突破集合與函數的學習重難點

丁小飛 藍云波

集合與函數是高中數學的基礎，同時也是重難點，大家在學習時一定要夯實基礎，把握重點，突破難點。

一、集合

從對近五年來的高考數學試卷分析來看，集合的考查題設穩定，難度較低，均以集合的運算為主，其中有兩次結合一元二次不等式進行考查，所以集合的運算是大家要重點掌握的內容。在解答集合運算的問題時，要做到“一看、二化、三畫”：一看，即看元素構成，比如是點集還是數集，是連續的還是離散的;二化，即對集合進行化簡（有時注意定義域的限制），使得元素更具體、更清晰，以方便解題;三畫，即利用數形結合思想畫出數軸或韋恩（ Venn）圖。

例1 （201 6年全國卷工）設集合人一{x|x2-4x+30），則A∩B=（ ）。

A.（-3，-3/2）

B.（-3，3/2）

c.（1，3/2）

D.（3/2，3）

解析 一看：集合中的元素是實數集，是連續的。二化：元素沒有直接具體體現，需要進行化簡，A={x2-4x+3<0}一{x|l

二、函數

根據對近五年來的高考數學試卷的分析統計，我們發現：函數知識中函數的奇偶性每年必考;函數與方程考查了四次，主要考查函數的零點;函數圖像考查了四次;指數、對數函數考查了三次;分段函數考查了三次，主要以分段函數考查函數的性質;二次函數考查了三次;函數的單調性考查了兩次;函數模型及綜合應用考查了兩次;函數概念（定義域）考查了一次;冪函數考查了一次。由此可見，函數在高中數學中具有舉足輕重的作用，也反映出函數的重難點，即函數性質、函數圖像、函數與方程。

1.函數性質：函數的單調性、奇偶性是必考內容，通常與函數的圖像、零點等結合在一起進行考查，考查了數形結合思想，既是難點也是重點，同學們必須熟練掌握。

例2 （2017年全國卷Ⅰ）函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，且為奇函數。若f（1）=-1，則滿足-l≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）。

A.[-2，2]

B.[ -1，1]

C.[o，4]

D.[1，3]

解法1：根據題目的條件，容易聯系到函數f（x）=-x，且此函數滿足題目給出的所有條件。因為是選擇題，所以可以用特值法進行解答。令f（x）=-x，則f（x-2）=2-x，故-1≤f（x-2）≤1的解可轉化為 1≤2 、r≤1的解，由此解得1≤x≤3。故選D。

解法2：利用所給函數的單調性求解。因為f（x）為奇函數，所以f（-1）=-f（1）=1。于是-l≤f（x-2）≤1等價于f（1）≤f（x-2）≤f（-1）。又因為f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，所以 1≤x-2≤1，解得l≤x≤3。故選D。

解法3：根據數形結合的思想，畫出符合條件的圖像，如圖2所示，即可得出答案為D。

解析 本題的解題思路比較多，題目條件可以靈活轉變，例如，“函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減”可以用“函數.f（x）在其定義域中任取x1”﹤0代替，“函數f（x）為奇函數”用“函數f（x）在其定義域中任取x都有f（x）+f（-x） =o”代替等。對不熟悉函數奇偶性和單調性的考生來說，這道題就成為一道難題了。

2.函數圖像：從對近五年來的高考數學試卷的分析統計，我們發現函數圖像是高考的熱點，主要考查對函數圖像的識別，本來是易、中難度的試題，但很多同學卻拿不到分數。實際上，函數圖像是函數的一種表示，所以圖像的差別就是函數的差別，函數的差別就是函數性質的差別，只需從函數的差別人手進行解答，就會使問題得到解決。而函數的差別在哪里呢？就在于定義域、值域、單調性、奇偶性和周期性上的差別，當然還有“特殊點”對應的函數值的差別。所以解答這類問題的策略是一點（特殊點）、兩域（定義域、值域）、三性（單調性、奇偶性、周期性）。

例3 （2018年新課標卷Ⅱ）函數的圖像大致為（）。

解析

這是一道典型的函數圖像識別題，所給函數，f（x）對大家來說是復雜陌生的函數，如果沒有方向是很難解答出來的。用定義域不能排除錯誤的選項，但可以證明函數的奇偶性，因為x≠0，f（-x）=

=-f（x），所以f（x）為奇函數，排除A項。通過特殊值進行排除，由f（1）=e- e-1>0，排除D項。根據指數增值率與二次函數增值率的快慢和極限思想，排除C項。故選B。

3.函數與方程：由對近五年來的高考數學試卷分析統計，我們發現函數與方程是一個考查熱點，尤其在考查函數的零點、方程的根時，一般會與函數的圖像、性質結合在一起考查，綜合性較強，一般以選擇題、填空題的形式出現。從理論上來說可以結合函數與方程的關系，解方程來求解，若不易求解，可以用數形結合的方法進行解答。解答函數零點問題的策略：利用函數與方程的關系，求出零點個數;直接畫出函數的圖像，找成零點個數;轉化為熟悉的函數，運用數形結合法求出交點個數。

例4 已知函數f（x）=6/x-log2x，則f（x）的零點個數是_____。

解法1：利用零點存在性定理和函數的單淵性即可解答。因為f（2）=3log22=2>0，f（4）=6/4-log24=3/2-2<0，可知函數f（x）存在零點。又易知函數f（x）是單調遞減函數，所以函數f（x）有一個零點。

解法2：不易直接畫出函數f（x）的圖像，但是可以轉化成熟悉的，h（x）=6/x與g（x）=log2x兩個函數的交點個數問題，根據兩個函數的圖像（圖略）容易得出交點個數為l。

點評 在解答函數與方程的問題時，尤其是涉及函數零點、方程根的問題，要根據題目的特點選擇適當的解法，這樣有利于提高解題效率。