光和引力波專題Ⅱ——電磁及引力介質理論

王雯宇 吳海鱗 許 洋

(北京工業(yè)大學應用數理學院，北京 100124)

1 引出問題

本專題的第一篇論文介紹了廣義相對論引力的理論基礎。在等效原理的基礎上，論文重點說明了引力幾何化思想，廣義相對性原理和廣義光速不變原理的理解，坐標系和固有時以及固有距離的關系等內容。在此之后論文回顧了構建愛因斯坦場方程的邏輯過程，施瓦茲解及其檢驗等。在本文中，我們將主要討論介質存在時的電磁理論與引力理論。這部分內容是大部分物理教科書上沒有的，討論的問題也并沒有一個標準的答案，所以論文會給出較為詳細的推導過程。論文首先論證真空光速和引力波速相等的原因，然后討論介質存在時的效應。以此為基礎，第2節(jié)討論電磁理論的處理辦法。第3節(jié)討論引力理論的處理辦法，引力場方程的修正等。第4節(jié)討論宇宙學理論的部分修正。第5節(jié)給出本專題的總結。附錄給出黎曼幾何的基礎知識。

電磁理論和引力論其實可以看作是獨立的兩個理論：一個是關于電場和磁場，或者電磁場張量Fμ ν的理論，另一個是關于時空度規(guī)gμ ν的理論。慣性系中，真空中的光速是一個常數，時空度規(guī)的漣漪傳播速度為什么必須是相等的呢？了解了第一篇論文所述的相對論的基本概念之后，就可以回答這個問題了。

波動理論中，波速是波相傳播的速度，它由波動方程來確定。比如真空中電磁場的傳播，波動方程的形式非常簡單

(1.1)

?2Fμ ν=0

(1.2)

所以對麥克斯韋方程組形式不變性的要求也可得到真空光速不變的結論。當然，本文主要關注的光速和引力波速的問題，這里不必去深究狹義相對論光速不變原理和麥克斯韋方程組形式不變性之間到底哪個更為基本的問題。

當研究愛因斯坦場方程時，會發(fā)現度規(guī)場也可以存在波動形式。比如弱場近似下，可以根據愛因斯坦場方程導出無源的引力波波動方程

?2φμ ν=0

(1.3)

其中φμ ν就是所謂的時空漣漪，后文將給出其準確定義。從方程形式上可以看出，引力波的速度也是光速。由于場方程是廣義協(xié)變的，因此引力波在任意的坐標系中都等于真空中的光速。仔細分析即可發(fā)現，引力波速等于真空中的光速其實就是源于廣義光速不變原理，即四維時空的間隔ds2不變的要求。任意的一個物理量A，只要具有

?2A=0

(1.4)

的波動形式，波速都是真空中的極限速度。另外，根據第一篇論文中討論的坐標系的性質，局域的測量其實都是可以看作是在一個慣性系中的測量。所以，這種形式波動方程的波速自然都是真空中的光速。

上文回答了引力波速為什么和真空光速相等的問題，接下來的問題就是引力波的速度是不是必須和真空中的光速相等。正如第一篇論文所說，光速是可以小于真空中的光速的，這就是介質的效應。現在有了引力波的存在，就會有這樣的問題：真空到底是“誰”的真空？如果是“電磁場”的真空，那真空的極限速度都是真空光速，?2A對應的速度是不變量，引力波速當然也就是真空中的光速。但是如果真空是“引力波”的真空，也就該電磁波在引力波真空中的傳播相當于在某個介質中的傳播，那么引力波速當然就不是真空中光速了。或者說引力波速才是光速不變原理要求的極限速度，由麥克斯韋方程組得到的波動方程只是一個介質中的波動方程，其速度必須得考慮介質的效應。這相似于以太理論，此時引力波的真空就是電磁場的“以太”。講到這里就不得不說一下“對鐘”的問題。第一篇論文中已經說明，如果我們只能用光來對鐘的話，光速不變原理就是自然的了。但是現在有了引力波探測，事情就不一樣了。引力論和電磁理論是兩個獨立的理論，我們完全可以用引力波來對鐘，光速不變就不是自然成立的了。雖然引力波信號的探測還是非常困難的，但是這完全不影響我們從物理概念角度出發(fā)所進行的思考。一旦引力波探測技術得到了大大提高，檢驗引力波速與光速的差別就會是一個重要的物理問題，由引力波對鐘，也可以檢驗單程光速是否不變的問題了。這已經超出了本文要討論問題的范圍，這里就不詳述了。

2017年，美國國家航空航天局的費米衛(wèi)星探測到的短伽馬射線暴GRB170817A的觀測數據表明，引力波與電磁波的速度并不嚴格相等，引力波波速的具體限制為[1]

(1.5)

其中，vGW是引力波波速；而vEM是探測到的電磁波波速。這也留下了討論引力波波速和真空光速差別的空間。

如果接受以上的論證，那么下面的問題就是引力場中的電磁理論形式怎么寫，能不能回到我們通常學習的麥克斯韋方程組？其實這個問題很好回答，那就是介質電磁理論寫為廣義協(xié)變形式即可。在文獻[2]中，本文作者已經找到了介質電磁理論平直時空洛倫茲協(xié)變的形式。現在就是將平直時空理論再推廣為彎曲時空理論即可。當然引力波自身能不能也有類似的效應也是需要回答的問題。我們從電磁介質理論中得到了啟發(fā)，嘗試推廣介質引力理論。下面3節(jié)分別來說明具體的理論。

2 介質電磁理論

在狹義相對論中，慣性系度規(guī)ημ ν描述了平直時空下的測量方式，時空間隔為

ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2

(2.6)

上式中，c為真空中的光速。光速在此出現的含義是，我們默認使用光來傳遞兩點之間的位置信息。這是關于光速問題的要點所在。真空中的光速當然不變，它不取決于觀察者的運動狀態(tài)。但是我們并不是生活在真空中，我們周圍存在著各種各樣的電磁介質。而介質中的光速并不是極限速度c，因此它也不是洛倫茲變換不變的，介質中的光速取決于介質的電磁性質以及觀察者的運動狀態(tài)。因此，空間中介質的存在將影響時空間隔的測量，在平直時空中，從A點發(fā)射的光線，在抵達B點后，返回至A點經過的時間間隔為2Δt，那么AB兩點的空間間隔Δl可以表示為

Δl=cΔt

(2.7)

而真實情況是AB之間的空間區(qū)域內存在某種電磁介質，導致光速由c變?yōu)榻橘|中的波速e。測量到的時間間隔是2Δt，那么AB之間真正的空間間隔將變?yōu)?/p>

Δl′=eΔt

(2.8)

由于介質中的光速e一般小于真空中的光速c，因此導致

Δl′<Δl

(2.9)

即由于介質的存在，我們測量到的空間間隔Δl比實際情況下的空間間隔Δl′要大。

以上簡單的分析表明，介質的存在影響著空間間隔的測量。造成這一點的原因在于，我們使用電磁相互作用傳遞信息，而“傳遞信息”這一事件是物理的，是真實發(fā)生的。“兩點之間由真空中的光速來建立聯(lián)系”，這一論斷假設了空間中不存在介質，屬于理想情況。在宇宙中，不可避免的存在著電磁介質。當遙遠的光線經過電磁介質時，光速發(fā)生了變化，導致測量到的空間間隔與實際情況存在偏差。接下來，分析電磁介質對測量造成的效應。

經典電動力學中，電磁場的基本變量是電磁場張量，Fμ ν它與電磁勢Aμ的關系為

Fμ ν≡?μAν-?νAμ

(2.10)

自然單位制下它的具體表達式為

(2.11)

由上式可以得到一個循環(huán)恒等式

?αFμ ν+?νFα μ+?μFν α=0

(2.12)

該式就是電磁學理論中的比安奇恒等式。它作為描述電磁場的方程之一，滿足洛倫茲協(xié)變性，方程右邊等于零意味著不存在磁荷。介質存在時，這一恒等式不受影響。真空中電動力學另外一個場方程為

?μFμ ν=Jν

(2.13)

其中，Jν是四維電流密度。把以上兩個方程寫成電場強度E，磁感應強度B分量的形式就是通常的真空中麥克斯韋方程組

而當時空中存在介質時，電磁理論就需要修改為介質麥克斯韋方程組

其中，D是電位移矢量；H是磁場強度矢量，它們與電磁場(E,B)的關系為

該關系被稱為本構關系。公式中ε,μ分別是介質中的介電常數和磁導率。注意這里討論的是各向同性介質，同時真空中ε0=μ0=1。以上就是通常電動力學教科書講解的基礎內容。

仔細研究就會發(fā)現，介質麥克斯韋方程組(2.18)～(2.21)并不能像真空麥克斯韋方程組那樣寫成洛倫茲協(xié)變形式。也就是說式(2.18)～(2.21)描述的是介質靜止時的電磁理論形式。如果介質運動，該方程就不成立了。此時可以把參考系變換到介質靜止參考系進行處理，這顯然是不方便的。為此，物理學家引入了另外一組電磁張量Gμ ν，它是由電位移矢量D和磁場強度H構成的張量。因為它的符號與愛因斯坦張量Gμ ν重復，我們暫將其記為Qμ ν，其定義為

(2.24)

方程(2.13)在介質中的形式就修改為

?μQμ ν=Jν

(2.25)

這是一個洛倫茲協(xié)變形式的運動方程，似乎可以處理運動介質的問題。但是問題沒有那么簡單，因為本構關系(2.22)、(2.23)仍然是分量形式，并不是協(xié)變的，Fμ ν的關系Qμ ν也不清楚。所以在實際處理介質存在電磁問題時，仍然需要有介質靜止參考系本構關系(2.22)、(2.23)得到Fμ ν與Qμ ν分量之間的關系。最終的結果為

公式中β是介質運動的空間速度，公式(2.30)和(2.31)就是運動介質中的本構關系。這就是通常電磁學處理介質問題的方法，在實際應用中已經足夠實用。但是由于本構關系仍然是分量形式，所以以上方程仍然不是洛倫茲協(xié)變形式。在文獻[2]中，我們找到了協(xié)變形式的本構關系。洛倫茲協(xié)變介質電磁理論的形式為

其中，uμ是介質運動四速度；εβ γ μ ν是四階反對稱張量。公式(2.33)就是比安奇恒等式(2.12)。這里我們采用了Fμ ν的對偶形式

(2.35)

以上介質理論公式(2.32)～(2.34)雖然簡捷漂亮，但是Gμ ν只是介質存在時的效應，而電磁學基本變量只是電磁場(E,B)或者張量Fμ ν。因此，介質理論應該可以寫為由電場強度和磁感應強度(E,B)表達的形式。經過計算，(具體過程參看文獻[2]。)介質電磁理論可以化簡為

當然其協(xié)變形式應該由電磁張量Fμ ν來表達，即

上式中

(2.42)

是靜止介質中電磁波波速。以上就是運動介質電磁理論的形式。經研究發(fā)現，其實存在一個處理介質理論的簡單方法，接下來具體說明。

對比真空麥克斯韋方程組(2.14)～(2.17)和介質麥克斯韋方程組(2.18)～(2.21)，發(fā)現，兩組方程形式完全一樣，唯一的差別僅在于真空中的光速c與靜止介質中的波速e互換而已。這種性質提示了我們可以做以下處理：利用本構關系(2.22)、(2.23)，靜止介質波速(2.42)公式，靜止介質電磁學運動方程(2.26)和(2.27)改寫為

將上式進一步變形，

介質的存在使得真空中的光速c變?yōu)榻橘|中的光速e，相關物理量中但凡出現真空中的光速c的地方，我們將其替換為介質中的光速e。比如，在國際單位制下，四維坐標

xμ=(ct,x)

(2.47)

將第零分量中出現的c替換為e，即

(2.48)

符號上沒有帶“彎”(～)的物理量，說它是物理的、真實的，而帶“彎”的物理量，說它是介質物理量，因為空間中不可避免的存在電磁介質，使得兩點之間信息傳遞的速度不是真空中的光速c，而是介質中的光速e。

對其他電磁量也做這種替換。對于微分算符?μ，在作這一替換后成為

(2.49)

真空中的電磁張量Fμ ν在介質中成為

(2.50)

同樣，四維電流密度Jν成為

(2.51)

由于介質理論和真空理論形式完全一樣，這使我們意識到，只要空間中存在介質背景，其理論只需要按照真空理論形式寫就可以了(真空理論中的參數μ0=1也換成了介質理論中的參數μ)，即

(2.52)

(2.53)

式中，

Πμ ν=uμuν

(2.54)

稱為時間投影算符，其中

uμ=(1,0,0,0)

(2.55)

在洛倫茲變換下是一個矢量，uμ的四維長度為1，即u2=1。時間投影算符Πμ ν只有00分量等于1，其余分量都為零，由其定義式(2.54)，它在洛倫茲變換下為一個對稱的二階張量。當時間投影算符Πμ ν作用到另外一個二階張量Aμ ν時，Πμ ν總會將張量Aμ ν的00分量挑選出來，即

Πμ νAμ ν=A00

(2.56)

類似地，利用時間投影算符可以得到

(2.57)

以及

(2.58)

將式(2.53)、(2.57)和式(2.58)代入至式(2.52)中，得到的正是運動介質中協(xié)變的麥克斯韋方程(2.40)式。下面是具體計算過程。方程(2.52)左邊，有

(2.59)

其中，第三個等號用到了時間投影算符指標的對稱性

(2.60)

(2.61)

這是因為矢量uμ的長度為1。方程(2.52)右邊，有

(2.62)

因此，方程(2.52)成為

(2.63)

(2.64)

既然介質的存在影響了空間間隔的測量，那么介質的影響可以吸收到度規(guī)張量中，這樣只需要指定度規(guī)，關于介質的信息也就確定了。假設介質存在，兩點之間真實的時空間隔是依靠介質中的光速e來聯(lián)系的，而不是真空中的光速c，即

(2.65)

這是將介質的效果通過坐標來表達。另一種方法是，將介質的效果吸收至度規(guī)中，物理量可以不做改變。這樣，時空間隔可以寫為

(2.66)

時空間隔式(2.65)和式(2.66)必須相等，即

(2.67)

帶一“彎”(～)的度規(guī)張量即表示它已吸收了介質的效應。利用關系

(2.68)

代入至式(2.67)，經過簡單計算，可以立即得到

(2.69)

由此可以將介質的效果轉移到度規(guī)張量上，而繼續(xù)使用真空物理量。根據上式，可以得到關系

(2.70)

公式(2.70)意味著，當介質存在時，平直時空的度規(guī)張量應當寫為

(2.71)

而逆變的度規(guī)張量應當滿足

(2.72)

依靠上式可以得到

(2.73)

注意，該逆變度規(guī)張量介質形式也可以由質量量綱的四矢量介質形式來得到，比如動量

(2.74)

我們嘗試利用度規(guī)式(2.71)將麥克斯韋方程(2.64)表達成簡潔的形式。首先，需要明確一個問題。在上面的推導式(2.68)中，發(fā)現這一式非常像一種坐標變換，即

(2.75)

若假設坐標變換

(2.76)

以及它的逆變換

(2.77)

(2.78)

而

(2.79)

驗證其他量之后就可得到變換規(guī)律：長度量綱的物理量，滿足坐標變換的逆變變換形式，指標在上；質量量綱的物理量，滿足坐標變換的協(xié)變變換形式，指標在下。因此就規(guī)定凡是長度量綱的物理量指標必須在上，質量量綱的物理量指標必須在下。指標的上下由度規(guī)張量來控制。四維長度xμ的量綱為L(長度)，因此其滿足對坐標變換的逆變變換，而對于四維微分算符?μ，它的量綱為M(質量)，因此滿足對坐標變換的協(xié)變變換。對于電磁張量Fμ ν，由于其量綱為M2，因此將其指標放在下面，即Fμ ν，使得其滿足坐標變換。

在按其量綱而確定指標是協(xié)變還是逆變之后，麥克斯韋方程(2.52)寫為

(2.80)

這時有裸露在外的度規(guī)張量，可以將介質的效應由具體的物理量上轉移到時空度規(guī)張量上，即上式可以寫為

(2.81)

代入相關介質物理量或者介質度規(guī)形式，就可得到式(2.80)和式(2.81)的洛倫茲協(xié)變表示。可以驗證，式(2.80)、(2.81)與式(2.64)是等價的。通過這種技巧，大大減少了計算的難度，也將會有更豐富的物理內涵。

總結我們的方法，如果空間中存在著介質背景，其理論形式和真空形式完全一樣，相應的介質理論處理辦法可以分為兩步。

1) 將真空物理量替換為介質中的物理量，每個物理量必須按照其量綱寫成標準形式

其規(guī)則為凡是長度量綱的物理量，滿足坐標變換的逆變變換，指標在上，即

(2.82)

質量量綱的物理量，滿足對于坐標變換的協(xié)變變換，指標在下，即

(2.83)

度規(guī)張量無量綱，其介質理論形式為

2) 按照真空物理理論的形式代入介質物理量即可得到相應的介質理論

物理方程中每個量指標的上下由度規(guī)張量gμ ν和gμ ν來控制，寫成相應物理量標準形式，然后代入方法有以下兩種：

(1) 所有非度規(guī)物理量替換成介質物理量，然后按照式(2.82)、(2.83)即可得到由真空物理量表述的介質理論；

(2) 不改變非度規(guī)物理量，只把相關的度規(guī)替換成介質度規(guī)，然后按照式(2.84)、(2.85)計算也可以得到由真空物理表述的介質理論。

這就是我們找到的利用時間投影算速處理介質理論的方法，下一節(jié)將嘗試在引力理論中使用該方法。

首先說明時空作為電磁介質，光速可變的理論，此時只需要將式(2.40)中出現的普通導數替換為協(xié)變導數，電磁場張量現在定義為

Fμ ν≡μAν-νAμ

(2.86)

方程(2.40)成為

3 引力波的介質理論

上節(jié)中，得到了處理介質背景問題的方法，并討論了兩時空點之間用電磁相互作用傳遞信息情況。這種傳遞信息的速度不是真空中的光速，而是介質中的光速。在這一節(jié)中，對此做一個小小的推廣，將介質的相關理論應用于引力中。

首先，注意到引力波的基礎理論。引力波的波動方程是基于愛因斯坦場方程，再加上合理的限制條件而得到的。前文已經看到，利用測地坐標可以大大簡化引力論相關問題的計算過程。測地坐標即度規(guī)張量的一階導數為零的坐標。第一篇論文中，我們在測地坐標中得到了里奇張量的表達式，由此也可得到測地坐標的愛因斯坦場方程

(3.89)

上式中符號上的一“撇”代表是在測地坐標系下的量。可以看到場方程還是很復雜，因此需要利用諧和坐標條件和弱場近似對場方程做進一步的化簡。一般來說，引力波的強度非常小，使用弱場近似條件是合理的。弱場近似條件下，度規(guī)張量被表示為

g′μ ν=ημ ν+hμ ν

(3.90)

其中ημ ν、hμ ν的具體定義和前文一樣。由于度規(guī)有10個分量，在比安奇恒等式的限制下場方程只有6個獨立方程，度規(guī)場實際上還有4個自由度未定。這種不確定性類似于電磁學中矢量勢定義的不確定性，需要選擇一定的規(guī)范條件將其固定。有一種常常被采用的限制條件稱為諧和坐標條件，它要求坐標滿足

(3.91)

將式(3.90)代入至諧和坐標條件式(3.91)中，經過縮并等運算后，可以將諧和坐標條件表示為

h,α=2?μhμα

(3.92)

將上式代入至式(3.89)中，便可立即得到無源的引力波的波動方程

?2φμ ν=0

(3.93)

其中，

(3.94)

上式就是引力的波動方程形式，本質上仍然是愛因斯坦場方程。根據方程右邊不同的能量動量張量的形式，可以利用上式處理弱引力場的相關問題，解得相應的φμ ν，進而得到g′μ ν，二者的關系為

(3.95)

其中，φ=φμ νημ ν。這一方法，稱為線性近似。線性近似的優(yōu)點在于它比愛因斯坦場方程更容易求解。愛因斯坦場方程的嚴格解，都必須在弱場條件下滿足式(3.93)。比如施瓦茲解，在弱場近似下就可以得到式(3.93)，并且由線性近似得到的水星進動、光線偏移的理論值都與觀測符合得很好。

利用φμ ν的表達式，可以將諧和坐標條件式(3.92)進一步化簡，得到

?αφα μ=0

(3.96)

上式稱為波動方程(3.93)的規(guī)范條件。有了波動方程和規(guī)范條件，就可以得到波動方程的解。首先，φμ ν可以寫為

φμ ν=εμ νcoskαxα

(3.97)

其中，εμ ν是常張量，稱為極化張量；kα是常矢量，是波矢量。將式(3.97)代入至波動方程(3.93)和規(guī)范條件式(3.96)中，得到

類比電磁波的波動方程，從式(3.99)可以立即得到引力波的傳播速度是光速的結論。

以上簡單推導并求解了引力波的波動方程。結合本節(jié)開頭的討論，我們認為引力波波速等于真空中的光速這一論斷是有待商榷的，原因如下：

其一，在上文推導引力波波速的過程中，自始至終我們用的都是真空中光速，而忽略了電磁介質的存在；

其二，引力波不同于電磁波的根本之處在于，引力波屬于引力相互作用，而電磁波屬于電磁相互作用。電磁波是電磁場的振蕩，引力波是時空度規(guī)的振蕩傳播，二者是完全不同的兩種相互作用。

接下來，對這兩種觀點加以分析。對于第一種考慮，即考慮到電磁介質的存在，光速不是真空中的光速c，而是介質中的光速e。當空間中抽走電磁介質之后，光速才是真空中的光速。引力波速與光速到底相等不相等？如果相等到底是等于真空中的光速，還是介質中的光速？根據現在的廣義相對論引力論，引力滿足愛因斯坦場方程，引力波速度自然和真空中的光速相等。那么引力波速就可以和實際測量到的光速(因為可能是介質中的速度)不相等了。第二種觀點認為引力和電磁相互作用是兩個完全不同的相互作用，為什么真空中的光速和引力波的速度要相等？完全可以不相等。上節(jié)實際上已經給了提示，真空是引力波的真空，對于電磁相互作用來說，就類似于一個介質背景。引力波速和真空中的光速也不相等。不管是那種情況上節(jié)給出的廣義協(xié)變的介質電磁理論式(2.87)、(2.88)就是處理實際電磁學問題的基本方程。引力波速就是真空的極限速度。廣義光速不變原理要求的速度其實是引力波的速度，四維時空間隔ds2不變是保持引力波速不變。此時廣義光速不變原理修改為廣義引力波速度不變會更為合適一些。

但是，對于真空和介質理論來說，還應有另外一種觀點。那就是介質理論是真空理論物質相互作用下的宏觀效應。就像電磁學理論一樣，真空麥克斯韋方程組是基本的，介質理論是因為空間中存在的物質的電磁效應造成的，比如極化、磁化等。問題就來了，引力理論會不會有類似的效應？我們知道對廣義相對論來說基本變量是度規(guī)張量gμ ν，愛因斯坦場方程描述的是時空的彎曲等于時空中物質分布。類比于電磁理論就可以問一個問題：這是一個真空理論，還是一個介質理論？電磁真空理論和介質理論之間的關系也提示了我們回答這一問題的方案。第一，如果說場方程是唯一的，不區(qū)分真空和介質，那就直接了當地回答(回絕)了以上問題；第二，既然電磁真空和直接理論存在差異，則上述質疑是合適的，或者說，至少在理論上可以做這方面的探索。下面就遵循第二種思路，來探討引力介質理論。

(1) 引力波方程(3.93)可以直接作c→e的替換；

(2) 測地坐標下的愛因斯坦場方程，只存在度規(guī)張量的二階導數，對它們作c→e替換，再利用規(guī)范條件得到波動方程；

(3) 直接對愛因斯坦場方程做這一替換，得到在測地坐標下的關于度規(guī)的二階方程，進而得到波動方程。

雖然這3種方法繁簡不一，最后應該得到同樣的波動方程。下面分別對這3種方法加以分析。需要首先說明的是，下面用到的c→e替換中的e可以是介質中光速，也可以不是，二者沒有什么必然聯(lián)系，因為現在處理的只是引力理論。

(3.100)

這樣，算符?2可以替換為

(3.101)

其中Πμ ν就是廣義相對論中的時間投影算符。因此引力波波動方程在做這一替換后，成為

(3.102)

這一波動方程，與運動介質中電磁波動方程一致，這一方程的解可以寫為

φμ ν=εμ νexp[-iφ(kμ,xμ,β)]

(3.103)

其中，φ(kμ,xμ,β)是引力波的相位函數。若觀察者運動方向與引力波傳播方向相同，設運動方向為x軸，則相位函數的具體表達式為

(3.104)

其中，kμ=(ω,k,0,0)是波矢；xμ=(t,x)是坐標；β是觀察者是三維速度。由這一相位函數得到引力波的傳播速度e′為

(3.105)

這就是洛倫茲速度變換公式，讀者可以驗證上文中的介質電磁理論得到的波速也滿足此關系。當觀察者相對于介質靜止，即觀察者四速度uμ=(1,0,0,0)時，引力波波速是介質中的光速e而非真空中的光速c，而當觀察者速度不為零時，引力波的波速即式(3.105)。由于介質中的光速是可變的，故引力波波速也是可變的。上節(jié)介質電磁波速變換性質與此完全一樣。

(3.106)

利用測地坐標和弱場近似，在無源情況下，式(3.89)成為

(3.107)

經過替換后的線性近似方程很復雜，但是可以利用規(guī)范條件將其化簡。若施加兩個規(guī)范條件

規(guī)范選擇式(3.108)就是通常的諧和坐標條件Γμ=0，而式(3.109)是新增加的一個條件，后文會對此條件做出說明。

可以驗證，在利用規(guī)范條件式(3.108)、(3.109)后，經過c→e替換的線性近似式(3.107)正是波動方程(3.102)，除了新增加的規(guī)范條件式(3.109)之外沒有其他改動。因此，從線性近似的角度出發(fā)，得到了同樣的引力波波動方程。注意在以上類比操作中，都是默認為e是一個常數，并不是時空坐標的函數。在廣義相對論中，這種假設是過于簡單的，(其實電磁學理論中，光速也還依賴于電磁波的頻率，即色散關系。)但是這個假設基本可以滿足我們對引力介質理論的好奇心了，本文作者其實就是想試一試看這樣操作下去對引力理論會出現什么樣的效果。接下來，我們來處理愛因斯坦場方程。

第三種思路，直接對場方程作c→e替換有些復雜，先定義一些量來方便計算。黎曼幾何中四維時空間隔不變要求

(3.110)

其中，

(3.111)

(3.112)

(3.113)

(3.114)

里奇標量是

(3.115)

于是愛因斯坦場方程被修改為

(3.116)

(3.117)

令

(3.124)

上式即是經過修改的愛因斯坦場方程，Gμ ν是愛因斯坦張量，而Wμ ν定義為

(3.125)

如何驗證修改后方程的正確性？當然是在測地坐標系看波動方程中的波速是否滿足洛倫茲速度變換(3.105)。在測地坐標下，關于度規(guī)的一階偏導數項都為零，只保留關于的度規(guī)的二階偏導數項。于是，在測地坐標和弱場近似下，有

(3.126)

它們經過與度規(guī)張量縮并之后的形式為

在無源情況下，經修改的愛因斯坦場方程在測地坐標下有簡單的形式

(3.132)

其中，G′μ ν是測地坐標下愛因斯坦張量。將測地坐標下的式(3.126)、(3.127)、(3.128)、(3.129)、(3.130)、(3.131)代入至式(3.132)中，得到

(3.133)

對上式進一步化簡合并后，發(fā)現方程(3.133)正是方程(3.107)。而規(guī)范條件式(3.109)在此可以理解為諧和坐標條件的擴充，即

規(guī)范條件式(3.134)對應于規(guī)范選擇式(3.108)，在此要求之下，式(3.135)對應于規(guī)范選擇式(3.109)。由修改后的場方程得到的引力波波動方程與前兩種思路得到的方程相同，也回到了式(3.102)。在觀察者靜止時引力波波速是介質中的光速e，介質運動參考系，波速滿足洛倫茲速度疊加關系。當沒有介質存在時，場方程(3.124)便回到了通常的愛因斯坦場方程。

方程中出現的介質中的光速e是一個可測量量。若測量到的e<1，則說明觀測點與引力波的發(fā)射點之間存在著引力介質，這些介質依然會產生引力相互作用以致影響到場方程的表達式，進而影響時空的度規(guī)結構。修改過的場方程(3.124)也可以這樣理解，比愛因斯坦場方程多出來的項Wμ ν放至等號右邊，將其作為能量動量張量的一部分，其大小依賴于介質中的引力波速e以及度規(guī)張量關于時間的導數。即場方程(3.124)可以寫為

(3.136)

其中，

(3.137)

它表示介質存在時的有效能量動量張量。

在電磁理論中，比安奇恒等式不變，在引力研究中，修改場方程之后，通常都需要驗證引力場的比安奇恒等式。真空中的愛因斯坦場方程需滿足比安奇恒等式

μGμ ν=0

(3.138)

對于修改過的場方程(3.124)，比安奇恒等式應當為

(3.139)

(3.140)

直接驗證式(3.139)十分困難，最好還是在測地坐標下進行計算。度規(guī)張量的一階導數為零，方程(3.139)就應該變?yōu)?/p>

(3.141)

式中G′μ ν與W′μ ν分別是它們在測地坐標下的表達式。讀者可以驗證式(3.141)是成立的。

4 時空對稱性、宇宙學時空演化及其修正

在第一篇的引力論簡介以及前文介質理論的探討中，有一類重要的問題還未提及：時空的對稱性。平直時空對稱性是狹義相對論的重要內容，物理規(guī)律在洛倫茲變換下的協(xié)變性即是時空對稱性的體現。然而，單就時空對稱性這一點上，廣義相對論并不比狹義相對論更“廣義”，因為在廣義相對論的框架內沒有對時空的對稱性做進一步推廣說明。在這一節(jié)，將討論廣義相對論框架下的時空對稱性，然后從時空對稱性得到度規(guī)張量的限制。這些限制對于研究特定引力場是非常重要的。下文宇宙學時空度規(guī)就可以由對稱性限制得到，因此討論介質效應前首先討論時空對稱性。

既然時空性質由度規(guī)來刻畫，因此就有時空對稱性即度規(guī)張量對于某些坐標變換的不變性。因為度規(guī)張量與幾何測量密切相關，所以在廣義相對論理論中，時空對稱性就是坐標變換下幾何測量方式不變的性質。通俗地講就是，當做某一坐標變換后，1m的標準尺在時空的任意區(qū)域測量距離，依然是1m。注意在這里要區(qū)分時空對稱性和廣義協(xié)變性之間的區(qū)別，其實第一篇論文已經對此做了簡單討論。比如時空間隔是一個標量，在任何坐標變換下都是不變(協(xié)變)的。這與度規(guī)在坐標變換下的不變對稱性是兩個不同的概念。時空間隔的不變性要求度規(guī)為一個二階張量，即做坐標變換x′→x后，

(4.142)

上式中不帶撇度規(guī)張量表示再新坐標系x中的度規(guī)。在此基礎上，若要求度規(guī)張量具有坐標變換不變對稱性，則

g′α β(x′)=gα β(x′)

(4.143)

即在新坐標下，度規(guī)張量與原坐標下的度規(guī)張量形式相同。因此式(4.142)成為

(4.144)

對于一個無限小的坐標變換

x′μ=xμ+ξμ(x)

(4.145)

其中，ξμ(x)為一矢量是坐標的函數，這是一個一階小量。這樣便有

(4.146)

將式(4.146)代入式(4.144)中，忽略二階小量，得到

(4.147)

將上式等號右邊的gμ ν(x′)在xμ處泰勒展開，即

(4.148)

代入至式(4.147)中，只保留一階小量，便可以得到一個等式

(4.149)

這一方程是式(4.144)的微元形式。接著利用

ξμ=gμ αξα

將式(4.149)改寫為

(4.150)

上式中，度規(guī)張量的3個導數結合成一個克里斯多夫聯(lián)絡，因此上式可以寫為

(4.151)

這等同于

ξμ;ν+ξν;μ=0

(4.152)

(4.153)

在直角坐標系下，平直時空下的度規(guī)即ημ ν=diag(1,-1,-1,-1)，此時所有的克里斯多夫聯(lián)絡為零。將度規(guī)代入至基靈方程中，指標取μ=ν時，有4個基靈方程

μ、ν指標不相等，則有6個基靈方程

這10個基靈方程的10個解，表明平直時空具有10種相應的對稱性。注意到以上方程都是關于ξμ某一分量的微分方程，方程(4.154)和(4.155)中ξμ的第μ分量ξ0與相應的坐標xμ無關；方程(4.156)左邊與時間無關，方程右邊與坐標xi無關，因此方程兩邊等于同一個常數。方程(4.157)也是如此。根據以上分析，可以得到基靈矢量的形式解

ξμ=ωμ νxν+ζμ

(4.158)

其中，ωμ ν的一個常張量，且滿足ωμ ν=-ων μ，故而只有6個獨立參數：ω01,ω02,ω03,ω12,ω13,ω23，ζμ是一個常矢量。它的逆變矢量為

ξμ=ωμνxν+ζμ

(4.159)

其中，ωμν=ωα νgαμ。為了直觀表述以上對稱變換，將ξμ寫成矩陣的形式

(4.160)

從上式可以看出，6個參數ωμ ν描述了6個洛倫茲轉動，4個參數ζμ描述了4個方向的平移，這正是洛倫茲變換的無限小表示。為了得到洛倫茲變換的有限表示，可以將矩陣ωμν寫為

(4.161)

其中，因子1/2是為了抵消指標縮并多出來的因子2，

(4.162)

是洛倫茲變換的生成元。指標α,β反對稱，標記了6個生成元，指標μ,ν標記了每個生成元的分量。一個有限變換即可由無線小變換構造出

(4.163)

(4.164)

其中，n取正整數。這樣便有

(4.165)

其中，shψ,chψ分別是雙曲正弦與雙曲余弦函數。將上式寫成矩陣的形式，即

(4.166)

我們可以看到參數ψ表示的是快度，它與兩坐標系間相對速度β的關系是

shψ=βγ, chψ=γ

(4.167)

其他洛倫茲變換便可按照同樣的方法導出。

以上簡要討論了基靈方程在處理時空對稱性中的作用。基靈方程給出一個尋找對稱直接而系統(tǒng)的方法，通過構造這一微分方程的所有可能解，就可找到所有的對稱性。根據對稱性又可以得到守恒量，因此基靈方程在廣義相對論中有重要應用。更多關于基靈方程的內容，可參閱文獻[3]。基靈方程的第二個應用就是，可以借此討論均勻、各向同性宇宙演化的物理過程，從中得到描述宇宙大尺度結構的羅伯遜沃克幾何以及關于宇宙演化的弗雷德曼方程。首先簡要介紹大尺度的宇宙的性質。

4.1 宇宙學時空度規(guī)和弗雷德曼方程

太陽系屬于一個更大的系統(tǒng)——銀河系，它包含大概1011顆恒星。要跨越整個銀河，即使是利用宇宙中速度最快的光，也需要耗費10萬年的時間。然而，通過射電望遠鏡，人類觀測到了大約109個像銀河系那樣的星系。目前，天文學家已經記錄了幾百萬個星系。從觀測的結果來看，星系傾向于集結成星系團，這些星系團由幾十、幾百甚至幾千個星系組成，尺度大約在幾個Mpc(秒差距pc是距離單位，1pc=3.26光年，1Mpc=106pc)，而星系團又與其他星系團結合成超星系團，尺度大約在幾十個Mpc。天文觀測表明，如圖1所示[注]圖片取自網頁:https://www.universetoday.com/81813/astronomy-without-a-telescope-the-edge-of-greatness/，盡管在小尺度上看起來相當不均勻，但是在幾百Mpc的尺度上，宇宙中各個星系均勻分布。另外，宇宙微波背景輻射的觀測又表明，宇宙是各向同性的[4，5]。這一輻射被認為是早期宇宙暴漲階段的遺跡，它在全天的分布是極其均勻的。這樣，在大尺度上，宇宙最顯著的特征就是缺乏可辨認的特征，除了局域的不規(guī)則之外，從各個方向來看宇宙中所有的點都是等價的。即宇宙在大尺度上具有均勻、各向同性的特征，這一論斷被稱為“宇宙學原理”[6]。

圖1 大尺度處處均勻、各向同性的宇宙

圖2 共動坐標系，膨脹的宇宙

根據宇宙學原理和現有的觀測事實就可以得到描述宇宙大尺度結構的度規(guī)形式。現在的宇宙觀測表明宇宙在加速膨脹[7]，因此，描述整個宇宙的演化需要利用共動坐標系。共動坐標是指，空間坐標隨著宇宙中物質的膨脹一起運動。如圖2所示，時空中的物體物理間距在改變，但是坐標系坐標也隨著物理間距改變而改變，物體的具體坐標值并不變。形象地說，若將宇宙的膨脹比作吹氣球時氣球的膨脹，將坐標軸畫在氣球表面，那么隨著氣球的膨脹，坐標軸的刻度間隔也是在不斷增加，因此在此坐標下，兩點間的坐標距離l保持不變，但是兩點之間的物理距離d是不斷增加的。為了表示坐標距離與物理距離的關系，引入尺度因子a(t)，它是時間的函數，表征宇宙的膨脹，坐標距離與物理距離之間的關系為

d=al

(4.168)

對于時間坐標，前文已經說明宇宙各點靜止的鐘測量到的就是固有時間，并且這些不同地點的鐘是同步且對準的，因此我們選擇

g00=1,g0i=0

(4.169)

注意g0i分量與對鐘過程相關，g0i≠0表明不同地點鐘表的零點沒有對準。g00=1則說明坐標時與固有時相等，各地的鐘表都是一致的。這樣描述宇宙大尺度結構的時空間隔形式為

ds2=dt2-a2dl2

(4.170)

根據宇宙學原理，我們可以得到度規(guī)張量的空間分量gij的具體形式。宇宙的均勻性意味著度規(guī)可以使得基靈矢量在任意點取一切可能值[3、8]。比如說，在宇宙中選擇某點為中心建立一個直角坐標系，在x軸上的刻度分布是均勻的，度規(guī)不會因為空間坐標改變而改變。宇宙的各向同性意味著，ξμ;ν在滿足基靈方程限制條件下可取一切可能值[3、8]。也就是說，基靈矢量的平行移動不會影響到時空的測量。這就要求不僅僅x軸上的刻度分布是均勻的，y軸、z軸甚至任意方向上的刻度分布都是均勻的，且這種均勻性是一致的。均勻性和各向同性在幾何上讀者應該是不陌生的，歐幾里得幾何便滿足這些要求。然而對于宇宙的大尺度結構來說，由于我們缺乏實際檢驗的方法，所以這只能作為一個宇宙學原理的推論。實際上，隨著天文技術的進步，物理學家和天文學家正在觀測并研究宇宙的非均勻性和各向異性。

我們可以利用黎曼曲率張量以及基靈方程(4.152)，來得到滿足幾何均勻、各向同性的曲率形式。由于推導過程較為繁瑣，具體細節(jié)請讀者參閱溫伯格的《引力和宇宙學》，這里直接給出結果。均勻、各向同性的N維幾何空間(N>2)的里奇標量R是一個常數，黎曼曲率張量由下式給出

(4.171)

由于里奇標量是常數，引入常曲率K

R=-N(N-1)K

(4.172)

這樣，對于三維空間，滿足均勻、各向同性的曲率張量必須有形式

在幾何上，唯一滿足以上條件的是一個三維球面，它是四維球的表面。讀者可以參考圖2所示二維球面的例子，以此推廣為三維球面。半徑為r0四維超球的表面方程為

(4.175)

其中，χ是一個額外的、非物理的第四坐標，χ坐標軸與x,y,z都正交。球面上任意兩點之間的坐標距離是

dl2=dx2+dy2+dz2+dχ2

(4.176)

利用式(4.175)，消去非物理的坐標χ，得到

(4.177)

容易驗證，只要

(4.178)

坐標間隔式(4.177)的曲率張量就滿足式(4.171)的要求。這一距離間隔是非對角的，利用坐標變換，

(4.179)

坐標間隔式(4.177)將會變?yōu)閷切问剑?/p>

(4.180)

將上式代入式(4.170)中，得到

(4.181)

這便是費雷德曼-羅賓遜-沃克度規(guī)，它描述了宇宙的大尺度結構。其形式是被宇宙學原理嚴格限制的，與愛因斯坦場方程無關。a(t)是標度因子，它描述宇宙的膨脹，與哈勃常數H相聯(lián)系；適當選擇r單位之后，K=-1對應著開放宇宙，即由(4.190)計算宇宙的總體積是無限的，K=0宇宙是平坦的，K=1對應著閉合宇宙，即宇宙的總體積是有限的。

如果宇宙的物質組分已知，費雷德曼-羅賓遜-沃克度規(guī)通過愛因斯坦場方程描述了宇宙的演化。假設宇宙的物質組分可以由理想流體的能量動量張量近似

Tμ ν=(ρ+P)uμuν-Pgμ ν

(4.182)

其中，uμ是觀察者的四速度；P是宇宙中塵埃、氣體等造成的總壓強。上式意味著，對于靜止的觀察者，宇宙的能量密度T00=ρ是現階段宇宙的總能量密度，空間分量

Tij=Pgij

通常，二者滿足一下物態(tài)方程

P=ωρ

(4.183)

有了均勻各項同性度規(guī)形式，根據愛因斯坦場方程我們就可以得到宇宙的演化方程。將度規(guī)式(4.190)代入至宇宙學常數Λ=0的愛因斯坦場方程中，方程的右邊為理想流體的能量動量張量形式(4.191)。場方程的00分量方程為

(4.184)

式(4.184)稱為第一弗雷德曼方程。其中

(4.185)

代表尺度因子對時間的導數。

(4.186)

是哈勃參數，它的當前具體數值就是哈勃常數。場方程的11，22和33分量方程都相同，

(4.187)

式(4.187)稱為第二弗雷德曼方程。方程(4.184)和(4.187)再加上物態(tài)方程(4.183)，就確定了方程中3個變量a(t),ρ,P。而宇宙曲率的常數K，可以通過式(4.184)來確定：

(4.188)

其中，

(4.189)

稱為臨界密度，它的值完全由哈勃參量決定。用現階段測量到的哈勃常數H0的值得到今天的臨界密度為[9]

ρc=(0.47～1.88)×10-26(kg/m3)

(4.190)

由宇宙的曲率式(4.188)可以看出，宇宙是加速膨脹還是減速膨脹依賴于宇宙總能量密度ρ。由于沒有ρ直接測量辦法，僅僅根據觀測到的星系密度還不能完全確定宇宙總能量密度。因此現階段的宇宙觀測還沒有排除任何一種可能。

另外一個對宇宙的演化由重要貢獻的項來自于宇宙學常數Λ。前面說過，為了保證在弱場條件時與牛頓理論一致，Λ必須小到可以忽略。但是對于宇宙來說，這樣一個小項也有著重要的貢獻。若將費雷德曼-羅賓遜-沃克度規(guī)式(4.190)代入至Λ不為零的愛因斯坦場方程中，弗雷德曼第一、第二方程變?yōu)?/p>

因為

(4.193)

若

說明宇宙在加速膨脹，若

說明宇宙在減速膨脹。由式(4.192)可以看出，能量密度與壓強產生引力，會減速宇宙的膨脹。若宇宙學常數Λ為正，則會加速宇宙的膨脹，若Λ為負，則將會使得宇宙的膨脹減速。現在的天文觀測表明，宇宙正在加速膨脹[10]。

本節(jié)簡單介紹了對稱性和弗雷德曼方程，與之相關的宇宙學研究是當前理論物理重要的研究領域。而介質理論對其有什么修正是個有意思的問題，下面對此進行簡單討論。

4.2 引力介質理論在宇宙學演化中的效應

利用式(3.124)來得到描述宇宙的弗雷德曼方程。將費雷德曼-羅賓遜-沃克度規(guī)代入至方程(3.124)中，經過計算，得到

其中H和a的定義如上文所述。此時如果假定介質能量動量張量與真空理論差別很小，計算可得，兩個弗雷德曼方程修改為

(4.202)

這一方程與通常守恒方程一致。由式(4.209)可以得到，當K=0時，新的臨界密度ρ′c與通常的臨界密度ρc之間的關系為

(4.203)

而描述宇宙曲率因子K現在也不僅僅由哈勃參量決定，還由宇宙中分布的引力介質決定

(4.204)

若定義實際密度ρ與ρ′c的比值為Ω′，即

(4.205)

則根據發(fā)光星系平均密度的測量結果，由

ρ=Ωρc=Ω′ρ′c

(4.206)

得到

(4.207)

上式說明宇宙中存在的電磁介質對于相對密度Ω有一個抬高的作用。

綜上，類比電磁學中真空理論與介質理論的關系，我們得到了處理介質理論的技巧，由此把引力理論中出現的真空光速c替換為介質中的光速e。隨后研究了引力波速變化的情況，發(fā)現其結果和介質中的光速完全一樣。沿著同樣的思路，得到了愛因斯坦場方程的修改形式。修改了弗雷德曼方程，在宇宙學得到了一些有意思的結果。介質理論對經典引力理論修正的實驗檢驗，以及引力波對鐘情況下各種相對論理論的檢驗都是一些很大的課題，本文就不作深入討論了。

5 總結

引力波信號的探測再次驗證了100多年前愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對論理論。該理論以其簡單的邏輯基礎，優(yōu)美的理論結構成為了物理學皇冠上的明珠，也是眾多物理學家為之奮斗終身的精神動力。本專題試圖盡量簡單地對廣義相對論引力理論做一個介紹。論文特別關注于廣義相對論理論與狹義相對論理論之間的關系。大多數廣義相對論理論講義中一般都會對等效原理說明得很清楚，但是相對性原理，光速不變原理的講解略有欠缺。因此，在等效原理的基礎上，本文重點說明了引力幾何化思想，廣義相對性原理的內容，廣義光速不變原理的理解，坐標系和固有時、固有距離的關系等內容。在此之后，論文回顧了構建愛因斯坦場方程邏輯過程，施瓦茲解及其檢驗，弗雷德曼方程及其簡單應用等。

引力波波速與光速之間的關系是一個復雜的問題：引力波速與真空光速相等的原因在于廣義光速不變原理；速度差別關鍵原因在于介質的效應。論文在第4節(jié)中研究了介質在場的傳播中起著重要的作用。我們由電磁學真空和介質理論的關系總結出來處理介質背景問題的相關方法，即將真空中波速替換為介質中波速，在假定真空理論和介質理論形式完全一樣的前提下，建立相關的介質理論。我們借此修改了愛因斯坦場方程，得到了引力波波動方程，討論引力波波速不為真空中光速的情況。基于修改的愛因斯坦場方程，給出了一些宇宙學推論。理論對標準宇宙學模型有微小的修正。

論文的最直接目的就是探究一下引力波速和真空光速不相等的理論到底是什么樣的，滿足作者以及感興趣讀者的好奇心。理論對經典引力的修正效應也許對引力相關理論和實驗有一定的指導作用。

附錄： 黎曼幾何簡介

首先約定一些關于張量符號的規(guī)則。在本文中，我們使用的是張量的分量語言，有些教科書中會使用微分幾何中的語言，在此作簡要的區(qū)分以避免混淆。所謂分量語言，是指僅僅關注與張量的分量，而不考慮張量的基。比如對于粒子的四動量pμ，是一個一階張量，它在分量語言下形式為

pμ=(E,px,py,pz)

(5.208)

(5.209)

切矢量?μ稱為四動量的基。注意這與量子力學中的動量算符無關，它表示某個坐標系下矢量的方向。黑體的四動量p即表明其中既有分量，又指明各分量的方向。微分幾何的語言更加嚴謹，但在僅僅關注于廣義相對論的讀者來說，尤其是對于初學者來說，暫時還需要使用微分幾何。因此本文使用張量的分量語言。但是在熟練掌握分量語言之后，作者建議嘗試使用微分幾何的語言，這樣做不管對于廣義相對論還是黎曼幾何的理解都會更進一步。

在彎曲時空的幾何結構中，可以區(qū)分仿射幾何與度規(guī)幾何。仿射幾何關注于一個矢量由于平行移動而產生的變化，而度規(guī)幾何在給定的度規(guī)下側重于長度、角度、面積等幾何量的測量，這兩種幾何允許我們探索關于空間彎曲的信息。我們先來研究仿射幾何。

即便在歐幾里得空間中，矢量經過平行移動后它的分量也會發(fā)生變化。如果沿著某條曲線平行移動一個矢量，在直角坐標系中它的分量不會發(fā)生變化，但是在球坐標系下它的分量就會發(fā)生明顯的變化。在本文中說過，一階張量的普通導數不能給出張量。究其根源，一階張量的普通導數的定義是

(5.210)

分母上，兩個矢量是關于坐標xμ的函數。因此，這兩個矢量不能直接相減，必須將其中一個平行移動使得兩個矢量在同一坐標處，矢量的減法才有意義。這是仿射幾何所決定的。將Aμ從xμ處平行移動到(x+Δx)μ處，矢量的大小和方向在平行移動中保持不變，但是分量會發(fā)生變化。定義矢量Aμ產生的變化為

(5.211)

(5.212)

這一要求的結果是

(5.213)

加上平行移動的貢獻后，再作導數的運算

(5.214)

利用協(xié)變微分，定義一個非常重要的概念：沿曲線的微分，它是高等數學中方向導數在彎曲時空的推廣。假如某條曲線C(τ)處于一矢量場Aμ中，其中τ稱為曲線的放射參數，需要計算Aμ沿該曲線的變化率，就需要得到

(5.215)

(5.216)

協(xié)變導數的存在意味著考慮了平行移動的貢獻，這和上文所說的道理是一樣的。如果有

(5.217)

稱矢量Aμ是沿著曲線C(τ)平移的。

在彎曲時空中，另外一個重要的幾何信息是測地方程。如正文所述，彎曲時空中的測地線即是受引力相互作用物體的運動方程。通常可以通過兩種方式來定義測地線：一種是最直的曲線，另外一種是長度取極值的曲線。為了構造一條最直的曲線，需要借助平行移動不斷向前移動它，總使得它與自身平行。為了構造一條長度取極值的曲線，將測量兩點之間距離為極值的長度(或者說固有時取極值)。這兩種分別涉及到仿射幾何與度規(guī)幾何，并且我們將會看到，由這兩種方式定義的測地線是重合的。

我們在某一測底曲線上取一小線段dxμ。這一線段與自身平行地向前移動，將構造一條最直的曲線。這一小線段由于平行移動產生的變化為

(5.218)

上式等號左邊成為了一個二階小量。如果引入一個參數s來表征dxμ的變化率，將上式兩邊除以ds2，將得到測底方程

(5.219)

參數s只是一個數學參數，如果引入度規(guī)，則參數s將與固有時等同起來。

為了得到時空曲率信息，可以把一個常矢量aμ從一點沿著兩條不同的路徑平行移動到同一點，然后檢驗其變化來得到曲率的信息。這正是曲率的定義。如圖3所示，時空點P與P′間由兩條路徑PQP′與PRP′相聯(lián)系。我們將一個位于P點的常矢量aμ分別沿著兩條路徑平行移動到P′點，通過比較兩種方式矢量的變化來檢測時空的曲率。首先，將aμ平行移動到Q點，根據式(5.111)，矢量將變?yōu)?/p>

圖3 平行移動刻畫曲率

這一矢量再從Q點平行移動至P′點得到

(5.220)

由于

代入至式(5.220)中，得到

(5.221)

其中，略去了位移的三階小量。這是將位于P點的常矢量沿路徑PQP′平行移動至P′點后的結果。再沿著路徑PRP′將位于P點的常矢量aμ平行移動至同一點P′，只需將dx與dy交換，得到

(5.222)

比較(5.221)、(5.222)兩式的結果，它們的差別是

(5.223)

上式表明，平行移動是路徑依賴的，不同的路徑給出不同的結果。上式括號中關于克里斯多夫聯(lián)絡的組合即是黎曼曲率張量的定義，所有的克里斯多夫聯(lián)絡都是在P點的。這樣，將一個常矢量分別沿著兩條路徑平行移動至一點后二者的差別由黎曼曲率張量表述，即

(5.224)

其中，

(5.225)

(5.226)

這和利用平行移動定義曲率張量是相同的。

綜上，仿射幾何的核心即是平行移動。通過平行移動，可以定義協(xié)變導數、測地線以及黎曼曲率張量。但是僅靠時空的仿射幾何不能完成對幾何量的測量，必須引入度規(guī)才能完成。我們定義時空兩點之間的二次間隔ds2由度規(guī)張量gμ ν來測量，即

ds2=gμ νdxμdxν

(5.227)

度規(guī)張量在文中有所介紹。

在文中介紹了引力幾何化的辦法，即通過坐標變換將引力消除。但是實際情況的質量分布很復雜，導致的引力也很復雜，找到一個可以將引力消除的坐標變換不是一件容易的事。除了坐標變換之外，另外一個可以體現引力的就是通過度規(guī)張量。如果給定度規(guī)，引力就確定下來，則這個時空的全部性質都可以得到，這是接下來要討論的問題。

首先，我們來建立仿射幾何與度規(guī)幾何之間的聯(lián)系。上文指出，平行移動一個矢量Aμ，則它的長度AμAνgμ ν保持不變。更一般地，如果沿著某曲線平行移動兩個矢量Aμ和Bμ，則它們的標量積AμBνgμ ν保持不變，因此此標量積的普通微分為零，即

(AμBνgμ ν),β=0

(5.228)

既然是標量，可以將普通微分變化成協(xié)變微分而沒有影響，所以

(AμBνgμ ν);β=0

(5.229)

因為沿著曲線平行移動，根據沿曲線平行移動的變化率式(5.217)，Aμ和Bμ的協(xié)變導數都為零。于是上式化為

gμ ν;β=0

(5.230)

由式(5.230)進一步即可導出克里斯多夫聯(lián)絡Γ與度規(guī)張量gμ ν的關系。這已在論文正文中有所說明：度規(guī)張量完全確定了克里斯多夫聯(lián)絡，因此度規(guī)幾何完全確定了仿射幾何。

接下來考慮度規(guī)幾何中的測地線。給定度規(guī)gμ ν，根據P1、P2兩點之間距離取極值的條件來定義測地線方程，即

(5.231)

可以取

(5.232)

(5.233)

利用四維速度平方等于1的條件

(5.234)

可得

(5.235)

因為

將式(5.235)化簡，經整理得到

(5.236)

將上式兩邊乘以gσ μ，得到

(5.237)

由于dxαdxβ關于指標α、β的對稱性，有

2gμ β,αdxαdxβ=(gμ β,α+gμ α,β)dxαdxβ

(5.238)

這一式與由平行移動得到的最直的測地線形式相同，只需要把在平行移動中引入的參數s賦予固有時的物理含義即可。由此可以得出結論，在彎曲時空中，最直的測地線恰好是固有時取極值的測地線，即二者重合。

引入度規(guī)后，也可以利用度規(guī)進行升降指標。例如，將黎曼曲率張量的第1個指標用度規(guī)降下來，得到張量

將黎曼曲率張量的第1、4指標縮并，得到里奇張量

對里奇張量進一步縮并，得到里奇標量

R=Rμ νgμ ν

這些張量在廣義相對論中有重要的應用。

以上的介紹的幾何內容，稱為黎曼幾何。度規(guī)結構對于黎曼幾何來說至關重要，只要給定了度規(guī)，就能知道該時空的全部信息。我們可以通過度規(guī)張量輕松求出曲線的長度，曲面的面積以及閉合曲面的體積。而聯(lián)絡、曲率的計算則略微復雜，而計算它們將會得到對應的物理結果。聯(lián)絡與曲率有著深刻的物理內涵，這一點在正文中已有說明。