基于激光全息法和泰伯效應的光學晶格制作與精確測量實驗教學

梁文耀, 譚希超, 劉 基, 王 琪

(華南理工大學 a. 物理與光電學院； b. 物理教學實驗中心； c. 電子與信息學院， 廣州 510641)

0 引 言

近代物理實驗是融合物理思想和實驗技術的綜合性實驗課程，是我國高校物理類專業的必修實驗課程之一[1-2]。然而其實驗教學內容長期以來缺乏及時和有效的更新，難以反映當前物理學發展的前沿現狀，迫切需要新增貼近物理學前沿的實驗內容。本文提出將物理學研究熱點之一的多光束激光全息干涉法制作光子晶體的理論引入近代物理實驗教學。

光子晶體是介質或金屬材料構成的人工周期結構[3]，被譽為“光子學半導體”。光子晶體由介電材料類比固體物理晶格排列制作而成，其獨特的光子帶隙、缺陷模、超準直、負折射等新穎物理效應引起了國內外學者的廣泛關注[4-8]，人們據此提出了全向反射鏡、光子晶體波導、非互易傳輸、光子晶體光纖等重要應用[9-13]。由于光子晶體的巨大潛在應用價值，設計和制作各種光子晶體成為人們的研究熱點之一。人們已發展了半導體微電子加工技術、激光刻蝕法和激光全息法等多種制備方法[14-16]。其中半導體微電子加工技術比較成熟，但工藝復雜，成本較高；激光刻蝕法只能形成橢圓形狀的單一刻蝕形狀，而且制作微結構的效率較低。與其他方法不同，激光全息法是一種并行刻寫的方法，它利用多束相干光在相干區域匯聚形成光強分布有序的周期干涉圖樣，利用“模板+填充”方式完成微結構的制作，可制作各種光學晶格微結構，具有靈活高效、圖樣豐富、大面積制作等獨特優點。傳統的激光全息法是讓光刻膠在全息光路中曝光，從而產生周期微結構，需要大量制作實驗樣品，制作效率和成功率較低。本實驗利用CMOS傳感器代替光刻膠，將干涉結果實時傳輸到計算機進行分析，根據分析結果調節光路參數，無需曝光、顯影等步驟，有效提升對微結構制作的掌控程度和降低實驗成本。

為了便于分析實驗結果，通常需要解決微結構的晶格常數測量這一難題。傳統的方法是結合實驗裝置的光路參數通過公式計算得到。然而實際測量實驗裝置的參數時通常面臨以下問題：① 在實驗中干涉圖樣經顯微物鏡放大后由CMOS傳感器采集圖像輸送到計算機進行觀察，由于顯微物鏡的內部光路未知，同時顯微物鏡和CMOS傳感器的相對位置不固定，從而導致圖樣的具體放大倍數未知；② 為了利用公式來計算晶格常數，需要精確測量實驗光路的各項參數，例如萬向鏡光點之間的距離、光束夾角以及光點到成像點的距離等，這些參數在實際測量時難以精確測量，誤差較大。因此迫切需要發展高效便捷的實驗測量方法。

本實驗中，提出一種基于泰伯效應(Talbot effect)的標定法來精確測量微結構的晶格常數。在同一實驗環境下在顯微物鏡前放置一塊光柵，讓激光垂直入射，由于泰伯效應產生光柵的自成像。在不改變實驗環境參數設置的情況下，光柵的自成像與激光全息法產生的光學晶格微結構放大比例相同，在已知光柵參數的情況下，將光柵的自成像作為參考導入Matlab進行分析標定，以自成像作為測量光學晶格的標尺，最終實現對光學微結構晶格常數的簡便、精確測量。研究表明，實驗結果與理論計算吻合得很好。

1 理論分析

1.1 多光束激光全息法基本原理

激光全息微結構制作是利用多束相干光在會聚區域產生干涉圖案作為模板，進而通過光與物質相互作用形成折射率空間周期變化的二維或三維結構。改變光束波矢差和光束之間的夾角，能夠產生多種周期結構。其干涉結果可看成是多束激光兩兩干涉結果的疊加。兩束相干光干涉形成一系列極大值平行平面，其方向垂直于兩光束所在平面，平行平面之間的距離由入射光波長和兩光束之間的夾角決定：

(1)

式中：λ為入射光波長；θ為兩光束夾角。

入射光多于兩束時，兩兩光束間所形成的不同平面組數為n(n-1)/2，其中n為不共面的入射光束數。本實驗主要研究二維晶格，取n=3，共有3組平行平面，它們在空間相交形成的極大值點在二維平面上具有良好的周期特性，這就是所謂的光學晶格點陣。N束相干光在會聚區域干涉的空間光強分布如下：

(2)

式中:Ej(r)、kj分別是第j束平面光波的復振幅和波矢。波矢差Gij=ki-kj，初相位差δij=δi-δj。

為了便于分析各束光的偏振組合影響，把參與干涉的各光束進一步分解為振動互相垂直、初相位彼此相差π/2的橢圓偏振光形式(Ea、Eb分別為橢圓長、短軸)：

Ej=Eja+Ejb=Ejaexp(ikj·r+δj)eja+

(3)

由式(2)可知：① 該干涉場分布具有周期性，可用于制作周期微結構。② 由固體物理學的正、倒易空間的變換關系可知，光束波矢差和倒格基矢存在對應關系，Gij可等效為周期結構的倒空間矢量，所以光學晶格的類型取決于Gij。③ 光束兩兩相干形成各種取向的一維晶面，其對比度、元胞形狀依賴于光束振幅、偏振組合(如Ei·Ej)。

1.2 二維光學晶格的光束配置及晶格類型

利用式(2)研究干涉場空間分布I(r)的晶格類型與波矢差Gij的關系，即光束配置。各束光的波矢差與倒格矢存在對應關系，波矢差Gij可等效為干涉周期結構的倒空間矢量。如圖1所示，要形成二維光學晶格微結構，需有3束非共面激光參加干涉，但僅有2個獨立基矢，假設G1=G31=k3-k1和G2=G23=k2-k3，而k2-k1=G31+G23，并非獨立基矢。倒格子基矢Gij的大小以及它們之間的夾角決定了正空間光學晶格的對稱性。

圖1 二維光學晶格光束配置圖

根據固體物理中的分類，二維晶格類型共有4種，分別為斜方晶格、矩形晶格、正方晶格、三角晶格，其條件分別如下：① 斜方晶格。最普通的二維周期結構，其條件為|G1|≠|G2|，且G1與G2的夾角不等于90°。② 矩形晶格。其條件為|G1|≠|G2|，且G1與G2的夾角為90°。③ 正方晶格：其條件為|G1|=|G2|，且G1與G2的夾角為90°。④ 三角晶格。其條件為|G1|=|G2|，且G1與G2的夾角為60°。不失一般性，后文以三角晶格為例開展實驗研究，其他類型晶格可類似研究。圖2所示為三角晶格的計算機模擬實例，相應參數見表1。

圖2 三角光學晶格模擬實例

1.3 晶格常數測量原理——基于泰伯效應的標定法

泰伯效應：1836年，泰伯發現，用單色平行光垂直照射周期為d的光柵時，在光柵后距離為2m(d2/λ)

表1 模擬實例對應參數

上出現該光柵的清晰像，m為正整數，稱最小重復距離d2/λ為泰伯距離。這種不用透鏡即可對周期性物體成像的現象稱為泰伯效應或自成像效應。此外，在(2m-1) (d2/λ)的位置上，會出現沿橫向平移d/2的光柵像，周期仍為d。泰伯效應可用圖3表示。

圖3 泰伯效應

同一實驗環境下，在顯微物鏡前放置一塊光柵，讓激光垂直入射。根據泰伯效應，近似為單色平面波的激光垂直照射光柵時，物體后會以泰伯距離為周期出現光柵的自成像。在不改變實驗環境參數設置時，即保持顯微物鏡和相機的相對位置不變時，光柵自成像在CMOS傳感器接收處與光學晶格的放大比例相同。在已知光柵參數的情況下，可以將泰伯效應引起的光柵自成像作為參考，通過標定法得到若干像素點之間的實際長度，以此為基礎來測量光學晶格微結構的晶格常數。

2 實驗設計及結果分析

2.1 實驗方案及步驟

實驗中采用單縱模連續半導體激光器作為光源，其工作波長為532 nm，功率約為 60 mW，線寬小于0.01 pm，相干長度超過50 m，偏振度大于100∶1，完全滿足本全息干涉實驗的要求。由于激光功率較大，為防止激光進入人眼造成危險，在激光器出口處放入中性濾波片減弱光強。具體實驗方案及步驟如下:

(1) 搭建實驗光路。圖4為實驗光路圖，由平面光路和立體光路兩部分構成，平面光路將激光分為3束，立體光路分為上光路和下光路。激光出射后經中性濾波片后由第1片分光鏡獲得2束光束，其中1束由全反鏡和萬向鏡反射到顯微物鏡鏡口處，為上光路的光束1；另1束經由第2片分光鏡分光，再分別反射至顯微物鏡口，為下光路的光束2、3，在各束光路中均放置偏振片和1/4玻片用于調節各束光的偏振和光強。根據三角晶格的光束配置調整各光束方向，在顯微物鏡口會聚干涉，從而產生二維三角光學晶格。對于其他類型的光學晶格，可根據各自的光束配置調整干涉光夾角來產生相應的光學晶格微結構。

圖4 實驗光路圖

(2) 將干涉產生的光學晶格圖樣傳輸至計算機顯示，實時觀察光學晶格圖案。3光束干涉形成的微結構經顯微物鏡放大100倍，然后由CMOS傳感器采集圖像傳輸至計算機，在計算機上打開Microvision MV Camera Performance軟件，實時觀察放大后的二維光學晶格。

(3) 實時調整光路參數優化光學晶格。以干涉效果對比度為優化參數，實時觀察和調節各光束的偏振和光強，達到最佳干涉狀態和最高對比度。具體通過調節兩兩光束干涉實現，首先擋住第3束光，調節1、2束光達到最佳干涉狀態；同理調節2、3和1、3兩組光的干涉狀態達到最高對比度；最后3束光同時入射產生三角晶格圖案，圖5所示為實驗結果。

圖5 三角光學晶格實驗結果

(4) 在同一實驗環境下產生泰伯效應自成像，用于后續測量晶格常數。已知所用光柵的參數為300 L/mm，保持實驗環境參數不變，緊貼顯微物鏡口放置光柵，用分束后的某1束激光垂直照射光柵，結合計算機實時觀察產生的自成像圖案，緩慢增大光柵與顯微物鏡鏡頭的距離，獲得成像效果最佳的自成像并保存，實驗結果如圖6所示。

圖6 光柵的泰伯效應自成像

2.2 實驗結果分析處理

首先，以泰伯效應產生的光柵自成像為參考，計算單位像素對應的真實長度并作為測量過程的基準量，測量三角晶格3個方向a、b、c上的晶格常數da、db、dc。然后計算晶格常數理論值，由前面理論分析可知，三角光學晶格可看成3組相干光兩兩干涉的平行條紋疊加而成，故可利用式(1)計算3組平行平面的間距，進而根據平行平面距離和晶格常數之間的幾何關系計算晶格常數的理論值。最后將實驗結果與理論值進行比較，討論標定法測量的有效性。

2.2.1 基于泰伯效應標定法測量實驗結果的晶格常數

(1) 取光柵自成像的圖案，在已知光柵常數的情況下標定得到相鄰像素之間的距離。如圖6所示，在光柵自成像上選擇跨越31條光柵線的線段作為標定線，長度共30個光柵常數，即30d，其中d為光柵常數；該線段兩端點的像素坐標分別為(531,372)和(1 163，372)，相距共632個像素。已知光柵參數為每毫米300條刻線，故可得30d=0.1 mm。根據前面數據可求得相鄰像素代表的實際距離δ=0.1 mm÷632=158.23 nm。

(2) 將實驗得到的三角光學晶格圖案導入Matlab，利用標定法測量其晶格常數。圖7為3束光同時入射干涉產生的三角光學晶格，在該圖樣上沿晶格的周期方向a、b、c各取1段標定線段，其長度分別為39da、35db、42dc，其中da、db、dc為沿a、b、c方向的晶格常數，具體參數見表2。結合前面的δ=158.23nm計算得到的晶格常數為：da=2 788.37 nm、db=3 087.74 nm、dc=2 768.76 nm，從而完成晶格常數的實驗測量。

圖7 三光束干涉實驗結果

晶格周期方向端點坐標像素差晶格常數/(nm)a(977 ,151),(433 ,571)6872 788.37b(678 ,77),(666 ,760)6833 087.74c(1 171 ,515),(536 ,145)7352 768.76

2.2.2 晶格常數理論計算

下面對晶格常數進行理論計算，以便與實驗結果進行對比分析。通過測量實驗環境參數，可計算得到3組相干光兩兩干涉產生的平行面間距d1t、d2t、d3t，進而利用d1t、d2t、d3t和晶格常數dat、dbt、dct之間的幾何關系，推導計算出晶格常數理論值，其中at、bt、ct代表理論計算中晶格的周期方向，具體見圖8。

圖8 條紋與水平方向的夾角

(1) 幾何參數測量計算。圖9所示為實驗環境參數，需要說明的是，該圖中為測量方便選取實驗平臺為XOY平面，所用坐標系僅用于計算幾何關系，與圖1的坐標系無關。A、B、C為萬向鏡上的光束反射點位置，D為干涉點，a、b、c分別為3束光從萬向鏡光點到干涉點距離。線段d、e、f、g、h、i、j可由直接測量得到，具體如下：d=f=16.9 cm，e=27.9 cm，g=h=7.5 cm，i=65.0 cm，j=21.2 cm，通過簡單的幾何關系計算得到：AB=BC=13.31 cm，AC=15 cm，a=c=65.57 cm，b=65.34 cm。可見三角形ABC為一等腰三角形。

圖9 實驗光路幾何參數

(2) 計算兩兩干涉條紋間距。在△ABD、△BCD、△ACD中，分別利用余弦定理計算得到(2, 3)、(1, 2)、(1, 3)3組光束組合的夾角分別為：θ1=13.13°，θ2=θ3=11.67°。由式(1)計算得到(2，3)光束組合的干涉條紋間距為d1t=2 325.55 nm，而(1，2)和(1，3)兩組光束的干涉條紋間距相等，為d2t=d3t=2 616.46 nm。

(3) 計算晶格常數理論值。圖10給出了條紋間距d1t、d2t、d3t和晶格常數dat、dbt、dct之間的幾何關系。由sin(θ)=d2t/(2d1t)求得θ=34.23°，進而可求得晶格常數理論值為：dct=dat=d2t/sin(2θ)=2 812.83 nm，dbt=2datsin(θ)=3 164.53 nm，其中dct與dat的夾角為68°。需要說明的是，原計劃設計光路產生三角晶格微結構，但是由于實際光路參數調節存在一定的誤差，使得光路參數偏離了理想情況，將上述結果和三角晶格的參數條件比較發現實驗結果略微偏離了完美三角晶格。

圖10 條紋間的幾何關系

2.3 結果分析和討論

表3所示為實驗結果與理論計算結果比較及相對誤差。可以看出，理論計算結果和基于泰伯效應標定法測量的實驗結果非常接近，最大相對誤差僅為2.48%，可見實驗結果和理論計算結果符合得很好。其誤差來源于實驗裝置幾何參數的測量誤差和實驗裝置振動導致圖像采集不穩定帶來的偏差。綜上可知，本文提出的基于泰伯效應的標定法可用來簡便、快速、精確測量光學微結構的尺寸，無需復雜的實驗參數測量和計算，是一種很好的微結構尺寸測量方法，可推廣應用于測量更復雜的微結構尺寸。

表3 標定法測量晶格常數與理論計算對比

3 結 語

本實驗結合多光束激光全息法和實時顯示技術設計新型的全息實驗，用于近代物理實驗教學。以三角光學晶格為例探討了光學晶格的產生原理和光束配置，并在實驗中利用CMOS傳感器實時傳輸干涉圖樣

到計算機進行觀察分析。此外，提出一種新型的基于泰伯效應的標定法精確測量微結構的晶格常數，利用已知光柵在同一實驗環境中產生的自成像作為參考，通過標定法方便快捷地獲得晶格常數的實驗結果，而且與理論計算結果符合得很好。該標定法無需測量實驗光路參數，可用來簡便、快速、精確測量光學微結構的尺寸，不僅巧妙克服實驗光路參數難以準確測量的困難，而且避免了繁瑣的計算，是一種高效的微結構測量方法。此外，本實驗無需曝光和顯影等步驟，具有形象、方便、高效等優點，有效降低了實驗教學成本。