有限域上斜λ-常循環碼中互補對偶碼的存在性及其性質

趙鵬程，李秀麗

(青島科技大學數理學院，山東 青島 266061)

代數編碼理論，又稱糾錯碼理論，是信息學的分支。該理論的發展源自現代通信技術和電子計算機技術中差錯控制研究的需求，至上世紀七十年代末，糾錯編碼技術已經滲透到了眾多領域[1]。隨著科學的發展與實際需要，編碼理論不斷發展，應用范圍日益擴大，作為線性碼的一種特殊情況——常循環碼，由于具有良好的代數結構和性質，人們進行了大量研究[2]。

目前，伴隨著糾錯碼理論的發展，關于有限域上的λ-常循環碼(λ-constacyclic codes)已經有了豐富的結論，同時數學家對有限域上的斜λ-常循環碼(skewλ-constacyclic codes)進行了研究[3-8]。在普通多項式環的基礎上，引入自同構映射，得到斜多項式環。自同構映射的加入使斜多項式環成為不可交換環，而其不可交換性使斜多項式環上的碼字有了更大的討論空間。斜λ-常循環碼作為λ-常循環碼的一種推廣，受到了眾多國內外學者的青睞，形成了編碼理論在有限域和有限環上的新分支。

線性互補對偶碼(linear complemetary-dual codes，LCD)具有良好的相關特性和正交特性，國內外學者在對常循環碼中LCD碼的存在性、構造、重量分布、最優碼及其應用等方面做了大量的研究[9]。

本文主要研究了引入自同構映射后得到的斜λ-常循環碼。在普通多項式環的基礎上，引入自同構映射，得到新的多項式環，定義斜λ-常循環碼。研究了斜λ-常循環碼中互補對偶碼在三種情況下的存在性，并且討論了有限域上斜循環碼中LCD碼的計數問題。對于構造一些高效且糾錯性能好的碼和譯碼，具有一定的理論意義和應用價值。

1 基礎知識

首先介紹一些基本概念[9-12]。

定義1.2設λ∈Fq，若對任意(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，有(λcn-1,c0,c1,c2,…,cn-2)∈C，稱碼C是一個λ-常循環碼。特別地，λ=1時，稱C是一個循環碼。

定義1.3若一個循環碼的所有碼字多項式都是一個次數最低的非零首一多項式g(x)的倍式，即該碼由g(x)生成，則稱g(x)為該碼的生成元或生成多項式。

定義1.4設C是q元域上的[n,k]線性碼。其對偶碼是C⊥，定義為：

定義1.5設λ∈Fq，θ是Fq上的一個自同構映射，若對任意(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，有(λθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),θ(c2),…,θ(cn-2))∈C，稱碼C是一個斜λ-常循環碼。特別地，λ=1時，稱C是一個斜循環碼。

定義1.7引入Fq上自同構映射θ，定義一種新的運算“*”，滿足axm*bxn=aθm(b)xm+n。

例如在有限域F22={x+yα|α2+α+1=0,x、y∈{0,1}}上，定義自同構映射θ：F22→F22，θ：ξ→ξ2。

則αx2*(1+α)x=αθ2(1+α)x3=α(1+α2+2α)2x3=x3。

2 有限域上斜λ-常循環碼中的線性互補對偶碼

定理2.1當λ=1時，如果Fq上[n,k]斜循環碼C的生成多項式為g(x)，則如下條件等價: (1)C是LCD碼；(2)g(x)是自反的。

例2.1在有限域F22={x+yα|α2+α+1=0,x、y∈{0,1}}上，定義自同構映射θ：F22→F22，θ：ξ→ξ2。

證明：假設C是Fq上長度為n的非零碼，因為C既是斜α-常循環碼又是斜β-常循環碼，所以滿足對任意

(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，

(αθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C，

(βθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C。

又因為C是線性碼，所以

((α-β)θ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C。

定理2.3假設C是一個斜λ-常循環碼，并且長度為n，如果dim(C)

dim(C∩C⊥)≤dim(C),

且

dim(C∩C⊥)≤dim(C⊥)，

所以

dim(C∩C⊥)

從而

所以

C∩C⊥={0}，

即C是LCD碼。

證明C∩C⊥既是斜λ-常循環碼也是斜λ-1-常循環碼。則根據定理2.2，C∩C⊥滿足

C∩C⊥={0}，

或

C∩C⊥={0},

從而C是LCD碼。

3 有限域上斜循環碼中LCD碼的計數問題

定理3.1設n=2ps，p=5，q=pm(p為素數)。給定Fq上的自同構映射θ：α→α5。假設Fq={0,1,ξ,ξ2,…,ξq-2}，ξ是xq-1=1的根，則有限域Fq上長度為n=2·5s的斜循環碼中LCD碼的個數為5s+1。

(x-δ)*(x-δ3)=x2-(δ3+δ)x+1，又δ4=1即δ2=±1，根據域上元素的不可重復性得出δ2=-1，所以δ3+δ=(δ2+1)δ=0，進而得到x2+1=(x-δ)*(x-δ3)。

顯然(x-δ)和(x-δ3)在Fq[x]上形成一對互反多項式。

xn+1=(x2+1)5s=(x-δ)5s*(x-δ3)5s，

所以Fq上長度為n=2·5s的斜循環碼中LCD碼的個數為5s+1。

情況2：令q≡-1(mod4)，則x2+1在Fq[x]上是不可約的并且是自反的，

xn+1=(x2+1)5s，

所以Fq上長度為n=2·5s的斜循環碼中LCD碼的個數為5s+1。

定理3.2設n=3ps，p=7，q=pm(p為素數)。給定Fq上的自同構映射θ：α→α7。假設Fq={0,1,ξ,ξ2,…,ξq-2}，ξ是xq-1=1的根。則有限域Fq上長度為n=3·7s的斜循環碼中LCD碼的個數為(7s+1)2。

(x-δ)*(x-δ3)*(x-δ5) =(x+1)*(x-δ)*(x-δ5)

=x3-(θ2(δ5)+θ(δ)-1)x2+(θ(δ)θ(δ5)-θ(δ5)-δ)x+1

=x3+(δ2-δ+1)x2+(δ2-δ+1)x+1,

又因為δ3+1=(δ+1)(δ2-δ+1)=0，即(δ2-δ+1)=0。所以x3+1=(x+1)*(x-δ)*(x-δ5)，(x+1)在Fq[x]上是自反的，并且顯然(x-δ)和(x-δ5)在Fq[x]上是互反多項式。得到：

xn+1=(x3+1)7s=(x+1)7s*(x-δ)7s*(x-δ5)7s，

所以Fq上長度為n=3·7s的斜循環碼中LCD碼的個數為(7s+1)2。

情況2：令q≠1(mod6)則x2-x+1在Fq[x]上不可約，令δ是x2-x+1的根，則δ是Fq2上6重根，所以δ3=-1。所以：

x3+1=(x-δ)*(x-δ3)*(x-δ5)=(x+1)*(x2-x+1)，

(x+1)和(x2-x+1)是Fq[x]上的自反多項式，所以

xn+1=(x3+1)7s=(x+1)7s*(x2-x+1)7s，

所以Fq上長度為n=3·7s的斜循環碼中LCD碼的個數為(7s+1)2。

4 結論

由于引入了自同構映射，在斜多項式環中定義了新的乘法運算，把λ-常循環碼存在LCD碼的存在性證明推廣到斜λ-循環碼。考慮到不同的自同構映射會產生的不同結果，尋找合適的自同構映射成為解決問題的一個關鍵點。本文得出了LCD碼在有限域上的斜λ-常循環碼中存在的充要條件，以及λ≠±1時，利用線性空間的理論來討論斜λ-常循環碼中的LCD碼，給出LCD碼存在的充要條件，并且討論了有限域上斜循環碼中LCD碼的計數問題。

λ-常循環碼上的相關結論(定理、性質)是否能推廣到斜λ-常循環等理論上，取決于碼的代數結構是否一致。由于定義的映射不同，在同一個多項式環上可能LCD碼的存在性和性質也不相同。由于引入了自同構映射，在多項式商環中定義了新的乘法運算。研究時由于乘法交換律不再成立，相關的運算會比較繁瑣，同時該碼的生成矩陣也會更復雜，需要尋找新的算法。將代數的方法用在斜λ-常循環碼中LCD碼的研究上，引入自同構映射，豐富了糾錯碼的理論，拓展了可尋求好碼的范圍。