量綱理論與量綱分析法的教學方案的探討

魏 環 許賀菊

(華北理工大學理學院，河北 唐山 063210)

量綱分析是物理與工程研究中的一種重要的科學分析方法。科學方法的教育價值主要體現在對學生能力的培養上，所謂“授人以魚，只供一飯之需，授人以漁，則終身受用無窮”, 就是對科學方法的教育價值的最通俗的表述。學生的學習能力、研究與解決問題的能力乃至創新能力不僅依賴于他們所掌握的知識，更依賴于他們對科學方法的認知程度。

量綱分析法在西方許多大學物理教材中都有較長篇幅的詳細介紹[1]，反觀我國的基礎物理教學，對量綱分析理論的重視程度還遠遠不夠，趙凱華先生在1991年出版的《定性與半定量物理學》一書中就談到：“在通常的物理教科書中，量綱理論往往只是順便提及和一帶而過。關于量綱的應用，在教學中也只介紹單位的換算、檢查公式的對錯等少數方面[2]。”時至今日，20多年過去了，趙先生所談之狀況仍未有多少改變。追尋導致“一帶而過”這種教學現狀的原因，本文認為，主要是在我國的大學和研究生院的課程設置中，很少有院校把量綱分析當作一門課程來開設，那些教授和使用量綱分析法的也僅僅是涉及傳熱學、力學等極少數專業的教師和學生，因此，許多從事物理教學的教師本身就對量綱分析法及其應用缺乏了解和研究，物理課堂上的量綱問題最終就只能“一帶而過”了。

量綱分析理論具有重要的教育教學價值，這是一個能夠使學生長期受用的知識和方法，在大學物理課程中不應“一帶而過”，而要給予足夠的重視，這也是作者撰寫此文的初衷。

1 量綱分析法的理論基礎

1.1 量綱的意義

每個物理量都有兩個基本特征，那就是它的大小和屬性，物理學中的單位和量綱就是與此相關的兩個概念。其中，物理量的單位是為了度量物理量的大小而人為規定的參考標準[3]，而量綱則是為了表征物理量的基本屬性以及辨識物理量的種類而采用的術語。在任何一個單位制中，都會有一組物理量被選作基本量，每個基本量均具有獨立的量綱，導出量的量綱由基本量的量綱組成。

1.2 物理量的量綱式[1，4-6]

一個導出量的量綱由單位制中基本量綱冪次的乘積來表示。按照國際標準，一個物理量Q的量綱記為dimQ，其量綱式為：dimQ=AαBβCγ…，其中，A，B，C …表示某個單位制中的基本量綱，α，β，γ…為實數，稱為物理量Q的量綱指數。在國際單位制中共有7個基本物理量，對應有7個獨立的基本量綱(L、M、T、I、Θ、N、J)。因此，物理量Q的量綱式為

dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη

(1)

物理量按其屬性分為兩類：一類是物理量的大小與選用的單位制有關，稱之為有量綱量，例如長度、時間、能量、動量；另一類是物理量的大小與所選用的單位制無關，這類物理量的特征是其量綱指數均為零，故稱無量綱量，例如，兩個同類物理量的比值、角度、指數和對數等超越函數的變量、精細結構常數，等等，均為無量綱量，此類物理量均用純數來表示。

1.3 量綱和諧原理

量綱的運算服從指數運算法則：兩個物理量相乘時其對應的量綱指數相加，相除時其對應的量綱指數相減。比較物理量的大小只有在屬性相同(即量綱相同)的物理量之間進行才有意義，同樣，只有量綱相同的物理量才能相加、相減或相等。

物理規律必須具有度量單位變換的不變性，因此，一個正確反映客觀規律的物理方程，其等號兩端必然是量綱一致的，即物理方程式中各代數項的量綱必須相同。這個量綱法則又稱“量綱和諧原理”[5,6]。

1.4 量綱分析法

物理規律指的是在某個物理現象或物理過程中，存在于原因與結果之間的必然聯系，從量綱的角度看，反映因果規律的物理方程必然服從量綱和諧原理。當選定了某個單位制后，每個物理量也隨之有了確定的量綱式，此時，“量綱和諧”作為法則必然對原因與結果的物理量之間的依存關系構成制約，即，量綱和諧原理從量綱的角度已然規定了一個過程中各個物理量之間的內在關聯。因此，該原理當然就能夠成為分析和判斷物理現象中因果關系的重要依據，即：從量綱和諧原理出發能夠分析和尋找物理現象中的客觀規律，或者依據該原理可以去尋找解決復雜問題的線索。

所謂量綱分析法，就是利用物理量的量綱所提供的信息，根據量綱和諧原理這個法則去確定一個物理過程中各個物理量之間的因果關系并建立數學模型的方法[4-6]。

1.5 兩種常用的量綱分析方法

1) 瑞利分析法

瑞利(L.Rayleigh)積極提倡使用量綱分析法，他給出了一種直接利用量綱和諧原理建立量綱等式來確定物理量之間因果關系的分析方法[7]，該方法基本步驟如下：

(1) 對于待求物理量，確定對其構成控制或影響的相關物理量以及所涉及的基本量綱。譬如設p為待求物理量(因變量)，p1，p2，…，pn為影響p的n個物理量(自變量)，用k表示為自變量和因變量中所涉及到的基本量綱的數目。

(2) 建立物理量之間指數乘積形式的因果關系式。即設

(2)

其中，λ是無量綱的未知系數，a1，a2，…，an為待定冪指數。

(3) 依據量綱和諧原理，寫出式(2)的量綱等式：

(3)

(4) 根據每個物理量在所選用單位制中應有的量綱式以及量綱等式(3)，列出a1，a2，…，an所滿足的方程組。這里以力學問題為例，采用國際單位制則基本量綱的數目k=3，涉及到的基本量綱為L、M、T，因此，可設

代入式(3)，有

可得以a1，a2，…，an為未知量的方程組：

(4)

(5) 解方程組，確定冪指數a1，a2，…，an的取值，獲得含有未知系數λ的因果關系式(2)。

λ是需要通過實驗或理論分析來求取的，故采用瑞利分析法只能得到定性的因果關系。此外，基本量綱的數目k決定了由量綱恒等式列出的代數方程的個數，當n>k時，將無法唯一確定a1，a2，…，an的取值。因此，瑞利分析法受到物理量個數n的限制，它更適合處理n≤k的問題。

2) Π定理與無量綱化分析法

在量綱分析法中，對相似的物理現象的共同特征，也采用一組相似特征數來表征。但是，與對幾何相似性的描述不同的是，由于控制或影響一個物理現象的物理量可以有多個，而且屬性也不同，因此，這組無量綱的相似特征數通常是由屬性不同的物理量組合而成的[4]。

由于過程中相關物理量之間有著確定的因果聯系，因此表征該過程的相似特征數之間也必然存在著確定且等價的函數關系。1914年，E. Buckingham從量綱和諧原理出發，推導和證明了“有量綱的物理量之間的因果關系與無量綱的相似特征數之間因果關系的等價性”[8]，該定理表述如下。

如果某個物理問題中涉及n+1個物理量p0，p1，p2，…，pn(其中可以包含物理常數)和k個基本量綱(n+1>k)，則由此可以組成n+1-k個無量綱的量Πi(i=0，1，2，…，n-k)。而在物理量p0，p1，p2，…，pn之間存在的函數關系式

p0=f(p1，p2，…，pn)

(5)

可以等價地表達成相應的無量綱形式

Π0=F(Π1，Π2，…，Πn-k)

(6)

Πi即相似特征數(由于它們都用Π表示，此定理又稱Π定理)，式(6)也稱相似特征數方程。Π定理表明，任何一個有量綱的物理方程改寫為無量綱量組成的方程時，其規律性不變。

相似特征數Πi的構成方法如下：如果問題中共涉及k個基本量綱，則可在n+1個物理量p0，p1，p2，…，pn中選擇k個具有獨立量綱的物理量作為一組基本量去度量其余的物理量，即可得到n+1-k個無量綱量。比如，取p1，p2，…，pk作為一組基本量，則

其中ai1，ai2，…，aik為一組待定冪指數，可以根據每個物理量的量綱式以及Πi的零指數性質，確定出ai1，ai2，…，aik的取值。結合式(6)、式(8)，有:

(9)

由于相似特征數均獨立于單位制，也與實際問題中物體本身的大小和運動規模等具體物理量無關，具有客觀性，因此，相似特征數方程反映的是彼此相似的同一類物理現象所遵循的規律。

3) 模型試驗與物理相似原理

利用三角形的幾何相似性，古埃及人測出了金字塔的高度。同樣，對于那些不適于直接針對實物進行實驗的復雜的工程技術問題，人們采取了用模型實驗來代替對原型(即工程實物)直接進行實驗的研究策略。模型實驗是指在模擬的環境中，針對經過縮減的實物模型、運用簡化及可控制的方法再現和研究實物實際發生的物理現象。由Π定理可知，相似特征數方程代表了同一類物理現象的本質規律，因此，當模型實驗和原型實驗滿足物理相似的條件時，就可以通過模型實驗來發現原型的規律。

由式(6)可知，當模型(用下標m表示)與原型(用下標p表示)中同名的相似特征數對應相等時，即

(10)

模型與原型必然遵循相同的規律，故，同名的相似特征數大小相等是兩個物理現象相似的充分必要條件。式(10)是模型實驗必須遵循的相似原則，也稱物理相似原理[2，4，9-10]。

針對飛機模型、高速列車模型所設計的風洞實驗，針對水壩模型、橋梁模型所設計的水流實驗等等皆屬模型實驗。利用模型實驗，人們一方面可以再現原型實際會發生的物理現象，另一方面，人們還可以通過對模型的改動來達到對設計系統的原始設計要求。在實踐中，相似特征數可以通過量綱分析獲得，其具體數值則由模型實驗來確定，這些數值可以直接應用于原型以及其他相似的物理現象中。可見，Π定理與物理相似原理是模型實驗的理論依據。

4) 對兩種量綱分析法的評析

第一，無論是瑞利分析法還是無量綱化分析法，都是將量綱和諧原理作為探尋事物間因果規律的根本原則。這種觀察和分析問題的視角、原則與邏輯，不需要已知具體的物理定律和機理，甚至并不要求研究者具備足夠的專業知識，因此，當人們面對那些物理機理尚不清楚、亦無現成數學模型可用的復雜現象時，量綱分析將能提供行之有效的建模途徑。

第二，在上述兩種分析法中，式(2)中的系數λ及式(6)中函數F的具體形式均不能依靠量綱分析法來確定，而是需要通過具體實驗或理論分析才能獲得。因此，量綱分析法僅限于對物理問題進行定性的分析。

第三，在瑞利法中只需要通過實驗確定一個系數λ即可，而Π定理提供的無量綱化分析法可以使自變量的個數由n個減少為n-k個，二者均能夠大幅減少實驗環節的工作量。

2 量綱分析理論的三層次教學方案

2.1 確立“完整且有深度”的教學目標

從教學的角度看，量綱分析理論的特點之一可以用“基本”二字概括：首先是概念基本，量綱是對一個物理量屬性的描述，而屬性是每個物理量的基本特征之一；其次是原理基本，量綱和諧原理是任何一個正確反映客觀規律的物理方程都要遵從的基本法則；第三是應用基本，利用量綱概念可以在同一單位制中進行單位換算，利用量綱和諧原理可以檢驗方程中各個物理量之間的關系是否正確。量綱概念及其基本法則是每個物理學習者登堂入室所必須掌握的基礎知識。

特點之二，作為一種研究方法，量綱分析法有著獨特的視角和非常規的思維方式：它既不依賴已知的物理定律，也不采用從已知物理定律出發進行邏輯分析最后得出結論的常規思維方式，而是選擇量綱作為考察與分析問題的視角、將“量綱和諧”這一基本法則作為在探尋客觀規律時進行邏輯分析與判斷的基本依據。正是這種獨特的視角和非常規的思維方式，使之成為人們在處理機理尚不清楚且無現成數學模型可用的復雜的物理和工程問題時首選的研究方法[4，11-15]，事實表明，這種方法往往能夠發揮非常重要而有效的作用。

此外，量綱分析不受具體專業的限制，是具有普適性的方法，這是其特點之三。

對于量綱分析這個基本且重要的科學方法，大學物理課程理應對其作出完整且有深度的介紹。在此，“完整”是指對量綱不能只介紹它的基本功能，還要介紹量綱分析法的核心理論——Π定理；而 “深度”是強調，在教學環節中不僅要有通透的理論分析以揭示方法的內涵，還要有恰當的示例以展現其應用的價值。只有這樣才可能讓學生對這種方法形成良好的認知。深度與完整是相互關聯的，不完整則無法有深度。

2.2 關于“三層次教學設計方案”

基于上述目標，并且依照量綱分析理論的內在邏輯，設計如下3個教學層次：

第一個層次，介紹量綱的基本概念、原理和最基礎的應用功能，使學生建立起量綱的概念，接受量綱和諧的思想和量綱分析的基本法則；

第二個層次，介紹瑞利分析法。基于Π定理的無量綱化的分析方法雖然更為基本，但它同時也很抽象，而瑞利分析法邏輯簡潔明了，是對量綱和諧原理的直接運用，把對它的討論作為第二個教學層次，會讓學生在邏輯思維的銜接上感覺連貫和順暢，既有利于學生的理解，也有助于鞏固和強化學生對量綱法則的認知。

第三個層次，介紹Π定理及物理相似原理。由Π定理提供的無量綱化的分析方法更加普適，特別是它與相似原理的聯合運用，不僅成為模型實驗的理論依據，也成為了目前廣泛應用的數值模擬方法的理論基礎。因此，介紹Π定理與相似原理是量綱分析理論在當今的大學物理課程中應該達到的教學深度。

上述3個教學層次是按照量綱分析法的內在邏輯組織構建的，因此，知識脈絡清晰分明。此外，盡管量綱分析法需要學習者具備一些基本的物理常識，但是方法本身并不需要依賴具體的物理規律，所以，完全可以在大學物理課程之初的力學部分中，將這3個教學層次集中作為一個獨立授課單元去講授。因為，對于有著高中物理基礎的大學生而言，介紹量綱分析法無需更多知識來鋪墊。

物理學是具有方法論性質的基礎學科，科學知識與科學方法應該是大學物理課程中兩個平行的主體內容。科學方法涉及的是人們認識世界的思維方式與行為方式，承載著與知識不同的教育內涵與教育價值[16]。教育的一個重要特點就是有意識、有目的的影響人。拿出一定的學時明確完整地教授一種科學研究方法，這種具有明確目的的教學設計可以促使學生有意識地接受科學方法的訓練，也有助于學生對科學方法形成全面和系統的認知[17]。

3 3個量綱分析示例的教學賞析

例題分析的作用重在點化學生，教師通過對精心挑選的示例展開分析討論，以期達到啟迪學生心智、深化其認知和拓展其思維的教學目的。

示例1：用量綱分析法證明勾股定理[2，11]。

證明：面積S的量綱為dimS=L2，由圖1可知，當直角三角形的斜邊長度一定時，其面積還取決于銳角θ的函數f(θ)。由于角度θ及其函數f(θ)均無量綱，根據量綱和諧原理，斜邊長為c的直角三角形的面積可表示為S=c2f(θ)。

圖1 直角三角形的面積

圖2 證明勾股弦a、b、c的關系

如圖2所示，對直角三角形的斜邊做垂線，可將該三角形分成左右兩個與之相似的直角三角形，這兩個小的直角三角形的面積亦可以表示為

S左=a2f(θ)，S右=b2f(θ)

由于S=S左+S右，得到：c2f(θ)=a2f(θ)+b2f(θ)，消去f(θ)，即有c2=a2+b2成立。

教學賞析：

示例1運用量綱分析的思想、以簡潔明快的物理方法對學習者早已熟悉的數學定理給出了精彩的證明，這讓初學者在對量綱分析法的功能感覺奇妙和興奮的同時，也大大激發了他們進一步了解和學習這種方法的興趣，這樣的教學效果在作者多年的教學實踐中屢試不爽，將此示例作為激發學生興趣的首例當是絕佳選擇。

此示例依據量綱和諧原理以及面積和角度這兩個物理量的量綱完成了對直角三角形面積的數學表達，這是整個邏輯推理過程的第一步也是最為關鍵的一步，它對學生學習從量綱的視角觀察和分析問題具有引導和示范的作用。另外，邏輯分析的線索是量綱，論證過程也與單位無關，表明量綱的“功能”是無法由單位取代的，在此可引導學生體會量綱的意義、厘清量綱與單位在功能上的分別。

示例2：利用瑞利分析法研究物體做自由落體運動的時間。

解：由于地球引力導致了物體下落，故根據經驗推測，物體自由下落的時間t應該與物體的下落高度h、物體的質量m以及當地的重力加速度g有關，可設：t=λhαmβgγ，采用國際單位制，有量綱等式

T=LαMβ(LT-2)γ=Lα+γMβT-2γ

結論：第一，自由落體運動的時間與下落物體的質量無關；第二，如果在考慮地球引力作用對時間的影響時，選擇的是地球質量 而非重力加速度，則此方法無解，這是量綱分析法本身的局限性，準確找出影響和控制物理過程或現象的因素是有效運用量綱分析法的前提和關鍵。

教學賞析：

示例2不僅展現了量綱分析法本身的邏輯順序，同時也將它的許多特性展現給了學生：(1)定性分析的特征；(2)不依賴已知的物理規律；(3)方法本身的局限性。

圖3 船舶的阻力

解：在水面行進的船舶所受到的阻力F由兩部分組成，一是由水施加的黏滯阻力，二是行進中的船舶造成水面波浪因消耗能量而形成的波浪阻力，為重力效應。因此，與阻力F有關的是表征船舶外形的特征長度l、與載重量有關的排水體積D、船舶行進速度v、水的密度ρ、水的黏性系數μ及重力加速度g。故，

F=f(l,D,v,ρ,μ,g)

本例只涉及力學的3個基本量綱，根據Π定理，在影響阻力F的6個變量中選取l、v、ρ這 3個具有獨立量綱的量為基本量，則阻力F的無量綱表示式為

必須要求：

(1)Fp=503×0.02=2500(N)

教學賞析：

示例3是流體力學中的一個典型模型實驗問題，對它的分析與推理，既涉及了對Π定理和物理相似原理的具體運用，也涉及了在解決實際問題時對物理學的近似原則與方法的運用，因此，這是一個能夠較為全面地展示如何運用量綱分析法解決復雜的物理與工程問題的理想的教學示例。

本示例不是一個純粹的物理學基礎理論問題，而是一個與模型實驗相關的具體工程案例。這樣設計的宗旨如下：第一，展示運用量綱分析法解決工程技術問題的邏輯和步驟。量綱分析理論在基礎物理學中有著許多重要的應用，但是此方法在研究物理現象中的未知規律時具有獨特的作用，為非物理專業的理工科學生提供用量綱分析法解決工程問題的案例，對他們的吸引力以及思維方式的影響會更大。第二，通過對實例的感受，化解理論的抽象。由于以Π定理為代表的無量綱化分析法較為抽象，因此，選擇此示例的目的，是希望通過對這個具體案例的教學分析，能夠起到化解理論的抽象性、降低學生認知難度的作用。

本示例主要不是為了讓學生學習流體力學的相關理論而是展示無量綱化的分析方法，盡管學生對于描述流體黏性的物理量比較陌生，但是不會因此增加他們對方法本身在應用方面的理解難度。可以將其放在大學物理的力學部分，完成對量綱分析法的第3個教學層次的教學目標。

本文為三層次教學方案推薦了3個示例，一層一例，由淺入深，由簡到繁，能夠基本實現完整且有深度的介紹量綱分析法的教學宗旨。

4 結語

對理工科學生而言，是否具備了運用科學知識、科學的思維方式和行為方式分析和解決實際問題的能力，是評判其科學素質優劣的一個重要尺度。本文以加強科學方法教育、培養學生創新能力為目的，針對目前在物理教學中仍被忽視的量綱分析法，闡述了量綱分析法的核心教學內容與教育教學價值，同時，結合作者多年教學實踐經驗以及相關研究成果[15]，對完整而有深度的講授量綱分析法提出了教學建議，希望本文能夠對推動量綱分析法的物理教學研究發揮一定的作用。