數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的解題探究

朱小扣

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度及價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，運算能力，數(shù)據(jù)分析，這些核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融，是一個有機(jī)的整體.”但是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)怎么考？這是一個困擾廣大數(shù)學(xué)工作者的問題.筆者將通過分析2018年以來各地的模擬考試試題，闡述六大核心素養(yǎng)的命題形式及解決方法.

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論—般、有序多級的系統(tǒng).

點評?本題通過建立直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生能從情境中（即蜂巢結(jié)構(gòu)圖）抽象出數(shù)學(xué)的概念及方法，從而使得問題得到簡化及解決.這樣出題可以培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的活動經(jīng)驗，有利于學(xué)生把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁，運用數(shù)學(xué)抽象思維方式思考并解決問題.

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類推理形式主要有歸納、類比;一類推理形式主要有演繹推理.

點評?上述兩題通過數(shù)列的歸納、類比，實際上，就是從已有的知識和具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理.要做此類題時，一定要大膽猜想，這樣就可以讓學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考問題;能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，由簡到繁，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)，從而能更好的認(rèn)識事物的本質(zhì)及變化規(guī)律.

三、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.

點評?通過構(gòu)造距離型函數(shù)模型可以使得問題得到化歸，迅速解決上述兩個問題，使得學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模的重要性.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.

四、直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

例如學(xué)生掌握了三棱柱各個面延展分空間21個部分，正方體各個面延展分空間27個部分及其他棱柱的情形，那么三棱錐各個面延展可以把空間分成多少個部分？三棱臺各個面延展可以把空間分成多少個部分？學(xué)生掌握和理解起來不容易，借助直觀想象，筆者是按如下方法這樣解釋的.

例6?三棱錐各個面延展可以把空間分成多少個部分？三棱臺各個面延展可以把空間分成多少個部分？

解析?（1）如圖7，現(xiàn)將三棱錐O-ABC特殊成OA，OB，OC互相垂直，將其放在如圖7所示的位置，8個卦限中，只有第七卦限沒有被平面一分為二，其他的卦限都一分為二了，故有8+7=15個，類似的可以得到普通的三棱錐也是15個.

（2）如圖8，類似第一問的解答，將三棱臺ABC-A1B1C1放在如圖8所示的位置，易知答案為：7+7+8=22個.

例7?（2018年山西一模）一個正方體的三視圖如圖9所示，若俯視圖中正六邊形的邊長為1，則該正方體的體積是.

解析?由題意可知，該正方形的一條對角線即為俯視圖的方向（如圖10），距最高點最近的三個點構(gòu)成的平面與俯視方向垂直（如圖11），由俯視圖中正六邊形的邊長為1，可得圖12中OA=1，即圖11中OA=1，易得正方體的面對角線長為3，進(jìn)而得棱長為62，故體積為364.

點評?正方體的三視圖是學(xué)生最熟悉的三視圖，但是這題“倒”著放的正方體三視圖解決起來，卻讓人舉足無措，通過這樣考更能考察學(xué)生的能力.借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認(rèn)識事物.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力.

五、數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.

點評?上述例題說明了在解析幾何中，除了傳統(tǒng)的方法外，還有齊次化方法，雙根法，點差法，點乘法，極坐標(biāo)等多種更簡單的解法.類似地，在解決其他題目時，也可以一題多解，多種方法的融合可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，有效借助運算方法解決實際問題.

六、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.

例9?（巴蜀中學(xué)2018屆高三1月考）統(tǒng)計顯示，2011年之前，方便面銷量在中國連續(xù)18年保持兩位數(shù)增長，2013年的年銷量更是創(chuàng)下462億包的輝煌戰(zhàn)績;但2013年以來，方便面銷量卻連續(xù)3年下跌，只剩385億包，具體如表1所示.相較于方便面，網(wǎng)絡(luò)訂餐成為大家更加青睞的消費選擇.近年來，網(wǎng)絡(luò)訂餐市場規(guī)模的“井噴式”增長，也充分反映了人們消費方式的變化.

附題：

（2011年安徽省高考文科20題）某地最近十年糧食需求量逐年上升，表2是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù).

（Ⅰ）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程y=bx+a;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量.

點評?本題直接用時間代號比2011年安徽省文科高考第20題更簡單，有時也會用Eaξ+b=aEξ+b，Daξ+b=a2Dξ等其他公式處理數(shù)據(jù)，也是為了引導(dǎo)學(xué)生找到最佳處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展整理和處理數(shù)據(jù)能力.從而提升學(xué)生獲取有價值信息并進(jìn)行定量分析的意識和能力.

總結(jié)?林新建老師說過：“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心內(nèi)容，唯有立意于思想，樹立起運用思想引領(lǐng)解題的意識，才能真正培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).”為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，發(fā)展素質(zhì)教育，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人，作為數(shù)學(xué)教育工作者的我，深感命題工作與教學(xué)工作的責(zé)任重大，但如何才能更好的發(fā)展核心素養(yǎng)呢？——“問渠哪得清如許？為有源頭活水來.”實際上，只有從源頭將核心素養(yǎng)融入命的題中，才能讓學(xué)生在解題中理解和發(fā)展核心素養(yǎng)，我們不能讓學(xué)生去證明一個假命題，也不能讓學(xué)生去解一個無解的錯題，只有反復(fù)斟酌，才能命出好題，希望本文對圍繞核心素養(yǎng)命題的剖析，能幫助到大家.

（收稿日期：2018-11-12）