井眼軌跡的主法線角及其方程

劉修善

（中國石化石油工程技術(shù)研究院，北京 100101）

井眼軌跡撓曲特性的表征是研究井眼軌跡設(shè)計(jì)、監(jiān)測(cè)及控制等技術(shù)方法的科學(xué)基礎(chǔ)，只有掌握了井眼軌跡的撓曲特性及其表征方法，才能更好地實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向鉆井的預(yù)期目標(biāo)。導(dǎo)向鉆井需要先設(shè)計(jì)好井眼軌道，然后再確定工具造斜率和工具面角等技術(shù)參數(shù)，進(jìn)而形成鉆井技術(shù)方案[1-2]。顯然，要基于井眼軌跡的撓曲形態(tài)來確定導(dǎo)向鉆具的定向造斜參數(shù)，就必須建立兩者間的相互關(guān)系。習(xí)慣做法是基于井眼軌跡計(jì)算出工具面角，基于井眼曲率來確定導(dǎo)向鉆具的造斜率并留出余量。

目前，通過研究導(dǎo)向鉆具與井眼軌跡之間的相互作用，揭示了習(xí)慣做法的理論依據(jù)[3]：導(dǎo)向鉆具的造斜率決定了井眼軌跡的井眼曲率，導(dǎo)向鉆具的定向方向決定了井眼軌跡的主法線方向；提出了普適性的工具面角方程，解決了原有工具面角公式僅適用于空間圓弧模型的問題。然而，這些研究結(jié)果仍有局限性，即沒有考慮地層自然造斜對(duì)井眼軌跡的影響。換句話說，基于井眼軌跡的撓曲形態(tài)來確定導(dǎo)向鉆具的定向造斜參數(shù)，現(xiàn)有方法還僅局限于不考慮地層自然造斜影響的情況。

針對(duì)上述遺留問題，筆者提出了井眼軌跡主法線角的概念，建立了主法線角的通用方程，創(chuàng)建了用特性曲線表征井眼軌跡撓曲形態(tài)的方法，以期厘清現(xiàn)有理論與技術(shù)中的一些模糊認(rèn)識(shí)。

1 主法線角的定義

井眼軌跡是連續(xù)光滑的空間曲線，既有彎曲又有扭轉(zhuǎn)。為表征井眼軌跡的撓曲形態(tài)，需要定義井眼軌跡的基本向量，即單位切線向量t、單位主法線向量n和單位副法線向量b。單位切線向量t指向井眼軌跡的前進(jìn)方向，單位主法線向量n指向井眼軌跡的彎曲方向，單位副法線向量b垂直于單位切線向量t和單位主法線向量n（即b=t×n），如圖1所示。

圖1 井眼軌跡的基本向量和主法線角Fig.1 Basic vector and principal normal angle of borehole trajectory

根據(jù)數(shù)學(xué)原理和鉆井工程定義，在井口坐標(biāo)系O-NEH下，井眼軌跡的基本向量可表述為[2-4]：

式中：α為井斜角，（°）；φ為方位角，（°）；κα為井斜變化率，（°）/m；κφ為方位變化率，（°）/m；κ為井眼曲率，（°）/m；i，j和k分別為井口坐標(biāo)系N軸、E軸、H軸上的單位坐標(biāo)向量。

井眼軌跡的彎曲特性可用井眼曲率κ和單位主法線向量n表征，其中井眼曲率用于表征井眼軌跡的彎曲程度，單位主法線向量用于表征井眼軌跡的彎曲方向。雖然式（1）能表征單位主法線向量n，但是不夠直觀，也不便于應(yīng)用。考慮到單位主法線向量n和井眼高邊都位于井眼軌跡的法平面內(nèi)，所以基于井眼高邊方向來表征單位主法線向量n更為簡(jiǎn)潔方便。若井眼高邊向量用h表示，則在井口坐標(biāo)系O-NEH下可表示為[2-3]：

為基于井眼高邊來表征主法線方向，將單位主法線向量n與井眼高邊向量h之間的夾角定義為主法線角ω，ω是單位切線向量t自井眼高邊向量h方向順時(shí)針轉(zhuǎn)至主法線向量n方向所形成的角度。

2 主法線角與工具面角的關(guān)系

導(dǎo)向鉆具的定向造斜特性用工具造斜率κt和工具面角ωt表征，其中工具造斜率用于表征導(dǎo)向鉆具的造斜能力，工具面角用于表征導(dǎo)向鉆具的工作姿態(tài)并確定定向方向nt[3]，如圖2所示。在井底點(diǎn)P處，向量t指示了井眼軌跡的切線方向，垂直于向量t的平面稱為井底平面。過向量t的鉛垂平面稱為井斜平面，導(dǎo)向鉆具所在或所指示的平面稱為工具面。在井底平面與工具面的交線上，從井眼中心P點(diǎn)指向鉆頭的方向稱為定向方向，用單位向量nt表示。顯然，井眼高邊向量h位于井底平面與井斜平面的交線上，且指向增井斜方向。

圖2 導(dǎo)向鉆具的定向方向和工具面角Fig.2 Orientation direction and tool face angle of steering tool

工具面角ωt是指繞井眼切線向量t自井斜平面順時(shí)針轉(zhuǎn)至工具面所形成的角度[1-2]。顯然，工具面角ωt是工具面與井斜平面之間的夾角，也是定向向量nt與井眼高邊向量h之間的夾角[3]，且具有方向性。

此前，業(yè)內(nèi)沒有主法線角概念而用工具面角代替，還認(rèn)為井眼軌跡的井眼曲率與導(dǎo)向鉆具的造斜率相等。于是，在工程上形成了一些習(xí)慣做法，例如基于井眼曲率κ來估算工具造斜率κt、基于工具面角ωt建立井眼軌跡的恒工具面模型[5-6]，等等。事實(shí)上，井眼曲率和主法線角屬于井眼軌跡的撓曲參數(shù)，工具造斜率和工具面角是導(dǎo)向鉆具的定向造斜參數(shù)，兩者的研究對(duì)象和參數(shù)意義存在本質(zhì)性區(qū)別。顯然，井眼軌跡模型應(yīng)基于井眼軌跡的撓曲參數(shù)來定義，不應(yīng)基于導(dǎo)向鉆具的定向造斜參數(shù)進(jìn)行定義，所以恒工具面模型應(yīng)改稱為恒主法線（角）模型。業(yè)內(nèi)長期混用這2組參數(shù)的主要原因是：當(dāng)不考慮地層自然造斜對(duì)井眼軌跡的影響時(shí)，井眼曲率和主法線角（κ，ω）與工具造斜率和工具面角（κt，ωt）在數(shù)值上分別相等。因此，以往的相關(guān)研究結(jié)果都只適用于不考慮地層自然造斜影響的情況，此后應(yīng)厘清這2組參數(shù)。

3 主法線角方程

根據(jù)井眼軌跡主法線角和向量間夾角的定義可知：

將式（1）和式（2）代入式（3），由于|n|=|h|=1，經(jīng)整理得：

于是，有：

及

這樣，便得到了井眼軌跡的井眼曲率和主法線角（κ，ω）與井斜變化率和方位變化率（κα，κφ）之間的關(guān)系式。在上述定義及公式推演過程中，由于沒有限定具體的井眼軌跡模型，所以這些公式都具有普適性。

對(duì)于具體的井眼軌跡模型，需要求得井斜角α、井斜變化率κα和方位變化率κφ，才能用式（6）計(jì)算井眼軌跡的主法線角ω。顯然，井眼軌跡模型不同，這些參數(shù)的計(jì)算方法也不同。將任一井眼軌跡模型的井斜角（α）方程、井斜變化率（κα）方程和方位變化率（κφ）方程代入式（6），都可得到相應(yīng)模型的主法線角ω的計(jì)算公式。

對(duì)于空間圓弧模型，假設(shè)井眼軌跡為空間斜平面內(nèi)的圓弧線，井眼曲率κ為常數(shù)，其特征參數(shù)是井眼曲率κ和井段始點(diǎn)A處的主法線角ωA[2]。

其中

式中：αA為A點(diǎn)的井斜角，（°）；L為井深，m；LA為A點(diǎn)的井深，m；ε為彎曲角，（°）。

對(duì)于圓柱螺線模型，假設(shè)井眼軌跡為等變螺旋角的圓柱螺線，其垂直剖面和水平投影均為圓弧，特征參數(shù)是垂直剖面和水平投影的曲率κv和κh[2]。

式中：κv為井眼軌跡垂直剖面的曲率，（°）/m；κh為井眼軌跡水平投影的曲率，（°）/m。

對(duì)于自然曲線模型，假設(shè)井眼軌跡的井斜變化率κα和方位變化率κφ都為常數(shù)，其特征參數(shù)是井斜變化率κα和方位變化率κφ[2]。

4 主法線角的功用

4.1 表征井斜規(guī)律

由于井眼曲率κ恒為正值，且在井斜角值域內(nèi)sin α≥0，所以由式（5）可知，井斜變化率κα和方位變化率κφ的正負(fù)號(hào)取決于主法線角ω的數(shù)值，即：

還可根據(jù)式（18）和式（19），用圖示法來表征主法線角ω對(duì)井斜角α和方位角φ的影響規(guī)律（見圖3）。

圖3 主法線角對(duì)井斜的影響規(guī)律Fig.3 Influence rules of principal normal angle on hole inclination

4.2 表征撓曲特性

為表征井眼軌跡的撓曲形態(tài)，現(xiàn)已定義了很多撓曲參數(shù)，常用的撓曲參數(shù)及分組有：井斜變化率和方位變化率（κα，κφ）、井眼曲率和主法線角（κ，ω）。顯然，井眼軌跡的撓曲參數(shù)都沿井深變化，要形象直觀地表征這些撓曲參數(shù)的變化規(guī)律，就需要構(gòu)建井眼軌跡的撓曲特性曲線。

由式（6）可知，井眼曲率κ和主法線角ω均為κα和κφsin α的函數(shù)。若以κφsin α為橫軸、以κα為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則井眼曲率κ和主法線角ω分別為極坐標(biāo)系的極徑和極角，如圖4所示。據(jù)此，將井眼軌跡上各點(diǎn)處的井眼曲率κ和主法線角ω都繪制在這張圖上，便可得到隨井深變化的κ-ω曲線。若將設(shè)計(jì)軌道和實(shí)鉆軌跡的井眼曲率和主法線角繪制在同一張圖上，便可隨鉆監(jiān)測(cè)兩者的變化規(guī)律及兩者的符合情況。

需要說明的是，圖4內(nèi)涵豐富，它不僅基于極坐標(biāo)系表征了κ-ω曲線，也基于直角坐標(biāo)系表征了κα-κφsin α曲線，而且還表征了井眼曲率和主法線角（κ，ω）與井斜變化率和方位變化率（κα，κφ）之間的相互關(guān)系。

圖4 井眼軌跡的撓曲特性曲線Fig.4 Deflection characteristic curve of borehole trajectory

5 結(jié) 論

1）提出了井眼軌跡主法線角的概念及定義，明確了井眼軌跡撓曲特性（井眼曲率和主法線角）與導(dǎo)向鉆具定向造斜特性（工具造斜率和工具面角）之間的區(qū)別。只有不考慮地層自然造斜對(duì)井眼軌跡的影響時(shí)，兩者才相等。

2）揭示了井眼軌跡不同撓曲參數(shù)間的關(guān)系，建立了井眼軌跡的主法線角方程，并給出了常用井眼軌跡模型的主法線角計(jì)算公式。

3）建立了用特性曲線表征井眼軌跡撓曲形態(tài)的方法，基于直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系耦合的特性曲線可表征多組撓曲參數(shù)及其之間的關(guān)系，可用于隨鉆監(jiān)測(cè)井眼軌跡的撓曲特性及其變化情況。