二維熱傳導方程在高能脈沖離子束濺射中的應用

李 莉 雷 雨 滕保華 吳明和 楊宏春

(電子科技大學物理學院，四川 成都 610054)

1 引出問題

慣性約束聚變(ICF)是實現聚變能源、改善目前日趨緊張的能源問題的有效途徑之一[1]。熔石英材料作為光學窗口元件被大量應用在聚變裝置的激光驅動器中，而光學元件的負載能力是限制激光器高通量輸出的重要“瓶頸”[2]。高能脈沖離子束刻蝕相較于傳統的連續離子束，可迅速熔融并蒸發光學材料表面層，且產生的應力小，刻蝕深度可控性強[3]。因其可改善元件表面質量、提升元件的抗損傷能力，在工程上成為熔石英元件進入聚變裝置運行前的重要預處理手段和后期的元件修復手段[4]。

所謂離子束，是指以近似一致的速度沿幾乎同一方向運動的一群離子。離子束與光學元件的相互作用過程中，在很短的時間內產生大量的能量沉積在其內，使表面迅速升溫，導致表面快速熔化、汽化而產生等高速離子體噴發，以及在熔石英材料內產生應力波、沖擊波等物理現象，起到對材料表面改性的作用[5]。根據實驗結果，離子束和材料相互作用時，存在空間分布情況，在離子束輻照中心的表面材料獲得的能量最多，因此燒蝕過程中噴發掉的材料物質在此處最深，偏離輻照中心越遠處，燒蝕的深度越淺[6]。因此大多數有關離子束與材料相互作用的理論研究中所采用的一維熱傳導模型并不能很好地反映真實的相互作用過程。

本文以工程上熔石英光學元件的氬離子束處理為切入點，基于能量守恒定律，建立一種非常簡單而直觀的二維熱傳導物理模型，數值計算熔石英內溫度隨空間的二維演化規律，以及熔石英內部不同位置溫度隨時間的演化規律。并利用大學階段的基本物理知識解釋光學元件表面能量吸收對元件溫度演化規律的影響。

本文工作既可量化和加深大家對熱傳導物理過程的理解，同時也具有強烈的工程應用背景，可為慣性約束聚變研究中如何提高光學元件的負載能力提供理論支持。

2 物理模型

當具有一定能量的離子束入射到固體材料表面時，一方面它將同表面層的原子發生一系列的彈性和非彈性碰撞，并不斷地損失能量，當入射粒子的能量損失到一定臨界值時，將停止在固體表面內；另一方面，固體中的原子通過同入射粒子的碰撞而獲得能量，并作反沖運動。由此可見，以上兩方面的物理過程都是以能量的傳遞為基礎的。

2.1 離子束功率密度

假設離子束束流密度隨時間呈高斯型分布[7]，即：

(1)

其中，I0(t)是束流密度隨時間分布的峰值,單位是A/cm2；τ是離子束脈沖半寬度；σ是表征脈沖形狀的參數。

材料表面的離子束功率密度可以表示為

(2)

其中U表示離子束加載電壓，單位為V。

假設離子束沿垂直于表面，即x方向入射。根據Beer定理,在任意x處的離子束功率密度可以表示為[8]

(3)

其中b是材料的吸收系數。

2.2 二維熱傳導模型

根據離子束與材料相互作用過程的物理過程和物理機制，我們將離子束的介入作為面熱源，建立離子束刻蝕的二維熱傳導模型。文獻中有關熱傳導問題的研究基本是以經典熱傳導方程作為基本的理論式[9]，如式(1)所示。

(4)

其中，T是材料溫度；t是時間；ρ(T)指與溫度有關的質量密度；C(T)指與溫度有關的單位質量等壓熱容；K(T)指材料的導熱系數。

下面直接從傅里葉定律和能量守恒角度[10，11]入手，提出一種更加簡單而有效的數值方法研究熱傳導問題。這種方法使大家更容易對熱傳導的基本過程進行理解和掌握。

假設離子束直接照射在熔石英上邊，如圖1所示。設強激光照射靶材過程中,靶材內任意一點某一時刻的溫度為T(x,y,t)，離子束的介入作為面熱源Q。

圖1 離子束輻照示意圖

首先將二維熔石英結構進行網格化，任意位置可用格點(i，j)表征。根據能量守恒，單位時間內材料內任意位置(i，j)的能量應該滿足：

(5)

假定ρ(T)、C(T)、K(T)隨溫度的變化很小，可近似看作常數。式(5)等號右邊為該體元單位時間內吸收的熱量。等號左邊的Qheat是和入射離子束對應的熱源項，Q1,Q2,Q3,Q4分別是格點(i-1,j)，(i，j-1)，(i+1,j)，(i,j+1)傳導給格點(i，j)的熱量。這5個格點間的能量的流動如圖2所示。

圖2 格點間能量的流動

根據傅里葉定律[10，11]有

(6)

令Δx=Δy，上式代入式(5)，則相應的差分方程為

(7)

整理上式，有

(8)

如計算區域內任意位置的溫度，還必須給出相關的初始條件和邊界條件。

初始時刻，靶材的溫度記為T0，即

T(1,j,0)=T0

(9)

假設我們的計算區域為(nh，nh)，其中h為區域步長，n為格點數目。離子束濺射熔石英的物理過程在真空中進行，不考慮對流過程的影響，且省去輻射項。則上邊界加入熱源，左右邊界和下邊界應滿足絕熱條件。

根據差分方程(8)可直接給出4個表面的邊界條件：

(10)

(11)

(12)

(13)

以上是4個邊界的邊界條件，當然對于(1,1)，(1，n),(n,1),(n,n) 4個頂角也可以根據差分方程(8)寫出相應的邊界條件。

以上給出了二維離子束濺射熱傳導模型的控制方程(8)以及邊界條件式(10)～(13)和初始條件式(9)。這里考慮了入射到靶材表面的離子束所攜帶能量在熔石英內的二維演化，尤其邊界條件(10)～(13)更符合實際情況。

從以上二維熱傳導模型的建立過程中，可以看出，本模型從能量守恒定律出發，討論任意位置的能量變化，進而建立對應溫度的差分方程，可給出溫度隨時間和位置的演化規律。而經典的熱傳導方程雖然同樣是基于傅里葉定理和能量守恒，但是利用經典熱傳導方程討論熱傳導問題時，是直接從熱傳導方程出發建立溫度的差分方程。顯然對于初學者，比如大學階段的同學來說，本工作的模型可以幫助同學們更加直觀地理解熱傳導過程以及熱傳導過程的數值求解。

3 結果和討論

計算過程中，我們假設垂直輻照在熔石英玻璃上的氬離子束的脈沖寬度為5×10-9s，最大束流密度為800A·cm-2，電壓為10kV。時間步長為1×10-10s，空間步長為3.3×10-8m，材料初始溫度為273K。離子束流束密度隨時間的演化曲線如圖3所示。

圖3 離子束束流密度隨時間的演化曲線

圖4 深度x=3.3×10-8位置，溫度隨時間和寬度y的演化圖

在圖4和圖5中，離子束的束流直徑為9.9×10-7m，模擬寬度為16.5×10-7m。圖4所示為深度x=3.3×10-8m時，熔石英溫度隨著寬度和時間的演化規律。由圖4可以看到，在同一y位置，溫度隨著時間t的增加呈現類高斯形狀的演化規律。在離子束輻照的初始階段，由于入射能量吸收和能量的熱傳導的同時作用，同一y位置，熔石英溫度隨時間的演化比較緩慢；然而，隨著時間的推移，離子束輻照能量的上升和下降都比較劇烈(可參見圖3)，因此溫度的演化很大程度上依賴于離子束能量的變化規律。由圖3中可以看出，離子束能量的演化規律呈現類高斯形狀，因此溫度演化規律也呈現類高斯形狀。我們的計算結果和其他研究者的演化規律一致[12，13]。

將計算結果和其他文獻研究結論進行對比。文獻[12]采用經典熱傳導方程研究了毫秒激光輻照下熔石英溫度的演化規律，從文獻[12]的計算結果中看出其溫度隨時間呈現上升趨勢，這一點和我們圖4和圖5的溫度隨時間的演化在趨勢上保持一致，但文獻[12]中并未考慮入射能量隨時間的變化，因此并未顯示出溫度隨時間的下降過程。另外需要特別說明的是，文獻[12]中雖然是激光入射而并非本工作中的離子束輻照，但是由于在熱傳導問題的討論中無論激光還是離子束都是以熱源的形式呈現，所以研究者認為二者可以進行對比。

文獻[13]是早期有關利用經典熱傳導方程研究二氧化碳激光輻照玻璃(主要成分為SiO2)的研究工作。文獻[13]中考慮到了入射能量隨時間的演化。從文獻[13]中可以看出隨時間還是深度的演化在趨勢上都和本工作結果基本相同。

以上文獻對比證明我們的物理模型可以很好地描述能量輻照下熔石英的溫度演化規律。

與此同時，從圖4還可以看出，在同一時間溫度隨材料寬度y的增大變化不大，其原因是在數值計算模型中沒有考慮入射的離子束能量隨寬度的變化，見式(3)。

圖5 寬度y=3.3×10-8m位置，溫度隨時間和深度的演化圖

圖5所示為確定寬度y=3.3×10-8m，熔石英溫度隨著深度和時間的演化規律。由圖5可以看到，同一時刻熔石英溫度和溫度梯度隨著深度x的增加而降低。其原因可解釋為，在熔石英表面吸收的離子束能量遠大于熱傳導損失的能量，因此在表面附近(x=0)溫度梯度非常大，然而隨著深度的增加，離子束能量呈現指數降低，因此材料吸收的能量和溫度也呈指數降低。與此同時，吸收的輻照能量和傳導損失的能量差異的迅速降低，導致材料溫度梯度隨深度減小。

從圖5中可以看到，在同一深度，熔石英溫度隨時間呈現類高斯演化規律，其原因和圖4的解釋一致，即入射氬離子束的能量隨時間呈現類高斯演化規律。

4 結論

本工作基于能量守恒定律和傅里葉定律，提出了一種非常簡單而直觀的方法建立二維熱傳導的物理模型。數值計算了在高斯型脈沖的氬粒子束的輻照下熔石英溫度隨時間和空間的演化規律。

在本文給出的入射離子束參數下，同一時刻熔石英溫度沿著輻照方向呈現類高斯分布；垂直于輻照方向呈現輻照區域內溫度保持穩定，輻照邊緣溫度急劇變化，而在輻照區域之外溫度變化不大。同一熔石英深度和寬度，溫度隨時間皆呈現類高斯分布。

本研究工作既有助于理解大學物理課程上最基本的能量守恒和傅里葉定律以及熱傳導過程，也可為工程上提高熔石英抗損傷能力提高理論基礎。