一類內部收益率問題的計算方法及應用研究

王柳

摘?要：基于現金流的內部收益率計算是投資項目評估中的一個重要問題。利用高等數學方法提供了有限和無限現金流的內部收益率計算的統一、高效方法，并對不同類型的理財產品進行了分析。

關鍵詞：內部收益率;高等數學;二分法

中圖分類號：F23?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.033

在財務管理中，內部收益率（Internal rate of return，IRR，又稱內含收益率），是指滿足

∑Tt=1Ct（1+r）t=C0

的r，其中Ct是t時刻流入的現金。

本文利用高等數學方法給出一種計算r的方法：二分法。

命

f（r）=∑Tt=1Ct（1+r）t

則問題等價于尋找r滿足f（r）=C0.假設f（0）>C0，f（a）

x=0，y=0

取z=x+y2，如果f（z）=0，則r=z，停止;否則如果f（z）<0，則保持x不變，命y=z;如果f（z）>0，則保持y不變，命x=z。不斷重復這個過程，由介值定理可以知道，z最終會無限趨近于r。

[例1]市場上有一種36年期理財產品，每購買10000元，接下來的36年每年可以領取500元，求該理財產品的內部收益率IRR。

[解]假設內部收益率IRR為r，則有

∑36t=1500（1+r）t=10000

利用等比數列求和公式有

g（r）=1-1（1+r）36-20r=0

有g（0）=0，g（1）=-19<0，下面用二分法求解。r

取z1=12（0+1）=12，g（z1）=-9<0;

取z2=12（0+z1）=14，g（z2）=-4<0;

取z3=12（0+z2）=18，g（z3）=-1.514<0;

取z4=12（0+z3）=116，g（z4）=-0.362<0;

取z5=12（0+z4）=132，g（z5）=0.044>0;

取z6=12（z4+z5）=164，g（z6）=-0.129<0;

取z7=12（z5+z6）=1128，g（z7）=-0.032<0;

取z8=12（z7+z8）=1256，g（z8）=0.008>0;

取z9=12（z8+z9）=1512，g（z9）=-0.011<0;

取z10=12=371024，g（z10）=-0.001<0;

所以r=z10=3.61%

高等數學中的無窮級數可以用來處理無限期現金流問題。

[例2]市場上有一種無限期理財產品，每購買10000元，第一年可領取100元，以后可領取的金額逐年遞增200元（即第2年可領取100元，第3年可領取300元，依次類推），求該理財產品的內部收益率IRR。

[解]假設內部收益率IRR為r，則有

100∑∞k=1k（1+r）k=10000

命

f（x）=∑∞k=1kxk，x∈（0，1）

則

f（x）x=∑∞k=1kxk-1=ddx∑∞k=1xk=ddx1（1-x）=1（1-x）2

所以

f（x）=x（1-x）2

所以

11+r1+11+r2=1001+rr2=100

解得

r=2401-1=10.5%

參考文獻

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