Jl=-Jg×r

(23)

則在各向同性介質(zhì)中，電磁場(chǎng)的角動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定理的微分形式為

(24)

對(duì)式(24)兩邊取體積分并利用散度定理可得該定理相應(yīng)的積分形式為

(25)

等號(hào)右邊的體積分表示單位時(shí)間內(nèi)場(chǎng)域V中總機(jī)械角動(dòng)量(r×gm)的變化量。

2.2 斯托克斯定理的應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)斯托克斯定理，矢量場(chǎng)F的旋度F在曲面S上的面積分等于該矢量場(chǎng)在限定曲面S的閉合曲線C上的線積分[12]，即

(26)

斯托克斯定理的典型應(yīng)用實(shí)例主要包括：

(1) 麥克斯韋第一、第二方程[12]。麥克斯韋第一方程(即安培環(huán)路定理)的微分形式為

(27)

對(duì)式(27)兩邊取面積分并利用斯托克斯定理可得對(duì)應(yīng)的積分形式，即

(28)

麥克斯韋第二方程(即法拉第電磁感應(yīng)定律)的微分形式為

(29)

對(duì)式(29)兩邊取面積分并利用斯托克斯定理可得對(duì)應(yīng)的積分形式，即

(30)

(2) 磁通量的計(jì)算式[12]。根據(jù)磁通密度B與矢量磁位A之間的關(guān)系式B=×A和斯托克斯定理可得利用A計(jì)算磁通量Φ的公式，即

(31)

此外，根據(jù)式(30)、(31)和斯托克斯定理，可以推導(dǎo)出基爾霍夫電壓定律[16]。

2.3 亥姆霍茲定理的應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)亥姆霍茲定理，若矢量場(chǎng)F在某閉合面S所限定的有限空間區(qū)域V內(nèi)處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)、有界，場(chǎng)源分布在區(qū)域V內(nèi)，則該矢量場(chǎng)由其散度、旋度及其邊界條件唯一確定，且矢量場(chǎng)F(r)可表示為標(biāo)量場(chǎng)u(r)的梯度的負(fù)值與另一矢量場(chǎng)A(r)的旋度之和[15]，即

F(r)=-u(r)+×A(r)

(32)

式中u(r)和A(r)的表達(dá)式分別為

式中r、r′分別為場(chǎng)點(diǎn)、源點(diǎn)的位置矢量。

亥姆霍茲定理的核心內(nèi)容是自由空間矢量場(chǎng)完全由其散度和旋度確定，這可以用來(lái)詮釋和理解為什么4個(gè)麥克斯韋方程組是關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度和旋度的。許多文獻(xiàn)分析討論了亥姆霍茲定理在電磁場(chǎng)理論中的應(yīng)用，例如：文獻(xiàn)[24]從亥姆霍茲定理出發(fā), 闡明了電位移與場(chǎng)源之間的內(nèi)在聯(lián)系。文獻(xiàn)[25]討論了該定理在電磁場(chǎng)理論中的貫穿作用，認(rèn)為根據(jù)亥姆霍茲定理，可以由麥克斯韋方程組自然地引出標(biāo)量電位和矢量磁位，并可方便地導(dǎo)出庫(kù)侖定律或畢奧-薩伐爾定律，以及位函數(shù)與場(chǎng)在自由空間的積分表達(dá)式。

此外，文獻(xiàn)[26]討論了亥姆霍茲定理在求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中的應(yīng)用，可由亥姆霍茲定理直接導(dǎo)出靜電場(chǎng)電位邊值問(wèn)題的一般積分解表達(dá)式，其推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單明了。文獻(xiàn)[27]從亥姆霍茲定理出發(fā)，合理導(dǎo)出靜態(tài)與時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題求解所需要的基本方程，并基于不同類型電磁場(chǎng)的特性給出對(duì)應(yīng)的定解條件；由于靜態(tài)和時(shí)變電磁場(chǎng)的不同特性，其所要求的邊界條件有所減弱，即根據(jù)靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，其邊界條件只需給定電場(chǎng)的法向分量，根據(jù)恒定磁場(chǎng)的無(wú)散性，其邊界條件只需給定磁場(chǎng)的切向分量，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的相互耦合，邊界條件只需給定電場(chǎng)或者磁場(chǎng)的切向分量。

3 結(jié)語(yǔ)

高斯定理是矢量場(chǎng)中閉合曲面積分與其所限定區(qū)域的體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系；斯托克斯定理是矢量場(chǎng)中的閉合曲線積分與其所圍曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系；亥姆霍茲定理表明，一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)可由其散度和旋度來(lái)描述，上述應(yīng)用實(shí)例表明，這些矢量場(chǎng)定理普遍存在并始終貫穿于“電磁場(chǎng)理論”課程的諸多內(nèi)容之中，因此在“電磁場(chǎng)理論”課程教學(xué)中應(yīng)充分重視這些矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)的廣泛應(yīng)用。

在多年的電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，通過(guò)在緒論課及場(chǎng)論基礎(chǔ)課中提醒學(xué)生重視上述矢量場(chǎng)定理的學(xué)習(xí)，并在后續(xù)課堂教學(xué)中提醒學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用上述場(chǎng)論基本概念、矢量場(chǎng)定理分析和理解電磁場(chǎng)理論，可以使學(xué)生更易于理解和掌握所學(xué)電磁場(chǎng)理論，做到融會(huì)貫通，從而可以有效降低本課程教學(xué)與學(xué)習(xí)的難度、提高教學(xué)效率。