大地水準面擬合方法分析

王廷

摘 要：大地水準面擬合方法有多種，本文以某大學校區為例，分析擬合具有相當精度的區域性大地水準面的方法，分別用零次多項式擬合法、一次多項式擬合法、二次曲面擬合法三種方法對觀測數據進行分析。

關鍵詞：大地水準面；擬合；分析

大地水準面是獲取地理空間信息的高程基準面，在高精度、高分辨率的大地水準面模型下，利用相關測量技術可以直接測定正高或正常高。本文對于測量所得大地高、正常高數據，在處理時采用不同的數據擬合方法，以擬合精度為指標，通過相互對比進而得出各種不同的方法的使用條件及其優缺點。大地水準面擬合的方法有零次多項式擬合法、一次多項式擬合法、二次曲面擬合法等。

1. 零次多項式擬合法

零次多項式擬合法在較小的區域內可以認為高程異常是一個常數，如下圖

即認為： （1）

其中H為大地高，為正常高。為高程異常。

圖1大地高、正常高及高程異常關系

此方法在地勢平坦且區域較小的范圍可以使用，但其有明顯不足就是精度較低。

由于測區在某大學校內，相對于整個大地水準面而言是非常小的，因此可以用本方法。把實測的高程異常平均值作為常數，用Matlab程序計算，可以的到其高程異常與高程異常平均值之間的差值（表1）。

表1 高程異常與其平均值之間的差值

點號 I03 I04 I05 I06 I07 I08 I09 I10

差值 -0.0023 -0.0674 -0.0041 0.0243 0.0527 -0.0372 -0.0564 0.0359

高程異常平均值為-4.4956，擬合精度為0.0391。此方法在地勢平坦且區域較小的范圍可以使用，但其有明顯不足就是精度較低。

2.一次多項式擬合法

一次多項式擬合法可表示為：

（2）

在地勢平坦且區域較小的范圍內，可以考慮平面逼近似大地水準面，其中b0、b1、b2為模型參數，如果公共點的個數大于三個，可以列出相應的誤差方程。

用Matlab程序計算可得，擬合高程異常值（異常值）與高程異常差值（差值）如下表：

表2 高程異常與其平均值之間的差值

點號 I03 I04 I05 I06 I07 I08 I09 I10

異常值 -4.4905 -4.4992 -4.5083 -4.5085 -4.5021 -4.5040 -4.4941 -4.4854

差值 0.0074 0.0638 -0.0086 -0.0372 -0.0592 0.0288 0.0579 -0.0257

其擬合精度為0.0378。在地勢平坦且區域較小的范圍內，可以考慮平面逼近似大地水準面，擬合精度較小表明此處可以考慮平面逼近大地水準面。該方法是數據的近似處理，是以所測點高程異常的平均值作為測區的高程異常，這與實際情況是不符合的，可以看出這種方法的不足之處。

3. 二次多項式擬合法

二次多項式擬合法也成為六參數法，二次曲面要求有六個未知數，在測區內要求至少6個均勻分布的點，多余觀測越多，觀測精度相對也會越高。可表達為：

（3）

若共存在n個這樣的公共點，則可列出n個方程，由此可列出誤差方程：

（4）

利用GPS結合實測數據的水準資料，以二次曲面擬合確定高程異常其精度主要取決于高程的精度，以及已知GPS點的數量和其在測區內的分布情況。通過增加已知高程點數，提高已知點的幾何水準精度，并使已知點在測區內均勻分布能提高曲面擬合的精度。

表3檢核點坐標

點號 Northing（m） Easting（m） H（m） 海拔高（m）

I01 4076007.2430 587929.9094 32.063 36.5004

I02 4075997.4715 588089.5463 31.550 36.0634

I03 4075973.8284 588352.3459 31.819 36.0775

I14 4075904.3336 589118.3882 31.653 35.8732

I19 4076531.3519 588832.0120 30.127 34.4301

由程序計算得擬合精度為0.0242，由此可知采用一定密度及分布合理的GPS水準高程聯測點，在地勢比較平坦的區域選擇二次曲面函數擬合區域大地水準面，是平坦地區確定正常高與大地高之差的一種行之有效的方法，具有一定的實際意義和使用價值。對測區內五個GPS點進行擬合結果檢驗，計算的擬合精度為0.0242，證明采用的數學模型有較高的精度，完全可以應用于具有相應地理特征的工程測量。在測區內任意給定一個GPS點的坐標都能利用該理論求出該點的正常高，從而使GPS大地高測量成果更加趨于實用化，其精度可以取代傳統的等級幾何水準測量。

4.結論

通過對三種不同的多項式擬合方法進行比較，從而使我們更加清楚地了解了三種擬合方法各自的使用條件和精度情況。由實驗數據證明二次多項式擬合法采用的數學模型有較高的精度，完全可以應用于具有相應地理特征的工程測量，可以取代傳統的等級幾何水準測量，是比較理想的擬合方法。