寬零陷廣義高斯濾波器組多載波通信在水聲雙擴展信道中的應用

田婧 鄢社鋒

【摘? 要】針對正交頻分復用通信在水聲多普勒信道中存在嚴重的子載波間干擾問題，設計了基于廣義高斯函數的濾波器組多載波復用系統。該濾波器組在保證子載波時頻于二維平面上具有準正交性的前提下，通過擴寬目標時-頻點的零陷，提高了系統對時延-多普勒雙擴展的魯棒性。同時，將分數間隔FFT頻域均衡算法擴展到了該系統中，以糾正機動性平臺的多普勒頻偏。仿真分別設計了多徑不一致多普勒擴展信道及時變信道兩種場景，所設計系統的誤比特率性能均比傳統OFDM有明顯提高。

【關鍵詞】濾波器組多載波;正交頻分復用;多普勒;分數間隔FFT

中圖分類號：TN927

文獻標志碼：A? ? ? ? 文章編號：1006-1010（2019）05-0045-06

1? ?引言

水聲信道具有高度的多徑多普勒雙擴展特性。由于水中聲速約為1 500 m/s，遠小于無線介質中電磁波的傳輸速度，且水聲環境具有高度時變性，因此其多普勒效應比無線通信應用要高出數個數量級。正交頻分復用（OFDM， Orthogonal Frequency Division Multiplexing）技術具有良好的抗多徑能力，但對于多普勒效應造成的子載波間干擾（ICI， Inter-Carrier Interference）具有高度敏感性，造成其在水聲通信中的應用相比無線通信而言極為有限。

傳統解決水聲OFDM中ICI的研究大部分集中在多普勒估計、補償與均衡技術上[1， 3]，如非線性均衡機制的頻域判決反饋均衡（FDFE， Frequency Feedback Equalizer）[7， 10]以及頻域Turbo均衡[11]等，其濾波器抽頭需要覆蓋全部互相干擾的子載波范圍，或涉及到均衡器譯碼器之間的信息迭代，將會顯著增加系統的復雜度，從而偏離了OFDM系統簡化均衡處理的初衷。當信道中存在多徑不一致多普勒擴展時，需要在整個時頻二維平面上進行稀疏信道估計及高維非對角矩陣求逆[2， 8]，這種計算量和處理時延在很多場景下是難以接受的。

另一種解決ICI的方式是利用具有正交性的波形成型來降低子載波的旁瓣，如施加升余弦窗等[8]。但這種方法一則降低了帶寬利用率，二則在雙擴展信道下設計好的零點依然會遭到破壞，導致ICI。為了不過多地降低帶寬利用率，另一種多載波傳輸機制是設計具有良好時頻聚焦特性的濾波器組（filterbank），使得發送符號在時間-頻率平面上的能量擴散限制在有限范圍內，這種機制稱作濾波器組多載波（FBMC， Filterbank Multicarrier）[12]。用具有良好時頻聚焦特性的高斯基波形結合實數交錯幅度相位調制（OQAM， Offset Quadrature Amplitude Modulation）是其中最為廣泛研究的代表，其能夠有效限制多載波通信的時延-多普勒帶寬積，而不降低發送效率，但信道的基帶復數特性會破壞實數符號的正交性，且該機制難以被拓展到多入多出系統。

與上述思路不同，本文采用文獻[9]中的拓寬零點設計，結合擴展高斯函數族設計濾波器組，使得多載波系統在期望的時頻點處具有非嚴格但具有一定范圍的零點，以使得系統具有對時延-多普勒雙擴展的魯棒性。同時采用頻域分數間隔FFT進行低復雜度的多普勒頻移均衡，并在靜態和時變信道下仿真比較該系統與OFDM的誤比特率性能。

2? ? 基于濾波器組的頻分復用通信建模

2.1? 傳統OFDM原理

設在一個OFDM系統中有K個頻率間隔為△f=1/T的子信道，其中第k個子信道采用的子載波頻率為fk=fc+k△f，fc為通帶載波中心頻率。第k個子載波受基帶符號S[k]調制，則基帶OFDM符號的時域表達式為：

其中g（t）為窗函數，Sn[k]為第n時刻的第k個調制符號。OFDM的調制解調通常在頻域中通過FFT進行，其實質為前端匹配濾波。忽略信道情況下，接收信號的頻域特性表現為被基帶符號進行幅度及相位調制后的窗函數頻譜在頻域上的移位之和：

正因為矩形窗對應的G（f）具有正交特性，且實現最為簡單，因此傳統的OFDM系統大多采用矩形窗。同時為了抵抗多徑效應，發送端常常采用循環前綴（CP， Cyclic Prefix），而接收端再去掉CP。這等效于采用比接收矩形窗更長的發送矩形窗，兩者依然保持了正交。然而，當信道中存在多普勒時，子載波產生頻偏等畸變，導致本應落在正交零點的頻域采樣點此時落在了旁瓣上，如圖1所示。Sinc函數的旁瓣衰減緩慢，其離主瓣最近的第一旁瓣的歸一化衰減僅僅達到-13 dB，因此在多普勒信道中穩健性極低。

2.2? 濾波器組多載波原理

OFDM對多普勒的高度敏感性來自于矩形窗頻譜的高旁瓣特性。由于時域和頻域具有對偶性，可以考慮減緩其時域波形的過渡帶以加速頻域波形旁瓣的衰減。當波型的時域衰減減緩時，單個FBMC符號的持續時間將比符號間隔T要長，即符號間在時域上相互重疊，等效于人為引入了符號間干擾（ISI， Inter-Symbol Interference）。由于FBMC將可用頻帶分割成了很多并行的子帶，因此可以看作攜帶著調制信息的基帶符號在時頻二維平面上的分布。公式（1）中的波形成型函數G（t）稱作原型濾波器，由于其經過時延和頻移后分別匹配各路載波，因此被稱作濾波器組頻分復用通信。設計FBMC系統的本質就是設計原型濾波器。在接收端進行匹配濾波時，需要在時頻二維平面上都滿足Nyquist正交性，即其模糊度函數在（mT、nfk）點的值為0，其中m、n為整數。同時，為了降低對時頻采樣偏差的敏感性，希望兩個域的旁瓣能量都限制在最小的范圍內。然而，Balian-Low定理指出，在一定傳輸密度下，滿足正交性的波形不可能在時頻域上具有有限的時間帶寬積[6]。另一方面，Nyquist正交性保證了波形在理想信道下不存在ISI和ICI，然而考慮信道的雙擴展效應后，模糊度函數的零點依然被破壞了。因此，更穩健的辦法是犧牲嚴格的正交性，轉而設計具有寬零陷的波形，從而增加對信道擴展的穩健性，同時加快時頻域的旁瓣衰減速度。高斯函數是具有最佳時頻帶寬積的信號，但離正交性的要求相差很遠，此時可以用擴展高斯函數（EGF， Extended Gaussian Function）來進行調和。EGF是具有傅立葉變換下各向同性性質的一族信號：

其中hn（t）代表第n階EGF。由于4n階EGF對矩形時頻格點具有旋轉不變性，文獻[9]用其作為基函數設計了具有寬零陷的濾波器組波形，代入式（5）和式（6），合成模糊度函數的表達式為：

其中A（p，q ）表示矩陣A（τ，f ）在（pTs，qfs ）處的采樣值，（pTs，qfs ）的取值涵蓋了全部目標零點（mT，nfk ）附近的鄰域。矩陣A（p，q ）在零點以外不是共軛對稱矩陣。文獻[9]中類似的優化問題沒有約束主瓣峰值的能量，而是將其作為正則項加入式（10）的代價函數，以使得自相關函數的峰值盡可能地接近1，這樣導致的問題是還需要選擇合適的加權參數。本文中采用主瓣峰值約束，參照上述模型，采用模擬退火算法求解上述非凸優化問題，解出c向量，即可用于合成濾波器波形。

本文設計的模糊度函數傳輸密度為4/5，時延-多普勒容限設為時頻格點歸一化后周圍0.2的范圍，和具有同樣傳輸密度的CP-OFDM模糊度函數對比如圖2所示。可見CP的加入等效于發送窗延長了1/5，而接收窗還是原有的符號長度，這實質上并不是匹配濾波，而是雙正交濾波，這使得OFDM對一定范圍內的時延具有了容忍度，但由于發送濾波器和接收濾波器仍然均為矩形窗，因此其頻域的旁瓣衰減非常慢。而EGF-FBMC的時域響應比OFDM略寬，但頻域衰減控制在相鄰兩個子載波之內。且由于寬零陷的存在，對零陷范圍內的信道時延、多普勒擴展都具有容忍性。

3? ?多相濾波接收機與分數間隔FFT均衡

FBMC系統和傳統OFDM系統相比，發射端和接收端都增加了原型濾波器組，因此在FFT的基礎上提高了大約30%至50%的復雜度[12]，但和復雜的頻域均衡技術相比代價顯著降低，考慮到其穩健性增益，此種程度的復雜度提升是可以容忍的。OFDM中可以采用頻域分數間隔均衡器[4-5]，即在整個頻帶內以數倍于載波數目的點數進行FFT，之后采用有限個抽頭的線性均衡器覆蓋相互干擾的子載波范圍。對FBMC系統而言，由于廣義高斯函數族具有指數衰減，從圖3可見，2個子載波之外的模糊度函數衰減就達到了-55 dB以下，因此，可以采用2倍分數間隔FFT進行頻域采樣，之后用3個抽頭的均衡器進行滑動均衡。圖3為1 024個子載波，占據6 kHz帶寬，中心頻率為12 kHz的FBMC系統在平均頻偏位30%子載波間隔的多普勒下，分數間隔FFT均衡前和均衡后的星座圖比較，不考慮編碼，其誤比特率由0.209降低到了0.017，解碼后誤比特率降為0。

4? ?系統仿真

本節通過Matlab仿真驗證所設計的FBMC系統在水聲雙擴展信道中和OFDM的性能比較。仿真通信系統采用1 024個子載波，占據6 kHz帶寬，中心頻率為12 kHz，每個子載波被基帶QPSK符號所調制。除去同步頭外，共有6個數據塊組成一幀。相鄰兩個OFDM塊間采用CP保護間隔，長度為數據塊的1/4，即數據塊間隔5/4T。FBMC的數據塊間隔也為5/4T。二者其余所有參數設置均完全相同。

4.1? 多徑具有不一致多普勒因子的雙擴展信道

本節仿真多條路徑對應不一致多普勒因子的雙擴展信道。信道設置為7條多徑，各條路徑的時延服從均值為1 ms的指數分布;幅度衰減服從瑞利分布，其均值隨時延指數衰減。各徑對應的多普勒因子服從均值為0、標準差為α△f/的高斯分布，則最大多普勒擴展大約等于α△f，其中△f表示子載波間隔，α表示比例因子。仿真時考慮了α分別取為5%、10%和15%各三種情況。經過1 000次蒙特卡洛仿真，不同多普勒擴展對應的誤比特率落隨信噪比變化曲線如圖4所示。可見，FBMC在相同信噪比下的誤比特率整體顯著低于矩形窗。之所以能獲得如此顯著的增益是由于寬零陷范圍內的采樣點都能降到噪聲范圍，而OFDM則直接采到旁瓣上，嚴重惡化了信干噪比。當多普勒擴展為15%時，信道擴展超過所設計的零陷范圍時，FBMC的性能略微有所下降，但由于旁瓣的指數平方收斂特性，性能仍好于OFDM。

4.2? 時變性導致的雙擴展信道

本小節仿真時變性導致的雙擴展信道，該信道模型基于文獻[13]，各條路徑的平均多普勒設為0，由多普勒擴展因子控制時變程度，分別設為1 Hz、2 Hz和3 Hz，信噪比設為15 dB。經過1 000次蒙特卡洛仿真，不同滾降因子對應的誤碼率落在不同區間的百分比如圖5所示。如認為高于10-1的誤比特率難以被糾錯編碼所糾正，從而視為通信失敗，觀察圖5中空白柱的分布可見，FBMC沒有出現通信失敗的情況，穩健性比OFDM明顯提高。

5? ?結論

本文設計了基于擴展高斯函數族的寬零陷FBMC通信系統，將頻域分數間隔FFT均衡擴展到了該系統中，并通過計算機仿真比較了FBMC和傳統OFDM在雙擴展信道下的誤比特率性能。仿真顯示，多徑具有不一致多普勒因子的準穩態信道下和時變信道下，FBMC的誤比特率均比同等傳輸密度的OFDM有明顯降低。在實際應用中，可以根據信道擴展情況設計零域的寬度，并將不同的波型參數存儲在接收機中，以使得系統對不同信道擴展具有兼容性。

參考文獻：

[1] Q Fengzhong， X Nie， W Xu. A Two-Stage Approach for the Estimation of Doubly Spread Acoustic Channels[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2015，40（1）： 131-143.

[2] Berger C R.， Zhou S， Preisig J C， et al. Sparse channel estimation for multicarrier underwater acoustic communication： from subspace methods to compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010，58（3）： 1708-1721.

[3] L Baosheng， Z Shengli， Milica Stojanovic， et al. Multicarrier Communication Over Underwater Acoustic Channels With Nonuniform Doppler Shifts[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2008，33（2）： 198-209.

[4] Aval Y M， M Stojanovic. Fractional FFT demodulation for differentially coherent detection of acoustic OFDM signals[J]. Signals， Systems and Computers IEEE， 2012： 1525-1529.

[5] Y M Aval， M Stojanovic. Differentially Coherent Multichannel Detection of Acoustic OFDM Signals[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2015，40（2）： 251-268.

[6] Strohmer T， Beaver S. Optimal OFDM design for time-frequency dispersive channels[J]. IEEE Transactions on Communications， 2003，51（7）： 1111-1122.

[7] Tu K， Fertonani D， Duman T M， et al. Mitigation of Intercarrier Interference for OFDM Over Time-Varying Underwater Acoustic Channels[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2011，36（2）： 156-171.

[8] Z Wang， S Zhou， G B Giannakis， et al. Frequency-Domain Oversampling for Zero-Padded OFDM in Underwater Acoustic Communications[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2012，37（1）： 14-24.

[9] Amini P， Chen R R， Farhang-Boroujeny B . Filterbank Multicarrier Communications for Underwater Acoustic Channels[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2015，40（1）： 115-130.

[10] Rugini L， P Banelli， G Leus. Low-Complexity Banded Equalizers for OFDM Systems in Doppler Spread Channels[J]. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing， 2006： 1-14.

[11] Huang J， Zhou S， Huang J， et al. Progressive Inter-Carrier Interference Equalization for OFDM Transmission Over Time-Varying Underwater Acoustic Channels[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing， 2011，5（8）： 1524-1536.

[12] Sahin A， Guvenc I， Arslan H. A Survey on Multicarrier Communications： Prototype Filters， Lattice Structures， and Implementation Aspects[J]. IEEE Communications Surveys & Tutorials， 2014，16（3）： 1312-1338.

[13] Chitre， Mandar. A high-frequency warm shallow water acoustic communications channel model and measurements[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 2007，122（5）： 2580.