小圓用處大

吳芳蓉

(福建省龍巖市龍巖初級中學 364000)

本文以構造輔助圓解決問題為例，闡述如何通過挖掘題目中的隱含條件，抽出能構造輔助圓的相關基本模型，巧妙地構造出符合題意特征的輔助圓，使問題中復雜的關系和性質在新構造的圖形中清晰地展現出來，達到化隱為顯，化繁為簡的解題功效.

一、根據有關線段相等構造輔助圓(等距離型)

人教版九年級上第24.1 對圓的定義為：圓上各點到定點的距離都等于定長；到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.

例1(2018寧德質檢改編)如圖1，已知等腰△ABC，AB=BC，D是AC上一點，線段BE與BA關于直線BD對稱，射線CE交射線BD于點F，連接AE，AF，若∠ABC=α，則∠AEF=____.(用α的代數形式表示)

分析由AB=BC及線段BE與BA關于直線BD對稱，可得BA=BC=BE，即可構造出以B為圓心，BA長為半徑的圓，此時A、C、E均在⊙B上，如圖，構建⊙B的內接四邊形AGCE，則可把∠AEF轉化為四邊形AGCE的外角，利用“圓的內接四邊形的一個外角等于其內對角”，把問題轉化到求圓周角∠AGC.

例2在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(1，1)，在x軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P的個數為____．

分析因△AOP是等腰三角形，則有兩條同頂點的線段相等，即可構造以等腰三角形頂角的頂點為圓心，腰為半徑的輔助圓.

解如圖2，若△AOP為等腰三角形，則

(1)若AO為腰時，有兩種情況:

①當AO=AP時，點P是以A為圓心，AO為半徑的圓與x軸的交點，此時⊙A與x軸有1個交點P1；

②當OA=OP時，點P是以O為圓心，OA為半徑的圓與x軸的交點，此時⊙O與x軸有2個交點，分別為P2、P3；

(2)若OA為底時，P是OA的中垂線與x軸的交點，有1個交點，為P4．

以上4個交點沒有重合的．故符合條件的點有4個．故填：4.

方法總結：在某些幾何問題中，當出現幾條共同頂點的線段相等時，可利用圓的定義，構造出一個輔助圓，利用圓的有關性質，使問題得以解決，可把這種情形稱為等距離型.

等距離型的基本圖形為：如圖3，若AB=AC=AD，則B、C、D在以A為圓心，AB長為半徑的圓上.

二、根據定張角構造輔助圓(定張角型)

例3如圖4，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點P，使得∠APB=30°，則滿足條件的點P的個數是( ).

A.3個 B.2個

C.1個 D.不存在

分析由∠APB是一定角(數量相等，點P位置不固定)，AB是一定長，可構造出輔助圓，此圓以AB為弦，圓心角∠AOB=60°，得出P點是優弧AB上的點，進而把問題轉化到圓與直線的位置關系的問題.

解如圖4，作等邊△OAB，以O為圓心，OA長為半徑作圓，作BM⊥l于M，OH⊥l于H，

∵B是AC的中點，∴令BC=AB=m.

∴OB>OH，∴直線l與⊙O相交，∴點P的個數是2個.故選B.

我們可把有這種關系的圖形稱為定張角、定線段型，其基本圖形為：如圖5，若AB是一定值，∠C的度數是一定值，但點C是動點，則可把∠C轉化為過AB兩點的圓的圓周角(∠O=2∠C).

三、根據直角構造圓(直角型)

直角型所用的圓的性質為：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑，有這種關系的可稱為直角型.

直角型的基本圖形為：如圖6，若∠C=90°，則點A、B、C在以AB為直徑的圓上.

例4(2016年安徽省中考)如圖7，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為( ).

分析在此題中，先分析出∠APB=90)，則點P在以AB為直徑的⊙O上，如圖8，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小.

總之，構造輔助圓解決問題的關鍵是要善于發現隱含于題目中與圓的有關信息，抓題目的特征，抽取出構造圓的基本圖形，巧作一圓，把圓用“活”，實現小圓大用處.