美哉，分式的恒等變形

余中華

數(shù)學(xué)大師丘成桐說過：數(shù)學(xué)是一門很有意義、很美麗，同時(shí)也很重要的科學(xué)。從實(shí)用角度講，數(shù)學(xué)已滲透到物理、工程、生物、化學(xué)和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，甚至與社會科學(xué)也有很密切的關(guān)系。文學(xué)的最高境界，是美的境界，而數(shù)學(xué)也具有詩歌和散文的內(nèi)在氣質(zhì)。達(dá)到一定的境界后，我們也能體會和享受到數(shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)既有文學(xué)性，也有應(yīng)用性，探討它們之間妙趣橫生的關(guān)系，能讓人真正享受到研究數(shù)學(xué)的樂趣。

本文試通過幾道分式的變形，讓同學(xué)們體會數(shù)學(xué)的對稱美。

∴a2b+abc+a2c+ab2+b2c+abc+abc+bc2+ac2=abc，

∴（ab+b2+ac+bc）c+（ab+b2+ac+bc）a=0，

∴（ab+b2+ac+bc）（a+c）=0，

［b（a+b）+c（a+b）］（a+c）=0，

∴（a+b）（b+c）（a+c）=0，

∴a、b、c中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)。

（a+b）（a+b+c）c+ab（a+b）=0。

∴（a+b）［c2+（a+b）c+ab］=0，

（a+b）（c+a）（c+b）=0，

∴a、b、c中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)。

例2 計(jì)算：

賞析：第（1）小題非常有意思，直接通分四項(xiàng)會非常煩瑣，而前兩項(xiàng)計(jì)算的結(jié)果正好可以與第三項(xiàng)運(yùn)算，運(yùn)算得到最終的結(jié)果。是不是有種爬樓的感覺？

第（2）題以退為進(jìn)，原本分式的化簡應(yīng)該項(xiàng)數(shù)不斷減少，本題反其道而行之，將四項(xiàng)變成八項(xiàng)后，反而變得更簡便。生活中也是如此，以退為進(jìn)有時(shí)候反而更容易達(dá)成目標(biāo)。

第（3）題湊平方差公式、第（4）題裂項(xiàng)相消都非常巧妙，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思維美。

賞析：本題解答過程除了體現(xiàn)對稱美外，所用的方法也很巧妙，巧妙地取倒數(shù)，給解題者一種美妙的享受。