法拉第旋光效應在等離子體診斷中的應用研究

李文劼

摘 要：可控熱核聚變是解決能源危機的終極方式，實現熱核聚變離不開對聚變等離子體物理特性的診斷。由于聚變等離子體高溫的特性，常規的直接診斷法通常難以實現。介紹一種利用法拉第旋光效應來診斷等離子體內部磁場大小的方法。從麥克斯韋方程組出發，給出了等離子體中法拉第效應的定量表達式。利用推導出的結論，結合相關的實驗參數作出可行性分析。

關鍵詞：法拉第效應;等離子體;電磁波;偏振

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.104

1 背景介紹

法拉第效應是一種神奇的磁光效應，描述的介質中電磁波與磁場的一種相互作用。當一束線偏振的電磁波入射到介質中時，與電磁波傳播方向平行的磁場分量會導致線偏振光的偏振面發生偏轉，而且偏轉的角度與平行磁場分量成正比。即：

β=VBd

其中β是旋轉角度，B是磁場沿著電磁波傳播方向的分量，V稱為維爾德系數，與介質的材料本質、波長、溫度有關。

這種效應在光學、天體物理等方面有著十分重要的應用。例如，利用法拉第效應制作光隔離器，能夠減少光學器件的反射對激光的干擾，是激光器的不可或缺的組件。再者，在天體物理中，當光波從光源傳播到地球的過程中，會經過星際間的介質。在星際介質中傳播時，光波的偏振面由于法拉第效應會發生偏轉。因此，給予星際間的電子密度，即可計算出偏轉角與磁場大小的系數，從而估算出磁場大小。地球的電離層同樣會導致法拉第效應的產生，但是越是高頻（波長越短）的電磁波，其維爾德系數越小。因此，對于電視頻率（<500MHz）來說，穿過地球電離層會出現至少一個全旋轉（360度），所以對于電視信號來說，被電離層反射之后，其偏振是難以估計的;但對于高頻的衛星信號所在的頻段（GHz），由于法拉第效應帶來的偏振面偏轉能夠維持在容許誤差之內。

等離子體是物質的第四種狀態，其物質特性與固體、液體和氣體有很大的不同。宇宙中可見物質的99%都以等離子體的狀態存在。研究宇宙中等離子體的物質特性是天體物理的一個重要分支，但自上世紀50年代以來，隨著氫彈的研制成功，人們一直希望能夠實現可控的熱核聚變，來解決日益嚴峻的能源危機。我們知道，要想使原子核克服庫侖斥力聚合在一起，就必須施以極大的外力。也就是說，需要極高的溫度或極大的壓強。在熱核聚變中，有一個十分著名的勞森判據，對于氘氚反應，在14keV的溫度下，電子密度n、溫度T和約束時間 τ應滿足如下關系：

nTτ3×1021keV·s/m3

在如此高的溫度和密度下，氘和氚被電離，形成等離子體。因此等離子體物理在核聚變研究中有著無比重要的地位。無論是磁約束核聚變（例如國際合作的ITER裝置以及我國的EAST裝置）或是激光慣性約束聚變（例如我國的神光三裝置），都離不開對等離子體的性質的研究。因此我們需要對等離子體的內部性質進行診斷來獲得實驗數據，但問題在于，聚變等離子體的高溫高密高壓的性質使得等離子體診斷十分困難。直接測量是不可能的，我們需要借助各種手段，通過間接的方式測量等離子體的性質。

本文介紹一種利用法拉第效應來測量等離子體性質的方式，從麥克斯韋方程組出發，推導出等離子體中法拉第效應公式，并對具體問題進行一些討論。

2 理論模型

從麥克斯韋方程組出發，在等離子體中，我們有

考慮等離子體中外加一個恒定磁場B=B0e︿z ，e︿z為z方向的單位向量。電子的流體方程可簡化為：

現在討論電磁波的情況。如下圖所示，若電磁波的傳播方向平行于外磁場，即k//B0。根據假設，k、B0都是沿著z軸方向，由于電磁波是橫波，即k-E1=0，則E1在x-y平面內。又由于B0使電子運動速度ue1有x、y方向的2個分量，即：

E1=（E1X，E1y，0）

ue1=（uX，uy，0）

左側為線偏振電磁波，沿外加磁場方向入射等離子體。

假設所有擾動量E1、B1、ue1、j1均有相同的傳播因子ei（kz-ωt）REF_Ref507236548＼r＼h[3]，那么可以將（4）、（6）線性化為下式：

-iωmeux=-eE1x-euyB0（8）

-iωmeuy=-eE1y+euxB0（9）

（ω2-k2c2）E1x=ieωn0ux/ε0（10）

（ω2-k2c2）E1y=ieωn0uy/ε0（11）

其中（8）、（9）是運動方程，（10）、（11）是場方程。由（10）、（11）解出ux、uy，代入（9）、（10），有

（ω2-k2c2-ωpe2）E1x+iωceω（ω2-k2c2）E1y=0（12）

iωceω（ω2-k2c2）E1x-（ω2-k2c2-ωpe2）E1y=0（13）

式中ωce=eB0me為電子在外磁場B0中的回旋頻率，ωpe=n0e2meε0為電子等離子體頻率。根據線性代數的知識，（12）、（13）若有非零解，其充要條件是其系數行列式等于0，即：

（ω2-k2c2-ωpe2）2=ωce2ω2ω2-k2c2）2（14）

有

ω2-k2c2-ωpe2=±ωceω（ω2-k2c2）（15）

所以

E1y=±iE1x（16）

E1=E1xex+E1yey=E0（ex±iey）ei（kz-ωt）（17）

又已知其為圓偏振波，“+”對應右旋圓偏振波（R），“-”對應左旋圓偏振波（L），則（14）為R波與L波的色散關系，整理得

kR（L）=ωc1-ωpe2ω2（1ωceω）（18）

下面考慮線偏振波以平行于外加磁場B0的方向入射等離子體，那么線偏振波可以分解為左旋和右旋圓偏振波的疊加，即：

E=EL+ER=E0ex（eikLz+eikRz）-iey（eikLz-eikRz）e-iωt（19）

則：

cotφ=ExEy=-i1+ei（kL-kR）z1-ei（kL-kR）z（20）

所以

φ=arccotExEy=（kL-kR）z2（21）

考慮ωωpeωce，由（18）有

kL-kR=ωc 1-ωpe2ω2（1+ωceω）-ωc 1-ωpe2ω2（1-ωceω）（22）

對（22）進行泰勒展開，有

kL-kR=12ωc1-ωpe2ω2（1+ωceω）-1+ωpe2ω2（1-ωceω）=ωpe2ωcecω2（23）

則：

φ=（kL-kR）z2=12（ωpe2ωcecω2）z=（e3B0n02ε0cme2ω2）z（24）

其中，n0 為等離子體中電子密度，ω為入射電磁波的頻率。至此，等離子體中法拉第旋光效應的理論推導完畢，（24）式為線偏振波以平行于外加磁場方向射入等離子體后其偏振面的偏轉角的方程。

3 可行性研究

以超強激光與氣體靶產生的等離子體為例， 激光與物質相互作用會產生環狀的自生磁場。如下圖所示，超強短脈沖激光（紅色）與靶相互作用產生了環向的自生磁場，我們利用一束高頻的探針光（橙色）入射超強激光與靶相互作用的區域。由于自生磁場的作用，探針光的偏振面會發生偏轉。通過檢測這一偏轉角度，即可估算出自生磁場的大小。

激光與氣體相互作用中產生的等離子體的電子密度一般在0.01nc 左右，其中 nc為臨界電子密度（對于波長為 1μm 的激光，nc=1.1×1027m-3）。超強激光與氣體產生的等離子體尺度約為100μm。根據前文得到的公式，如果測量到的偏轉角度為1°，那么磁場的大小約為60T （0.6MG），這和以往的實驗結果（50～100T）在同一個數量級。因此，這種方案是切實可行的。

4 總結

法拉第效應是磁致旋光效應，由于磁場的存在，使得光的偏振面會發生偏轉，這一效應在許多方面有著十分重要的應用。由于聚變等離子體高溫高密的性質，通常難以直接對等離子體進行診斷，但是利用法拉第效應，可以間接地通過測量偏振面轉過的角度來反推出等離子體中的磁場。本文從麥克斯韋方程組出發，詳細推導了等離子體中的法拉第效應的相關公式，此結論可以應用在等離子體磁場的測量中。通過和實驗參數比對，作者估計出超強激光與氣體靶相互作用產生的等離子體中的自生磁場的大小約為60T，這和前人得到的結果基本一致。除去測量磁場大小，此方法還可應用在測量等離子體的電子密度，通過施加一個與探針光相同方向的外磁場，我們可以反推出等離子體的電子密度。

參考文獻

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