以量綱分析重新發(fā)現(xiàn)普朗克公式

鄧崇林

(獨立研究員)

1 寫在前面

查閱量綱分析針對黑體輻射方面所做的文獻，無論國內外的書籍或期刊，大都是直接拿現(xiàn)成的普朗克常數(shù)來當系統(tǒng)物理量進行分析。這樣布置的話，一來，布置本身就成了為最后的結果而設計的特別安排，以先入為主觀念推導出普朗克的黑體輻射公式；二來，習作易傾斜于量綱“計算”，反倒忽略了量綱“分析”過程所夾帶對問題的觀察和思考；三來，如此布置，彰顯不了量綱分析的潛在威力以及盲點，因此，特別需要深入了解其特性，才能取長補短；最后，感受不到其奧妙驚人之處，從而無法深刻體驗量綱與物理方程有著緊密關系。因此，這些理由就成了本文的研究動機。

本研究的目標是從經典物理范疇開始探討黑體輻射規(guī)律，并不針對普朗克公式，而且所做的假設都很直觀，并不是特別為最后的結果而設計的。量綱分析法[1]是研究物理問題的重要方法之一，但推測物理規(guī)律僅僅靠量綱分析是不夠的，還要輔予物理基本概念、基本規(guī)律、數(shù)值分析的推敲，甚至還要運用思想實驗，并運用自創(chuàng)的屬性擬合手法，過程最大程度依客觀條件指導下進行分析與研判，這樣一路發(fā)展下來，不只能定性還能定量得出量綱分析下Π函數(shù)關系式的黑體輻射公式，并找出其特有的物理圖像，之后再證得與普朗克公式是等價的。

2 研究對象與方法

回顧黑體輻射物理史，在普朗克發(fā)表其黑體輻射公式之前，就有4個輻射公式，按時間進程分別是1879年式(1)的斯特藩-玻爾茲曼定律[2]、1893年式(2)的維恩位移定律[3]、1896年式(3)的維恩分布律[4]、1900年式(4)的瑞利-金斯分布律[4]，現(xiàn)條列如下：

為了后續(xù)量綱分析的順利開展，這里要先對上述比較復雜的物理量符號及其量綱進行盤查，首先列出重要物理量的符號及其量綱：[能量E]=ML2T-2,[能量密度(E/體積V)]=[u]=ML-1T-2,又[du=ρνdν],[單色能量密度，或稱為譜能量密度]=[ρν]=ML-1T-1=[E]TL-3,[輻射本領R]=[總能密度ε·c/4]=ML-1T-2·LT-1=MT-3，熟悉這些與黑體輻射相關重要物理量的量綱之后，才能開展量綱計算，至于量綱分析，這遠比量綱計算來得復雜許多，因分析過程會深入對問題的觀察和思考，而且量綱分析往往會產生一些無量綱的未知函數(shù)或未知系數(shù)，這時就需要借助于其他知識諸如已知特例或實驗規(guī)律，本研究就是拿前述式(1)至式(4)當作已知的實驗規(guī)律，用于輔助推導出正確的輻射公式。

本研究另一項特點就是運用自創(chuàng)的屬性擬合手法，此法乃從結構上采用一種雖不嚴謹卻十分客觀的方式，由剖析結構個別屬性及其作用切入，從而分進合擊擬合出描述問題規(guī)律的一種方法，例如黑體輻射這方面問題，19世紀物理學家在這一問題研究上往往得到莫衷一是的解讀，其中有對的也有錯的，而且錯又不全錯，在某些范圍它又對了，結果同一個問題分別出現(xiàn)式(1)乃至式(4)等4種不同面貌，就像瞎子摸象，結果大象是什么就有了四說：大耳朵、長鼻子、巨軀體、四肢粗，這些答案都不對但也沒全錯，其實只要了解四肢動物身體的結構屬性，很容易就總結出大象的外貌。雖然同一問題從不同側面得到相異解讀，經量綱分析與結構屬性相結合，就能加大概率猜出其規(guī)律，并加以實驗驗證、數(shù)值分析或其他邊界條件，之后就能定量給出正確的物理規(guī)律。

由于在經典物理范疇無法有效進行量綱分析，于是考量能量量綱在時空作用下誘導出一個擴充基本量，并假設其為物理基本常數(shù)以及假定其量綱為[能量][時間]等二項特征，然后以Π定理求出Π函數(shù)關系式，接著運用自創(chuàng)的屬性擬合手法，定出Π函數(shù)關系式中3處屬性并加以擬合，這需依靠已知4個輻射方程加以驗證，又由于黑體輻射算是個復雜的系統(tǒng)，分析過程中總是會碰到這樣那樣的問題，也會面臨該如何選擇的關卡，例如：①人為設定7個基本量，依題來調整，怎么才適度？②是否擴增物理新常數(shù)，理由是什么，定義又為何？③一體多面應如何下手，考量是什么，切入恰當否？④Π函數(shù)式面臨多選一，選項是什么，依據(jù)又為何？⑤3處屬性作用合理否，規(guī)律是什么，如何擬合法？以上這5道抉擇關卡，將會隨著深入分析，物理圖像先由粗放輪廓再漸次清晰起來，之后答案自然浮顯、問題迎刃而解，從而求得量綱分析下Π函數(shù)關系式的黑體輻射公式，這還需通過經驗公式鑒定，之后再轉換求得普朗克公式。

3 以量綱論證物理基本常數(shù)的存在性

1859年德國基爾霍夫已經給出黑體輻射是頻率和溫度兩個變數(shù)的函數(shù)，而與物體質料無關，所以當溫度一定時，我們就可以測量輻射能量與頻率的關系。這里先試著對式(4)瑞利-金斯公式進行量綱分析，又為了避免與時間T記號產生混淆，特將慣用溫度記號T改記為Θ，權宜之計自當留意。設單色輻射能量密度ρν與玻爾茲曼常數(shù)k、溫度Θ、頻率ν以及光速c有關，現(xiàn)在采用MKSK(米、千克、秒、開爾文)制，由Π原理知道最少要有5個合用的物理量才能找出合理的物理公式，依題設關系式ρv=F(k,Θ,ν,c)，其中相關物理量的量綱分別是：[k]=L2MT-2K-1,[ν]=T-1,[Θ]=K,[c]=LT-1,[ρν]=ML-1T-1，代入Π原理可解得ρν=Πν2c-3kΘ，果然得出式(4)瑞利-金斯公式。量綱分析如是進行好像很順利，可不用普朗克常數(shù)就能推得瑞利-金斯公式，這是因為該公式本來就是依經典物理學所推導得出的，這樣量綱的經典對應物理學的經典，當然保持很高的一致性。經典物理范疇下的量綱分析，雖然也能算出無量綱量Π，然而這不能解決黑體輻射的問題，因為該方程早就知道是錯的，而且頻率愈高愈加快發(fā)散導致紫色災難，這凸顯了量綱分析本身的工具局限性，它并不能鑒定所得物理方程的正確性，況且式(3)維恩分布公式的單色輻射能量密度也同式(4)一樣是與玻爾茲曼常數(shù)、溫度、頻率以及光速有關，為何先前的量綱分析結果并不符合此條式(3)成頻率三次方的方程規(guī)律；若單單針對式(2)維恩位移定律進行量綱分析，由于波長與頻率、光速兩者有直接關聯(lián)，而光速是常數(shù)應保留，因此把頻率剔除，如此設λ=F(Θ,c,k)，但是系統(tǒng)相關物理量的個數(shù)n與基本量的個數(shù)m都是4個，按Π原理知道兩者相減為零的結果，就是無法求出無量綱的量。同樣情況也發(fā)生在式(1)斯特藩-玻爾茲曼公式的量綱分析上，而且這兩條公式都是正確的，卻都好像少了一個物理量似的，導致無法進行量綱分析。經典物理理論在量綱分析熱輻射時所遇到的困難，并造成以上無奈情況的，就有兩種可能，要不就是Π原理靠不住，因為該方法考量的不夠全面[5,6]，或許需用比較嚴格的無量綱分析；要不就是物理體系沒能提供足夠的物理量，使得Π原理無法進行有效分析，因而在經典物理范圍需用考量一個額外的未知物理基本常數(shù)。這是個很基本且關鍵的問題，不要急著做判斷，總之，需要再深入探討下去。

現(xiàn)在暫時跳開前述問題的牽絆，我們先回到現(xiàn)象本身深入審視一番。黑體輻射的問題，在于一個黑體在熱平衡下，如何將熱能分配給不同頻率(或波長)的光波發(fā)射出去，其核心問題都是圍繞在能量上有關，然而在國際單位制中，制定了7個基本量：長度、質量、時間、電流、溫度、光強度和物質的量，并沒將能量的量當成是基本量，因為能量是個導出量(induced unit)，由于制度規(guī)范的原故，導致少有人會將能量當成是基本量。Π定理基本上不受這種人為框框條條的限制，以數(shù)學角度來看，只要這些量綱互相獨立都行，因此這里將擴充一個采用能量量綱[E]的基本量，并用來取代質量量綱[M]，這樣不只能簡化量綱表達式，也容易聚焦于問題本身，同時也回答了①人為設定7個基本量，依題來調整，怎么才適度的問題。

接著從物理角度仔細審視所選的能量、長度、時間、溫度等4個量(ELTK)的量綱，它們彼此互相獨立，又會相互影響，怎么說呢，例如以做為問題核心的能量來看，在經典物理的范圍內黑體輻射的輻射能量密度u的量綱是[能量]在[空間]上的表征，而玻爾茲曼常數(shù)k的量綱則是[能量]在[溫度]上的表征，唯獨[能量]并沒有在[時間]上的表征，現(xiàn)在黑體輻射所面臨的時空問題，雖然已有[能量] [空間]外在(顯)作用的表征，如若進一步思考在時間上發(fā)揮[能量]內在(隱)作用的表征，沒有道理不存在有一個量綱是[能量] [時間]的物理量，但就經典物理學對黑體輻射體系來講，根本沒有這種物理量，因此，有必要加以定義還潛藏著未知的物理量，由于是內在作用的關系，它潛藏在經典物理的范圍里而不被輕易發(fā)現(xiàn)，它將如同玻爾茲曼常數(shù)只能是個物理基本常數(shù)，在黑體輻射現(xiàn)象背后深層地影響著整個體系的表征，于是這里將做兩項特征假設：一是系統(tǒng)相關物理量方面現(xiàn)假設存在有一個物理基本常數(shù)φ；二是其量綱假設為[能量] [時間]，顯然，目前有4個量(ELTK)的量綱，即m=4沒有變，至于體系所能考量的物理量個數(shù)則會多增加一個，如此也回答了②是否擴增物理新常數(shù)，理由是什么，定義又為何的問題。

4 用Π定理找出斯特藩公式背后的無量綱量

當普朗克開始研究黑體輻射問題時，首先切入的是維恩分布律與瑞利-金斯分布律這兩組公式，并用內插法得到了后來以他的名字命名的普朗克公式[7]，由于本研究方法是用量綱分析手法，如今面對4個方程，要選哪一條開始著手，還是說，有樣學樣，采行同普朗克研究的切入點呢，于是要問③一體多面應如何下手，考量是什么，切入恰當否？其實錢學森已總結出答案，對復雜系統(tǒng)進行綱量分析要從小規(guī)模開始抓起[8]，黑體輻射算是復雜系統(tǒng)，在前面所列4個輻射公式中，式(1)的斯特藩-玻爾茲曼定律與式(2)的維恩位移定律，它們的數(shù)學形式都相對規(guī)模較小且簡明得多，重點是方程是正確的，這就如同牛頓拿開普勒定律當作自己萬有引力理論的試金石一樣，這里也需要能檢驗分析結果的試金石(畢竟自己沒做實驗來檢定，但可以借助于別人的正確試驗總結)，這樣的話，就從歷史最久遠的方程進行切入分析吧。

現(xiàn)在試著針對式(1)斯特藩-玻爾茲曼定律進行量綱分析，在經典物理的范圍內確定黑體輻射能量密度u的主定參量是由光速c、玻耳茲曼常數(shù)k和溫度Θ等所決定，按Π定理來講，由于上述的4個物理量n=4，使得n-m=0的窘境下，在經典物理的范圍內不可能得出一個無量綱的量，如今在前述已經增加了一個合理假設的物理量φ，現(xiàn)系統(tǒng)有關的物理量的個數(shù)n=5，就能靠Π定理求得n-m=1個無量綱的量，于是設u=F(c,k,Θ,φ)，采用自訂的KJSK (米、焦耳、秒、開爾文)單位制，各物理量的量綱分別是：[u]=EL-3,[c]=LT-1,[k]=EK-1,[Θ]=K,[φ]=ET，代入Π定理的設想，使得量綱關系式為： [u]=(Π1)[c]a[k]b[Θ]c[φ]d，其中Π1是個無量綱量，于是整理列出量綱表如下：

解代數(shù)方程組過程如下：

求解之后，根據(jù)Π定理可以寫出黑體輻射的輻射能量密關系式u=(Π1)c-3k4Θ4φ-3，由于式子中Θ，是為了避免與時間T記號產生混淆而改變的溫度記號，現(xiàn)改回常用的溫度T記號，于是將輻射能量密關系式改回如下列表示式：

(5)

一般如有階段性量綱分析結果，之后需要自己(或組里)進行實驗來檢定，這就啟動了小循環(huán)的重復檢定過程，直到此階段的經驗方程管用為止。這里因可借助前人斯特藩的正確試驗總結，反倒可跳過這個過程，也就是，由Π定理算得的方程式(5)指出輻射能量密度正比于溫度的四次方是符合實驗所得的式(1) 經驗規(guī)律，后續(xù)還會再對全區(qū)頻譜累積進行量化證明，這樣側面用斯特藩-玻爾茲曼定律檢驗了本次小規(guī)模的量綱分析。又式(1)中的比例系數(shù)α是個常數(shù)，而式(5)中除了特征物理量φ以外，包括無量綱常數(shù)Π1都是常數(shù)，因此，特征物理量φ沒有理由不是常數(shù)，至于是不是物理基本常數(shù)，這要到最后才會知曉。現(xiàn)在從式(5)中把Π定理算得的無量綱常數(shù) Π1改寫如下：

(6)

以上所得無量綱量的物理意涵雖尚不清楚，但起碼與式(1)拉上關系，是個好起頭，也順帶回應了③一體多面應如何下手，考量是什么，切入恰當否的問題。

5 建立無量綱量的Π函數(shù)關系式

由于黑體輻射公式之式(3)與式(4)都與頻率有關，因此設頻率ν=F(c,k,Θ,φ)，采用自訂的KJSK(米、焦耳、秒、開爾文)單位制，并與前一單元的u=F(c,k,Θ,φ)有著4個重復變數(shù)，這使得黑體輻射問題擁有6個物理量，而基礎量有4個，因此Π定理預計有6-4=2個無量綱的量，其中一個無量綱量已于前一單元求得Π1，現(xiàn)在要求得另一個無量綱的量Π2。設此無量綱量Π2與頻率的量綱關系式為： [ν]=(Π2)[c]w[k]x[Θ]y[φ]z，于是整理列出量綱表如下：

解代數(shù)方程組過程如下：

求解之后，根據(jù)Π定理可以寫出頻率的量綱關系式

ν=(Π2)c0k1Θ1φ-1

我們將前面式子中的Θ改回常用的溫度T記號，重新表成下列式子

(7)

這個物理基本常數(shù)φ是熱能轉光能的橋梁，難怪其量綱是[能量][時間]，只要將其乘上時間的倒數(shù)也就是光波的頻率，自然化作光波所攜帶的能量。本研究將式(7)視為無量綱量的約化頻率，使得光能與熱能相除得到一個比值，它表征了每單位熱能轉換成輻射的轉換率，在特定熱平衡系統(tǒng)下，它是頻率的函數(shù)，也就是約化頻率會隨著不同頻率而有不同能量轉換率，后續(xù)還會沿用這個概念。

按Π定理可以建立Π函數(shù)關系式為F(Π1,Π2)=0，也可表成Π1=Φ(Π2)，或是Π2=Φ(Π1)，至于要如何從中二選一才是正解，由于Π定理并不能告訴我們答案，這要靠自己進一步剖析才行。

首先來看第一個式(6)無量綱量Π1，參考式(5)就知道它是有著正比于黑體輻射系統(tǒng)絕對溫度四次方以及與頻率無關的特征，它是個總能量級特征項，有了此項才能確保對全域頻率積分之后，有著近似于斯特藩經驗公式一樣與溫度四次方成正比的規(guī)律表征，但卻不能反映輻射能隨頻率變化的分布，這要靠另一個式(8)無量綱量Π2來達成，該無量綱量有兩個任務：一是它本身已探明的內涵，就是反映光能與熱能兩種能量交換機制之比的能量轉換特征項；另一則是以自身為變數(shù)所反映的未知函數(shù)，它將反映輻射能隨頻率變化的分布呈中間鼓起且兩極限端收斂的雙重效應，又由于該函數(shù)是以無量綱量Π2為單一自變數(shù)，因此對該變數(shù)的積分也會是個無量綱的量，所以并不會改變前面總能量級特征項的量綱屬性。

經前面的綜合量綱分析、總能量級分析和分布特征分析后，發(fā)現(xiàn)控制整個黑體輻射現(xiàn)象的，正是這兩個特別重要且由Π原理算出來的無量綱量。至此，到底要選哪一種就很明白了，Π1=Φ(Π2)才是能夠表征系統(tǒng)的Π函數(shù)關系式，但還是不能夠放心，因為此前分析總能量級特征項時，只考慮到同式(1)斯特藩-玻爾茲曼定律一樣與溫度的四次方成正比，忘了還未將其比例系數(shù)修正項納入考量，現(xiàn)在要為之前選定的Π函數(shù)關系式補乘上比例常數(shù)γ，同時將前面式(6)與式(8)帶入并加以調整可得到下列新的Π函數(shù)關系式

(8)

其中γ=常數(shù)。

上式就是我們找到的Π函數(shù)關系式，它是由比例常數(shù)項、總能量級特征項和以Π2為自變數(shù)的Φ函數(shù)項等構成，能夠表征系統(tǒng)的輻射能量密度，式中的Φ函數(shù)不能再用量綱分析予以確定其函數(shù)形式，不過可以確認這是個無量綱的函數(shù)。這個Π函數(shù)關系式可以采以下的物理直觀來理解，就是當黑體處在一特定溫度(即T是常數(shù))下達到熱平衡，如求其總能量時會對這個Φ函數(shù)做Π2變數(shù)的積分，其結果也會是無量綱的量，如再上乘比例常數(shù)項和總能量級特征項，就成了式(1)斯特藩-玻爾茲曼定律。

其實衡量兩個Π函數(shù)關系式該如何從中選一，明眼人能很快猜出系統(tǒng)要用哪一個才是正解，因為系統(tǒng)有興趣的能量密度u就處在式(6)的無量綱量Π1里，已經是顯函數(shù)可以直接用了，不需要放到Φ函數(shù)里將自已變成隱函數(shù)，那么簡單的一個判斷就能完成選用Π函數(shù)關系式任務，然而這樣做，一來容易忽略掉要納入比例修正項，二來就失去對Π函數(shù)關系式摸底的機會，這會大大地阻礙后續(xù)的分析，不可不慎。對無量綱量的Π函數(shù)關系式采用了“通過屬性定義”而不是用公式定義，這種對所涉及物理量的屬性進行分析，從而建立因果關系的方式，可以讓人抓住Π函數(shù)關系式的主干，這樣也回答了④Π函數(shù)式面臨多選一，選項是什么，依據(jù)又為何的問題。

6 從三處屬性擬合出Π函數(shù)之數(shù)學形式

圖1 瑞利-金斯分布、維恩分布與實驗曲線圖

一個物理系統(tǒng)有關的物理量，自有其在該系統(tǒng)中所扮演的屬性作用，至于由這些系統(tǒng)相關物理量所組成的無量綱量，同樣扮演著特殊的屬性作用，有時還構成了系統(tǒng)的重要表征，這一點尤其重要，典型例子就屬流體力學的雷諾數(shù)，它是重要的無量綱量，它能表征出流體流動的黏性力作用。本節(jié)基本上將透過一些分析與研判，來了解式(8)Π關系式中無量綱量的屬性作用，再順勢找到其相應的數(shù)學形式。我們從圖1中可發(fā)現(xiàn)式(3)的維恩分布律在高頻范圍與實驗結果吻合，雖在低頻部分有較大的偏差，但整個譜線與實驗曲線基本蠻符合的[9]，維恩公式(3)中的指數(shù)函數(shù)形式或許應該予以保留，它也是使得能量密度分布曲線有單一極值的關鍵所在，如此才能滿足式(2)的維恩位移定律。又由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等超越函數(shù)往往是以無量綱量為自變數(shù)進行運算[10]，如做合理的推測，不得不令人聯(lián)想到式(8)Π關系式中的Φ函數(shù)也應具有指數(shù)函數(shù)的數(shù)學形式，或許只做適度修正，就能逼近實驗曲線。另考量式(4)瑞利-金斯分布律會引發(fā)紫色災難[11]，因此其數(shù)學形式需要大改造，所幸參考圖1可發(fā)現(xiàn)該公式在低頻極限下與實驗吻合[4]，或許在此極限條件將其改造成帶有指數(shù)函數(shù)的數(shù)學形式，使其和式(3)的維恩分布律有著相似的數(shù)學形式，就有可能從中猜出Φ函數(shù)的數(shù)學形式，它的屬性作用應該就是主導能量按頻率分布畫出曲線。這里先回顧指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式如下：

(9)

(10)

(11)

以上有了三項因子各別的屬性，其作用恰好和式(8)Π函數(shù)關系式相互對應，因此產生了三處須要進一步確認對應屬性作用的數(shù)值或數(shù)學形式是否正確。

首先要檢定第一處常數(shù)項γ=8π是否屬實，我們將以一個思想實驗進行這方面的估算。這里假想設計一個很湊巧的實驗，為便于估算及考量電磁波輻射的球對稱性，于是制定了一個球體空腔，其半徑恰好是某個波長λ，并控制腔壁溫度為T，腔內真空，由于腔壁在任何溫度下都輻射電磁波，因此腔內就建立了一電磁場，并且腔壁同電磁場將達到平衡，由于此時電磁波在該特定波長λ下的的諧振子振動模數(shù)正好是1，現(xiàn)估算該球體空腔內的振動模數(shù)密度為[球體積]乘[單位體積元模數(shù)密度]乘[電磁波振動為雙偏振極性]，以下為此運算的計算過程：

又因為黑體輻射與材質及形狀無關，所以上述針對特例所估算的屬性作用，皆可逕行推廣并適用于任何波長，換言之，任何尺寸的空腔皆有此一屬性作用，因此，以上估算顯示式(11)的常數(shù)項其值確認無誤，而且它是個無量綱的量，接著按照各別屬性作用的對應關系來看，從而也求得了式(8)Π函數(shù)關系式中的第一項常數(shù)γ=8π。數(shù)值求得之后，那該細問此項因數(shù)為何是無量綱的量？其屬性作用又會是什么？其實答案就在思想實驗里，由于前頭實驗是設計成某個波長λ，并沒指定一個值，意思就是可給任意值，所以前述估算結果適用于任意范圍的波長λ，而且是無量綱量的常數(shù)值，這是熱輻射本質呈均方性(isotropic)球對稱所賦予的作用，與輻射電磁波相關物理量無關，因而會是個無量綱的常數(shù)，這也額外自洽地驗證了黑體輻射確實與形狀毫無關聯(lián)。

接下來是第二處式(11)里的特征能量密度項與式(8)Π函數(shù)關系式里的中間項，它是由Π1無量綱量并將其中的能量密度變量獨立出來而得的，在參考式(6)會更加明白它的量綱同于能量密度，反觀式(11)中特征能量密度項的內容，由于在它兩旁的項目都是無量綱的量，使得它的量綱會同于單色能量密度，它的量綱并不同于能量密度的量綱，因此我們還是保留原來在式(8)Π函數(shù)關系式里的中間項。至于它的屬性作用會是什么？目前只以量綱觀點進行比較，這不足以進行判斷，還看不出端倪。

最后第三處則是式(11)里的約化頻率項與式(8)Π函數(shù)關系式里的Φ函數(shù)項，這里先拿之前式(10)的約化頻率項來談，現(xiàn)考量高、低頻兩種極限條件下，則前述式(10)的約化頻率項會有如下近似結果

(12)

再取式(11)的約化頻率項來談，由于與式(8)Π函數(shù)關系式里的Φ函數(shù)有著相同自變數(shù)的約化頻率，于是將兩者直接等同之后再考量高、低頻兩種極限條件下，則會有如下近似結果

(13)

由前述公式(13)在高頻范圍hν?kT的極限條件下，過渡到維恩公式，并且在低頻范圍hν?kT的極限條件下，過渡到瑞利-金斯公式，這正是圖1顯示的實驗結果，這樣就猜出了Φ函數(shù)項的數(shù)學形式。有了前面三處的估算與擬合結果，就能認定式(8)Π函數(shù)關系式如下所示：

(14)

以上初步完成了式(8)Π函數(shù)關系式的數(shù)學形式，但物理圖像尚不清晰，有待進一步探討。

7 驗證斯特藩-玻爾茲曼公式并推算新物理基本常數(shù)

(15)

圖2 玻色-愛因斯坦分布函數(shù)對約化頻率的曲線圖

為了進一步了解式(15)函數(shù)的特性，我們把約化頻率x當橫軸座標，以及將該式f(x)函數(shù)當縱軸座標，然后運用計算機數(shù)值繪圖方式產生該函數(shù)曲線圖如圖2所示，式(15)是一個玻色-愛因斯坦分布函數(shù)[12]，對約化頻率所形成的曲線是固定形式的，它并不會隨著黑體輻射溫度的增減而有所改變，只要是黑體輻射達到熱平衡狀態(tài)，其熱能轉成電磁波發(fā)射的分配情況一律得受此規(guī)律所支配。從圖2中可觀察到式(15)函數(shù)支配性地影響著曲線高低走勢，又圖形是呈上升后下降有單個凹口向下的函數(shù)特性，可在曲線上升至下降的轉折處讓曲線函數(shù)對約化頻率微分為零，這就意味著曲線函數(shù)在此單一峰值處是固定值，該峰值是偏向左方的低頻區(qū)域，而且從最高峰處越往高頻率方向(也就是橫軸越向右方)則所分配的成分會快速遞減，這表示物體持續(xù)加熱時當溫度愈高則會越難升溫，這符合實際的經驗判斷。由于該曲線是固定形式，這會使得該函數(shù)對約化頻率的定積分會是個此曲線到橫軸所圍成的面積，此定積分計算可由文獻[13]查得下列結果：

(16)

式(16)定積分是無量綱的量，將其代入式(14)Π函數(shù)關系式并對約化頻率積分，其計算結果如下：

(17)

物理基本常數(shù)分別引用：光速(c)=2.997×108m·s-1，玻爾茲曼常數(shù)(k)=1.38×10-23J·K-1，式(1)斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)a=7.566×10-16J·m-3·K-4，圓周率π=3.14159，代入式(17)可算得

(18)

上述式(17)不只驗證了式(1)斯特藩-玻爾茲曼公式，還借助該式求得了式(18)本研究假設的基本常數(shù)，很顯然它就是普朗克常數(shù)，真是一舉兩得。又由于常用的斯特藩-玻爾茲曼定律是描述一個黑體在單位面積上的輻射功率(即每秒輻射能量)，也就是發(fā)射本領，因此要將式(17)進行轉換[2]如下：

(19)

上式中的比例系數(shù)σ稱為斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)或叫斯特藩常量。這樣也回應了⑤三處屬性作用合理否，規(guī)律是什么，如何擬合法的問題。

8 驗證維恩位移公式并建構Π函數(shù)之物理圖像

本節(jié)將嘗試利用式(17)的微分形式，推算出式(2)維恩位移公式，把這些搞清楚之后，就能建構式(14)Π函數(shù)之物理圖像。本節(jié)將運用前節(jié)分析得知玻色-愛因斯坦分布函數(shù)對約化頻率的曲線是固定形式的特性，且無論黑體輻射的溫度是多少，只要達到熱平衡狀態(tài)都受此函數(shù)支配，因此，可運用計算機數(shù)值分析方式，找出式(15)的最大值，從而得到約化頻率為x=2.8214的近似值，再將前節(jié)推得的式(18)基本常數(shù)值以及玻爾茲曼常數(shù)，通通代入式(15)函數(shù)中的約化頻率，就能到下列公式：

νmax=5.879×1010(Hz·K-1)·T

(20)

以上就是維恩位移定律的頻率表達形式，此結果和文獻[14]基本吻合，為一定溫度下的峰值頻率與絕對溫度的關系式，又由于還要找出其該定律的波長表達形式，首先找出頻率與波長的微分轉換因子

(21)

上式負號表示減少頻率會導致波長增加，這個負號不影響轉換過程，接著由式(17)總能密度取其對頻率的微分形式，并借式(21)頻率與波長的微分轉換因子，可得總能密度對波長的微分形式

(22)

(23)

上述核心函數(shù)是以約化波長為單一自變數(shù)的函數(shù)，如對約化波長進行微分可得

(24)

如果要求極值就是令式(24)該導函數(shù)為零，接著排除非零項目之后，只剩下必須為零的項目

(5-x)ex-5=0

(25)

圖3 黑體輻射約化波長求根的迭代法過程以箭頭線圖示

但上述方程并不好處理，這里先用e-x乘上等號兩邊項目，再移項重新整理可得

x=5-5e-x

(26)

如果對計算機數(shù)值分析不陌生的話，就知道上述是個迭代函數(shù)x=g(x)=5-5e-x，很顯然，零是它的一個根，這里已將其排除，至于另一個根，用一般智能手機里內建的計算器功能就可以求解，首先取一個值為x=3的初始嘗試解代入到g(x)=5-5e-x迭代函數(shù)里計算，計算器立馬算得其值為4.7510646582，再將該值取小數(shù)四位為x=4.7511代入到迭代函數(shù)中，由于該迭代函數(shù)收斂得很快，只要經五次迭代運算，就能得到x=4.9651的近似解，而x=4.9651142317則會是個不動點，此黑體輻射約化波長求根的迭代法全過程類似圖3所示。求解固然重要，然而現(xiàn)處在大數(shù)據(jù)時代，還是具備運用計算機程序求解能力較佳，而且現(xiàn)在有許多免費開放軟件可用，其文件豐富自學無礙，例如Python語言，它的scipy程式下的優(yōu)化模塊包含了許多方程求解工具，都是經過優(yōu)化并且測試過的，因此不要再重新發(fā)明輪子，應盡可能地使用現(xiàn)有工具，又為了有別于前述手工迭代計算所用的簡單迭代函數(shù)，這里改用形式復雜的式(24)微分為零求極值的導函數(shù)進行求解，這個導函數(shù)若用手工迭代計算是絕對辦不到的，這樣才能凸顯用計算機程序求解的優(yōu)勢，以下就是針對該導函數(shù)為零求解的程序代碼

1: import scipy.optimize as opt

2: from numpy import exp

3: def dfx(x): return (x**4*((5-x)*exp(x)-5)/(exp(x)-1)**2)

4: print('牛頓法求解之根={:.13f}'.format( opt.newton(dfx,3) ))

上述僅僅用了四行程序代碼就能求得根為xmax=4.9651142317443，與文獻[15]迭代結果基本一致，再分別引用光速、玻爾茲曼常數(shù)以及式(18)本研究假設的基本常數(shù)，將這些代入式(21)約化波長定義里，可計算得到下列維恩位移公式：

λmax·T=2.8978×10-3(mK)

(27)

式(27)結果與文獻[16]完全一致，這也證明了式(2)維恩位移定律。這里要特別注意，νmax和λmax兩者對應的并不是同一個輻射峰值，也就說，它們并不滿足頻率×波長=光速的關系式，由于當同一黑體處在絕對溫度T熱平衡時，式(15)約化頻率非零根之解，和式(23)約化波長非零根之解，這兩者都處在相同的一個絕對溫度，此時，絕對溫度T就成了轉換因子而得到下列關系式：

(28)

式(20)頻率與式(27)波長的維恩位移定律兩種表達形式在文獻[17]中有概略說明，本研究求出峰值頻率與峰值波長的式(28)結果與該文獻基本一致。

一般文獻書籍針對式(2)維恩位移公式的求解過程，是直接將普朗克黑體輻射公式取導數(shù)為零求極值的一個直接推論，然而本研究行文至此尚未推導得出普朗克黑體輻射公式，這就必須另辟途徑，把前一節(jié)結合本節(jié)，針對式(15)Φ函數(shù)進行數(shù)值分析，從而得到本研究經量綱分析所求式(14)Π函數(shù)關系式是能夠驗證式(1)與式(2)兩個經驗方程，于是式(14)Π函數(shù)關系式都通過了在普朗克發(fā)表其黑體輻射公式之前所有四條輻射公式的驗證，進而確認式(14)就是本研究運用量綱分析得出的黑體輻射公式，又由于經歷了前面許多的分析與研讀，有了三項有關各別屬性作用的了解，綜合起來就能為式(14)黑體輻射公式勾勒其物理圖像，基本上第一項常數(shù)呈現(xiàn)熱輻射的均方性(isotropic)，使得各個方向的輻射程度都會一樣；第二項特征能量密度項只與系統(tǒng)絕對溫度有關，是黑體輻射中具有經典熱力學系統(tǒng)的重要特征，也就是說，黑體輻射會將帶有絕對溫度四次方的特征能量密度，均分給每一個約化頻率，也可以說是經典熱力學能量均分定理(equipartition theorem)的一種推廣，在不同絕對溫度下，這個量乘上前一項常數(shù)，會讓圖2分布函數(shù)曲線往縱軸方向產生不同程度的垂直平移；至于第三項則是反應熱平衡下如何給約化頻率按特定規(guī)律進行能量轉換分配，這一項也是無量綱的量，所以，將前述三項連乘起來，這一整體表征了黑體的輻射場具均方性，也推廣了經典的能量均分特性，更具有按約化頻率進行能量轉換分配的特定規(guī)律，這是經典熱力學所沒有的特征，這也是為什么光靠經典理論根本無法處理黑體輻射的原因，因而必須引進新的物理基本常數(shù)才能自洽。很顯然，這個由式(14)Π函數(shù)關系式所表征的黑體輻射公式，其數(shù)學形式并不同于熟知的普朗克公式，這會在下節(jié)進行等價證明。

9 由Π函數(shù)關系式推導出普朗克公式

雖然在第7節(jié)里已經證明了本研究假設的式(18)物理基本常數(shù)值和普朗克常數(shù)是一樣的，但這并不表示由量綱分析推得的式(14)黑體輻射公式會同普朗克公式一樣，這需要進一步確認。由于在式(1)斯特藩-玻爾茲曼定律都是雙方能夠確保的條件下，可以安排在黑體同一絕對溫度達熱平衡時，以其總能量密度進行轉換，以下就是式(14)基于這方面的轉換計算過程

(29)

于是可從式(29)中分離出譜能量密度如下：

(30)

式(30)與文獻[18]里所記載的普朗克譜能量密度的數(shù)學形式完全一樣，這證明了由式(14)Π函數(shù)關系式所表征的黑體輻射公式與普朗克公式是等價的。

10 結語

本次徹底研究黑體輻射問題的經歷，充分借鑒了前人個別做了4個不同側面的半經驗方程，并運用量綱分析與輔助手法加以探討，最后居然能夠得出普朗克公式。現(xiàn)總結一下研究心得：

(1) 深入解讀錢學森進行綱量分析要從小規(guī)模開始抓起[8]的內涵。不單單像本文第4節(jié)從小規(guī)模方程抓起，而且在量綱的選用上也從小規(guī)模開始的。在量綱的選用上，本次研究有兩方面考量，一在表征輻射物理量方面，量綱特征如果采[單色能量密度]或[輻射本領]都比[能量密度]來得復雜；二在表征基本量方面，量綱計算采[ELTK]所得的冪次關系式會比[MLTK]來得簡潔，況且采用[能量E]當基本量綱能直觀反映出黑體輻射現(xiàn)像的核心問題。

(2) 要充分理解運用Π原理分析物理方程的長處與短板。若物理方程的數(shù)學形式是由影響問題的物理量具有指數(shù)形式且物理量相互間又有乘除關系式的話，那么這類物理方程就是Π原理的天然伙伴，因為用Π原理求得的無量綱量正是這些物理量冪次的乘積的數(shù)學形式，最有名的經典例子就是對原子彈的爆炸當量進行的分析估算[19,20]，除了這類數(shù)學形式之外的物理方程，往往會成為Π原理的天然障礙，例如有著指數(shù)函數(shù)的普朗克公式，然而卻有文獻預先為普朗克公式設定ρν=8π(Π1haνbccTd)·[exp(Π2hwνxcykz/T)-1]-1為題目，再令黑體輻射譜能量密度關系式為ρν=F(h,ν,c,T,k)，由于有6個變量扣掉4個基本量，于是進行Π原理計算可求得兩個無量綱的量，如此這般就輕易得到了普朗克公式，問題是，能這樣列題嗎？Π原理還沒強大到這種地步，它還有不少先天不足之處，譬如在力學進行量綱分析時，長度和速度的方向無法表示等等，這需要引進定向量綱的概念加以改進[20]。遇不足時，就要靠深入剖析問題、實驗手段或并用其他方法例如數(shù)值分析等等，以期能進一步確定其中的函數(shù)形式或系數(shù)，另，文獻[20]也總結出有關量綱分析一個簡單的6步方法以及量綱分析的難點，而且必須通過實踐訓練才能掌握好這個工具。

(3) 本研究只是以量綱分析湊出普朗克經驗公式。1900年10月19日，普朗克提報了依據(jù)熵對平均能量取二階導數(shù)在高頻和低頻的兩個極限之間內插而推得到的普朗克公式[21]，這是物理史上第一次得到正確的黑體輻射經驗公式，雖說與本研究都是湊出來的，然而在問題切入點與所呈現(xiàn)的物理圖像卻截然不同，然后這些成果皆是缺乏理論詮釋的半經驗公式，要到1900年12月14日，普朗克報告了自己的研究成果，才為他的經驗公式找到了能量量子化的理論詮釋。

(4) 本研究成果能降低黑體輻射物理領域的學習門檻。只要具備微積分基礎知識，并不對電磁學與熱力學有所要求，如此大大降低高中生學習門檻，借由本研究成果，就能更早掌握到有關黑體輻射定性與定量方面的物理知識，在多元角度下促進探索近代物理的興趣，進而對往后學習有所助益。