拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

陳海偉

摘? 要：拉格朗日中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)和在該區(qū)間內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是微分中值定理的核心定理之一。通過典型例題的解析分析說明利用拉格朗日中值定理證明不等式的方法步驟和輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。

關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理? 輔助函數(shù) 不等式證明

中圖分類號：O172? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）03（c）-0117-02

1? 預(yù)備知識

拉格朗日中值定理[1]：如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得。

2? 利用拉格朗日中值定理證明不等式的方法步驟[2]

利用拉格朗日中值定理證明不等式的方法步驟可以總結(jié)為以下三步：（1）構(gòu)造輔助函數(shù);（2）選擇恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用區(qū)間（a，b）;（3）考慮中值的取值范圍。其關(guān)鍵點在于輔助函數(shù)的構(gòu)造和應(yīng)用區(qū)間的選擇。在實際應(yīng)用中往往是根據(jù)需要證明的不等式來逐步逆推出需要構(gòu)造輔助函數(shù)并選擇恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用區(qū)間（a，b）。下面通過典型例題的解析講解來分析說明輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。

3? 典型例題解析t

例1 證明：當(dāng)時，。

分析：從逆推。，要逆推湊成，、）（選擇合適的取值范圍）。

。結(jié)合的形式，可以猜想f（b）=且，即。輔助函數(shù)t為，應(yīng)用區(qū)間為。顯然在上滿足拉格朗日中值定理的使用條件，即在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。

（），，即得。從而輔助函數(shù)的構(gòu)造和應(yīng)用區(qū)間的選擇是正確的。具體證明過程如下。

證明：設(shè)，則在上滿足拉格朗日定理的條件。故在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得=，。因為，所以，，故。，所以當(dāng)時，。

由此例題可以得到，如果不等式條件為，則應(yīng)用區(qū)間可以考慮為。

例2 證明：當(dāng) 時，。

分析：，可以猜想中值定理的應(yīng)用區(qū)間為，

。

，=-e，

輔助函數(shù)為，，且，，即，從而輔助函數(shù)的構(gòu)造和應(yīng)用區(qū)間的選擇是正確的。具體證明過程如下。

證明：設(shè)，則在上滿足拉格朗日定理的使用條件，故在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得

。因為，所以，故。，，，所以當(dāng)時，。

例3 證明：當(dāng)時，。

分析：已知條件為，如果猜想應(yīng)用區(qū)間是，則 ，由需要證明的不等式很難逆推分析出分母-0。而

===，所以

，結(jié)合

，、，輔助函數(shù)為，應(yīng)用區(qū)間為。，（），由于，所以即。從而輔助函數(shù)的構(gòu)造和應(yīng)用區(qū)間的選擇是正確的。具體證明過程如下。

證明：設(shè)，因為，所以在上滿足拉格朗日定理的使用條件，故在內(nèi)至少存在一點，使得，即，又因為，所以（），且，故

，所以，，

，所以當(dāng)時，。

4? 結(jié)語

在使用拉格朗日中值定理證明不等式的過程中，定理是不能夠直接使用的，構(gòu)造輔助函數(shù)和確定定理的應(yīng)用區(qū)間是證明的關(guān)鍵。需要在學(xué)習(xí)的過程中多思考、多總結(jié)，才能夠做到舉一反三、觸類旁通。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014：129-131.

[2] 吳贛昌.微積分[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2017：139-142.