一維定態薛定諤方程的理論求解及MATLAB的仿真實現研究

王文慧

摘?要：量子力學的提出可謂是20世紀物理學上一個劃時代的里程碑。經過一百多年的歷史證明，量子物理學說明了物質屬性及其微觀結構這個根本性問題，同時也促進了一些高科技產業的發展。簡述了量子力學的發展歷程。在理想無限深方勢阱下對一維定態薛定諤方程使用兩種求解方法，一種是傳統的理論求解，適用于簡單勢阱下的粒子運動;另一種是借助MATLAB軟件進行特解求解，適用于復雜的勢阱情況。為了全面描述粒子的運動狀態，結合概率密度函數和概率分布函數來進行描述，適用于多個勢阱條件。

關鍵詞：量子力學;薛定諤方程;無限深方勢阱;MATLAB

中圖分類號：TB?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.14.098

1?緒論

經典力學中以牛頓運動定律為基礎的部分作為力學的一個分支最早被認為是力學的基本綱領。原因是牛頓運動定律能很好地解釋宏觀生活中的許多物理現象，被人們廣泛接受與認可，具有很強的實用性。例如，人們根據牛頓的理論預測并發現了海王星。然而十九世紀以來，隨著人們對物理學研究的不斷深入，經典力學的局限性也逐漸顯露出來。例如黑體輻射，英國物理學家瑞利根據經典統計力學和電磁理論推導出黑體輻射的能量分布公式僅適用于長波，發現短波部分與實驗的反差嚴重，這一現象被稱為“紫外災難”。出現的問題還有光電效應中的紅限頻率，比熱困難等等。這些問題的出現激勵著物理學家不斷的進行思考、實驗，推動了相對論和量子力學的誕生。

利用普朗克的量子假說與愛因斯坦提出的光量子概念得出的普朗克-愛因斯坦關系式可以很好地解釋了黑體輻射，光電效應以及康普頓效應。波爾的量子論可解釋氫原子能級及線狀光譜。德布羅意波的提出，指明當波長與客觀尺寸相比擬時，波動性就顯得很重要。因此在微觀世界中，不能使用經典力學分析，只能使用波動力學。薛定諤方程（Schrdinger equation）是將德布羅意波的概念和波動方程相結合建立的二階偏微分方程，由奧地利物理學家薛定諤提出。薛定諤方程表明在量子力學中，粒子以概率的方式出現，其正確性只能靠實驗來決定。可以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數的具體形式。當勢函數不隨時間變化時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。本文主要研究定態下一維薛定諤方程的求解問題。

目前量子力學的研究，推動了晶體管，能量回收，量子密碼等領域的發展，使隨機數發生器，量子計算機，瞬時通信，遠距傳輸等成為可能。

此外本文還使用MATLAB軟件進行了結果的形象化處理，其高效的計算能力，讓求解薛定諤方程從繁雜的數學運算分析中脫身。其次，MATLAB具有很強的圖形處理功能，實現計算結果可視化。

2?薛定諤方程

隨著物理學研究的不斷深入，經典力學開始遇到困難。如關于熱輻射經典統計理論，1893年，威廉·維恩提出一個數學公式ρνdν=C1ν3e-C2ν/Tdν 此公式在光譜的短波部分的測定值與計算值完全一致，然而卻不適用于中波，長波部分。1900年，英國物理學家瑞利根據經典統計力學和電磁學理論，推導出黑體輻射的能量分布公式為ρνdν=8πc3kTν2dν 而此式只適用于長波，在短波部分是無窮值，E=∫SymboleB@

0ρνdν=8πc3kT∫SymboleB@

0ν2dν→SymboleB@

可相反的是實驗得出結果是零。這個反差強烈的嚴重問題，被稱為“紫外災難”，令許多物理學家感到費解。

十九世紀末，赫茲和湯姆孫在驗證電磁波和發現電子的實驗中也遇到了困難。經典物理學理論被一些實驗結果推翻：不僅逸出電子的最大初動能與光強無關，存在紅限頻率，而且光電子幾乎是瞬時逸出的。經典的比熱理論也遇到了一些困難：杜隆-珀蒂定律CPCν=3R只適用于常溫實驗條件下;束縛態電子為何對比熱貢獻可以忽略不計;為何在常溫下，大多數雙原子分子和多原子分子振動自由度會被凍結，對比熱也沒有貢獻。

經典物理學中遇到的種種困難推動了量子理論的發展。在1900年，普朗克提出一個經驗公式，非常符合黑體輻射的實驗結果。總結普朗克的量子化理論，黑體和輻射場交換能量只能以吸收或者發射“量子”的方式進行，以ε單位吸收或發射，能量保持不連續的變化。 1905 年，愛因斯坦普朗克能量子的假說進行進一步解釋，提出了光量子的概念：假定光是由光子組成的粒子流，每個光子的能量的計算方法為ε=hν，其中，，ν表示光的頻率，h是普朗克常數。而后，德布羅意對波粒二象性和德布羅意波的提出為量子力學的建立做出了極大貢獻。

德布羅意覺得“任何物質都伴隨以波，而且不可能將物質的運動和波的傳播分開”。那么我們如何去發現呢？由λ=hmv可知對于宏觀物體物質波幾乎微不可察，而在微觀世界，粒子與相應的德布羅意波長可相比擬，波動性才顯著，這時不能使用經典力學分析，只能使用波動力學。

波函數的形式可以表示為：

φ（r→，t）=ei（p→·r→-Et）/h（1）

其中 r→表示位置，是矢量 ;t表示時間，為標量;p→和E分別表示粒子的動量和能量;h為約化普朗克常數。式（1）對時間求導：

φ（r→，t）t=φ（r→，t）·（-iEh）ihtφ（r→，t）=Eφ（r→，t）（2）

式（1）對r→求導：

-ihSymbolQC@

φ（r→，t）=p→φ（r→，t）-h2SymbolQC@

2φ（r→，t）=p→2φ（r→，t）（3）

（SymbolQC@

為拉普拉斯算子）

由E=p→22m及式（2）（3）得：

（iht+h22mSymbolQC@

2）φ（r→，t）=（E-p→22m）φ（r→，t）=0（4）

ihtφ（r→，t）=-h2SymbolQC@

22mφ（r→，t）（5）

考慮勢場V（r→）中運動的粒子，根據經典粒子的能量關系式：

E=p→2/2m+V（6）

將式（6）代入（4）可得：

ihtφ（r→，t）=（-h22mSymbolQC@

2+V）φ（r→，t）（7）

此為薛定諤在1926年提出的方程，揭示了原子世界中物質運動的基本規律。

3?無限深方勢阱下求解薛定諤方程

3.1?一維定態薛定諤方程

設粒子質量為m，沿x方向運動，勢能為V（x），可得此時薛定諤方程為ihtφ（x，t）=-h22m·2x2+V（x）φ（x，t）（8）

定態即具有一定能量E的狀態，定態下波函數形式為：

φ（x，t）=φ（x）e-iEt/h（9）

將（9）代入到（8），φ（x）滿足如下能量本征方程：

-h22m·d2dx2+V（x）φ（x）=Eφ（x）（10）

d2dx2φ（x，t）+2mhE-V（x）φ（x，t）=0

令f（x）=2mhE-V（x）則一維定態薛定諤方程的形式為：

d2dx2φ（x，t）+f（x）φ（x，t）=0

3.2?無限深方勢阱通解的理論推導

在理想無限深方勢阱中 V（x）=0，0

，xa，當0

令k=2mEh2代入（11）此時（11）式可化為φ（x）=Asin（kx+φ）的形式。由于理想條件下，粒子穿透阱壁的可能性為零，所以φ（0）=0φ（a）=0，由上式可解得：

φ=0sinka=0，所以ka=nπn=1，2，3……

對于En能級波函數記為φn（x）?則?φn（x）=Ansin（nπax）（12）

利用歸一化條件∫a0φn（x）2dx=1∴An2=2aAn=2a，將An=2a代入（12）得歸一化的波函數為φn（x）=2asin（nπax）。

上文已經求解出函數φn（x）及φn（x）2的形式，是普通的正弦函數形式，接下來通過MATLAB進行數值模擬，形象化表示出在不同位置粒子出現的概率。φn（x）和φn（x）2在不同n值情況下的函數圖如圖一所示，左側一列是φn（x）的函數圖，中一列是φn（x）2的函數圖，從第一行到最后一行分別是n=1，2，3，4，5，6。對于左側這列圖像，可以看出，幾乎都均勻分布在φ=0的兩側，而對于φn（x）2表示概率密度的這條函數曲線表達的是當前位置出現粒子的概率大小。

3.3?MATLAB求無限深方勢阱的特解

MATLAB軟件功能非常強大，對于微分方程的求解方面也有相應函數可以解決，對于一個未知的變量連同它自己的微分變量由一個方程聯系起來的關系就稱之為微分方程，如一維定態薛定諤方程即為二階微分方程，因為有二次微分項。無限深勢阱中的薛定諤方程的形式為：

d2dx2φ（x，t）+kφ=0（13）

k=2mEh2其中，想要快速求解這個二階微分方程，在這里我們假定勢阱邊界a=1，n=1，k=π，這樣可以使用MATLAB求解方程的函數dsolve函數，此函數可以直接將需要求解的方程寫入，dsolve（‘微分方程，自變量），例如：y=dsolve（'D2y+（pi^2）*y=0'，'x'），這個語句可以獲得一個通解：y =C1*exp（（-k）^（1/2）*x） + C2*exp（-（-k）^（1/2）*x），其中C1和C2根據不同的初始條件就可以給定不同的數值;另外dsolve函數還可以直接給定初始條件來確定所求微分方程的特解，dsolve（‘微分方程，初始條件1，初始條件2，自變量），在無限深勢阱中，邊界的y都為0，求解函數可以寫為y=dsolve（'D2y+（pi^2）*y=0'，'y（0）=0'，'y（1）=0'，'x'），運行之后得到的解為y =C3*sin（pi*x），根據薛定諤方程的歸一化條件，可以很快求解出C3=2。無限深勢阱條件下的薛定諤方程的特解為φ1（x）=2sin（πx）。使用MATLAB求特解需要注意的是需要使用sym類型將方程中的自變量和因變量聲明為符號變量，才可以順利的得到結果。

3.4?無限深勢阱條件下粒子位置的概率分布

上文根據理論推導方法和借助MATLAB軟件求特解的方法求出了無限深勢阱中粒子分布的概率密度函數（圖1中間列所示），這個圖可以清晰的描繪出粒子落在區間中的概率高低，概率密度值越大，代表粒子出現的概率越大，而粒子落在某個區域的概率并不能從概率密度函數圖中直觀的看出，這時我們就需要計算概率密度函數的概率分布函數，這個函數一般是來刻畫某個隨機變量m小于某一數值x的概率，在這里我們假設概率分布函數用P來表示，P（x）指的是粒子出現的位置小于x的概率，概率分布函數就是概率密度函數的積分，在MATLAB中可以直接使用函數int來進行計算，計算結果如圖1最右一列表示。從圖中可以看出每條曲線的x=1對應的概率值都為1，對應了薛定諤方程歸一化的性質。

另外這六條曲線中，總會出現一定的平臺，這些平臺說明，對應位置粒子出現的概率幾乎為0，對應概率密度函數的最低點。若使用電子束來模擬粒子，則平臺出現的位置就是暗條紋出現的位置，斜率越大，條紋越明亮。使用概率密度函數結合概率分布函數這樣的分析方法，對復雜勢阱的分析理解將會有一定的幫助。

4?結論

本文通過對經典力學的局限性的介紹，引出了物理學家對這些局限性問題的研究并提出了相對論和量子力學。另外，本文以無限深勢阱為例，給出兩種求解方式一種是傳統的理論計算，使用于簡單勢阱下的求解，對于比較復雜的勢阱，不具備理論求解的條件下，可以使用MATLAB軟件來進行求解。對于理解勢阱中粒子的分布位置，一般都是使用概率密度函數來分析，本文通過MATLAB軟件求解出概率密度函數對應的概率分布函數，更加直觀的獲得粒子位置的概率信息，驗證了解的形式與性質，對于復雜勢阱中粒子運動狀態的研究具有深刻的意義。

參考文獻

[1] 林洽武.求解定態薛定諤方程的有限差分法[J].廣東第二師范大學學報，2013.

[2] 蘇汝鏗.量子力學[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 王憶峰，唐利斌.通過有限差分和MATLAB矩陣運算直接求解一維薛定諤方程[J].紅外，2010.