基于三角網格曲面的機器人磨削工具姿態光順優化＊

金 鑫 劉其廣 呂 杰 徐飛飛 孫曉楠

（①中國航發北京航空材料研究院，北京 100095；②北京市先進運載系統結構透明件工程技術研究中心，北京 100095）

三角網格曲面由于拓撲結構簡單和計算效率高等優點[1]，在汽車、船舶和模具等領域得到廣泛應用。尤其隨著數控加工領域針對網格曲面刀位軌跡生成方法研究的深入[2-7]，針對基于三角網格曲面表示的工件磨削、平整需求也日益增多。然而，作為分片線性曲面，三角網格曲面缺少連續的法矢及曲率等局部微分幾何信息；加之網格曲面作為真實模型的逼近曲面，存在精度損失的問題。因此，為了保證磨削過程的平穩性和磨削質量的均勻性，在利用機器人對三角網格曲面表示的工件進行磨削處理時，如何綜合考慮網格曲面的局部微分特性，設計出相應的磨削工具姿態光順優化算法，從而產生光順性良好和過渡均勻的磨削工具姿態，成為目前亟需解決的問題。

在數控加工中，為解決三角網格曲面缺少連續的法矢及曲率的問題，不少研究學者給出了相對成熟的解決方案。在計算三角網格節點處的單位法矢時，常見的做法是對該節點周圍的三角面片的法矢做面積加權平均[1,3]，或考慮周圍的三角面片形狀等因素采用角度正弦加權等加權方式予以改進[4,8]。另外，為了對曲面凹凸性判別及加工工具姿態進行合理規劃，需要對節點處的曲率信息進行合理估計。相較于采用Taubin方法[9]、基于多截形法的曲率估計[3]即Voronoi方法[10]等策略，本文中采用對局部頂點進行精確的參數曲面擬合的方式來進行曲率估計[4]，該方式在操作和可控性上顯得更為靈活，能夠更好地為基于網格曲面的機器人磨削工具姿態光順優化算法提供必要的曲面信息的支持。

另一方面，數控加工中在對加工工具姿態進行優化時，通常采用基于啟發式算法[11]、最短路徑算法[12]、樣條擬合[13]或徑向基函數插值[14]的方式來實現加工工具姿態間的平穩過渡。同樣的，在使用機器人對網格曲面的工件進行磨削、平整的過程中，也需要對磨削工具的姿態變化的光順性進行優化，從而避免磨削工具姿態變化劇烈導致的磨削表面的不均勻及機器人關節電機負荷過大。考慮到四元數插值在姿態過渡上的優勢[15]：能產生角速度均勻的姿態過渡、計算效率高及算法邏輯清晰，本文以四元數插值作為機器人磨削工具姿態光順優化策略，實現對三角網格曲面磨削工具的姿態規劃。

具體而言，本文將首先對網格曲面的法矢、曲率等局部微分幾何信息進行計算，并基于所獲得的的法矢和曲率信息，指定關鍵路徑點的磨削工具姿態，最后通過四元數插值的方式對磨削工具姿態進行光順，從而實現對磨削過程中機器人末端運動的優化。

1 三角網格曲面的微分幾何特性

1.1 法矢和曲率估計

曲面的法矢是加工過程中工具姿態調整的重要參考，然而三角網格曲面作為分片線性曲面，在節點處缺少連續的法矢和曲率信息。因此，對網格曲面的機器人磨削工具姿態光順性優化而言，首先需要對網格曲面的節點處的法矢進行估算。

如圖1所示，在三角網格下標為i的節點 υi處，所對應的法矢ei可以由該節點星形鄰域附近的面片的法矢做面積加權平均得到，記該節點附近的三角面片的面積和法矢分別為si,j、ei,j，j=1,2,···,m，具體公式如下。

圖1 網格曲面節點的星形鄰域

除了法矢之外，三角網格曲面的曲率信息仍待估算。曲率反映了曲面或曲線在該點的彎曲程度，是姿態規劃算法的重要依據。

對三角網格曲面的曲率估計，對計算效率要求較高，同時要求其估算的適應能力好，即能夠依據精度的要求進行靈活調整。本文采用三次 B e’zier曲面進行對三角網格曲面的節點進行局部擬合，根據擬合曲面計算相應點的曲率。三次 B e’zier 曲面的表達式

其中：bi,j為 B e′zier 曲面的控制頂點，u、v為曲面的參數，bi,3(u)、Bj,3(v)為Bernstein基函數。

為完成三次 B e′zier 曲面的擬合過程，需要對 υi鄰域的節點Qj(xj,yj,zj)進行參數化，然后利用最小二乘法求取擬合曲面。本文對節點進行參數化的過程如下。

（1） 計算點集Qj的最小二乘平面

記最小二乘平面的方程為

利用式（4）在極值條件下，計算得到相應的系數和最小二乘平面方程。

（2）將節點Qj投影至最小二乘平面上。

（3） 將所得投影點縮放至 [0 ,1]×[0,1]的矩形域中，獲得Qj對應的參數值

然后，將節點Qj及對應的參數值代入式（2）中，獲得線性方程組AX=B，求解該方程，完成擬合過程。

接著，根據局部擬合得到的 B e′zier曲面方程，若經過節點 υi的磨削路徑曲線為r(u(t),v(t))，依據式（5）計算節點 υi處的曲率：

其中：K為曲面在該點處的法曲率，E、F、G為曲面第一類基本量，L、M、N為曲面第二類基本量。

1.2 關鍵路徑點的姿態指定

利用等參數法，按步長 Δt，將磨削路徑曲線r(u(t),v(t))分割成離散 的 路 徑點rk(k=1,2,···,m)。 隨后利用1.1節中介紹的法矢和曲率估計方法計算每個 離 散 路 徑 點 處 的 法 矢ek(k=1,2,···,m)和 曲 率Kk(k=1,2,···,m)。基于離散點處的曲率信息，按照以下流程指定關鍵路徑點，并對關鍵路徑點進行姿態指定：

（1）計算曲率序列Kk(k=1,2,···,m)的平均值。

（3）遍歷曲率序列，{將曲率值大于曲率閾值Kc的}路徑點區域視作關鍵區域rk1,rk2,···,rks,···,rki1,rki2,···,rkit，并將每個關鍵區域內曲率值局部最大的路徑點視作關鍵路徑點。

（4）將關鍵路徑點的姿態指定為該點處的法矢。

至此，完成了關鍵路徑點的機器人磨削工具姿態的指定，為后續機器人磨削工具姿態的光順性優化做好了準備。

2 四元數插值和姿態優化

本文采用四元數插值算法對機器人磨削工具姿態的光順性進行優化，從而獲得光順性良好和過渡均勻的磨削工具姿態。下面介紹四元數插值的具體流程。

四元數是一種[具有4個]分量的、形如q=q1i+q2j+q3k+q4=q1,q2,q3,q4的超復數[16]，其中i,j,k為虛軸單位，滿足i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ik=-ki=-j。

對于三維空間中的某一單位矢量en=[en,i,en,j,en,k][，(在四元數)空間]內可以被表示為一個純四元數En=en,i,en,j,en,k，0。若指定某一固定單位矢量eref作為參考矢量，則由參考矢量eref到單位矢量en的旋轉變換可以被表示為

其中：Eref為參考矢量eref所對應的純四元數；是qn的共軛四元數，qn為由eref到en所經旋轉變換對應的四元數，且該四元數qn的計算公式為

下面利用四元數插值，對章節1中所指定的關鍵 路 徑點序列rn(n=1,2,···,N)所對應的 姿 態 序列（即該點的法矢）en(n=1,2,···,N)進行插值，生成中間矢量作為過渡磨削工具姿態。具體做法如下：

（1） 選取參考矢量eref，并按照式（7）計算eref旋轉至姿態序列中每一個姿態en(n=1,2,···,N)所對應的四元數qn(n=1,2,···,N)。

（2）在所獲得的四元數序列中，順序選取兩相鄰四元數qn,qn+1(n=1,2,···,N-1)，按照式（9）進行四元數插值，得

式中：mn=1,2,···,Mn;t∈ [0,1]。Mn為兩關鍵路徑點rn和rn+1中間待插值的路徑點數目，參數 [0 ,1]可將區間 [0 ,1]經Mn等分得到。

（3）在獲得所有路徑點的姿態所對應的四元數后，需要將其轉化為該點的姿態。具體做法是，在每個路徑點處，按照插值得到的四元數qmn，利用式（7）對參考矢量eref做旋轉變換，得到所有中間路徑點的姿態emn。

按照上述流程優化后的磨削工具姿態，如圖2所示，可以看到生成的中間磨削工具姿態具有很好的均勻性。

圖2 四元數插值產生的磨削工具姿態

3 實例驗證

圖3所示為MATLAB實現磨削姿態規劃算法的可視化仿真環境，以及所使用的三角網格曲面。

圖3 算法的MATLAB界面及三角網格曲面

下面通過與未進行優化的磨削姿態進行對比，以驗證本文算法的優越性。注意：未進行優化的磨削姿態指的是，將路徑點處的法矢直接作為磨削工具姿態。基于上述算法流程展開仿真，仿真結果如圖4所示。

圖4 仿真實例

圖5為實驗結果，通過對優化前后的磨削工具姿態運動學表現進行對比，以驗證運動光順性是否得到提高。其中，磨削工具姿態運動學表現為：整個運動過程中磨削工具姿態的角速度。

圖5 加工實驗

利用向前差分，得到角速度的離散表達形式

式中： ω為角速度；f為加工過程中的進給率； φi為參數為ti時磨削工具姿態相對于絕對坐標系z軸的轉角；Li為時間ti至ti+1內磨削工具末端點移動距離。

圖6所示為優化之前與優化之后的角速度曲線。可以看出，角速度的波動與優化之前相比明顯降低。

圖6 磨削工具姿態的角速度

4 結語

本文針對網格曲面磨削過程中遇到的問題，提出了相應的磨削姿態規劃，所提出的具體算法具有以下特點：以局部擬合的方式對三角網格曲面進行法矢和曲率估計，并基于所獲得的法矢和曲率信息，進行了關鍵路徑點及其姿態的指定。然后，通過對磨削過程中機器人磨削工具姿態進行四元數插值，獲得了更好的磨削工具姿態變化的均勻性，從而得到了更好的磨削工具姿態過渡的平穩性。經實例驗證，本文所提算法優化后的磨削過程中，磨削工具姿態的角速度差起伏程度下降，波動減少，平穩性提高；同時，曲面的磨削效果更加均勻。