廣義復梯度下的Schwarz-Pick引理*

王 根, 劉 洋

(浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

近年來，與各種全純映射相關的Schwarz-Pick引理理論得到了迅速發展.其中涉及到一些常見的例子,如從單位圓到某些經典域的映射[1-2]、從多圓到單位球的映射[3-4]、經典域上的有界全純函數及Berezin算子演算的分析與高階Schwarz-Pick之間的相互作用[1,4-5].Schwarz引理是解析函數的重要定理,對于共形映射的建立有很大作用;它表明當經典解析映照后,從原像域到像域之間的有趣變化,給出了從給定域確定對象域的有效估計.然而,復數域本身的結構性質對其上的復函數的直接影響幾乎沒被報道，復數域本身的結構直接有效地影響了復函數的全純性質與穩定方面的特征.

本文引進了與復數域直接相關的結構函數，討論了更為普遍的全純性質與復函數所要遵循的理論形式,研究了一般復函數變換意義下的結構復微分與廣義復梯度所遵循的結構性質,并利用新的算子討論了廣義復梯度下的Schwarz-Pick引理等相關理論,此時Schwarz-Pick引理只是作為它的一個特例.

1 預備知識

定理1(Schwarz引理)[7]若f∈Hol(U,U),且f(0)=0,則|f(z)|≤|z|,|f′(0)|≤1,|f′(0)|=1當且僅當f(z)=zeiτ,τ∈R.

引理1[2-6]單位圓盤U中的經典Schwarz-Pick引理的結果為[2-6]

(1)

對于全純映射f:U→B,已經證明了

(2)

對于全純映射f:U→Bm,已經證明了

(3)

引理2[1-2]對于給定的全純映射g:X→Y，有

以及X∈C,Y∈Cm.

為方便讀者查閱，此處加上引理2的證明.具體細節可以參閱文獻[1-2].

其中，p為奇數或偶數.具體可參閱文獻[1].對于g(z)=0的情況可以參閱文獻[2].引理2證畢.

2 主要結果

接下來考慮如下復函數變換:

定義1與復數域有關的結構函數s自然地誘導出廣義復梯度算子為D=+s,使得復梯度變換為g(z)→Dg(z)=g(z)+g(z)s,則復函數g(z)的廣義復梯度為

Dg(z)=g(z)+g(z)

結構全純條件可以求出具體復函數的解形式為

(5)

由引理3得到它的解為w(z)=Φ(z)e-s(z).現在對解進行Taylor展開,得到

(6)

定理4對于給定的結構全純映射g∈Shol:X→Y有

證明 由引理2的證明過程可得

因而由廣義復梯度算子關系式可以得到

D‖g(z)‖=‖g(z)‖+‖g(z)‖

顯然，上式為g(z)≠0的情況.

若g(z)=0,則廣義復梯度退化為普通復梯度Dg(z)=g(z),結構全純函數(5)退化為普通全純條件此時原先結果在g(z)=0時保持不變.根據式(3)，由Fréchet導數知,對β∈C且定理4證畢.

事實上，‖g(z)‖在廣義復梯度D下有具體的表達形式D‖g(z)‖=‖g(z)‖+‖g(z)‖以及|D‖g(z)‖|=‖g′(z)‖,g(z)=0,根據復數的不等式表述可以得到

以下設復函數的模q=|w(z)|,利用結構復微分和廣義復梯度算子得到如下和結構函數有關的推廣形式:

定理5(廣義Schwarz-Pick引理) 設f∈Shol:U→U,則

顯然,若s′(z)=0,則廣義Schwarz-Pick引理退化到經典Schwarz-Pick引理.

同樣，對于結構全純映射f∈Shol:U→B,仿照上述廣義Schwarz-Pick引理的證法,易得q在廣義復梯度D下的形式為

3 結 語

首先通過復函數結構變換得到了結構復微分與廣義復梯度,得到了具有普遍性的廣義結構Wirtinger導數算子、與結構函數息息相關的廣義Schwarz-Pick引理,以及依賴于結構函數的解w(z)=Φ(z)e-s(z).事實上,定理2和定理3均可以通過這種技術延拓到包含復數域上結構函數的廣義形式，只需要將普通梯度算子改換成廣義復梯度D=+s就行.