無解≠增根

陳 峰

分式方程的無解和增根令許多初學分式方程的同學頭疼，無解是不是一定意味著這個方程有增根？本文試通過幾道例題來談談它們的差別。

一、增根可使分式方程的最簡公分母為0

A.-3 B.3 C.0 D.以上都不對

【分析】若原方程有增根，則這個增根為x=3，是原方程去分母之后得到的整式方程的解。

解：去分母得x-2（x-3）=m，

把x=3代入，得3-0=m。解得：m=3。

技巧點評：若方程有增根，則一定存在使公分母等于0的未知數的值。

二、無解可能出現增根，也可能真沒解

分式方程的根如果是增根，則分式方程無解。反之卻不一定成立。如果分式方程無解，還有可能是化為整式方程后，整式方程就是無解的。

【分析】分式方程無解，需要分分式方程有增根和整式方程無解這兩種情況討論。

解：將方程兩邊同時乘x（x-1），得 x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理方程，得（a+2）x=3。

1）當a+2=0，即a=-2時，一元一次方程無解。

又∵分式方程無解，∴x=1即為增根。

當增根為1時，得a+2=3，解得a=1。

綜上所述，當a=-2或a=1時，該分式方程無解。

技巧點評：已知分式方程無解，可先考慮去分母，將它們化成整式方程，然后討論是整式方程無解，還是分式方程的根為增根。

三、易遺漏的“無解”

【分析】增根可能是2或-3，但是解為負數，所以討論時，只需要考慮x=-3的情況。

所以當k＜3且k≠-12時，原分式方程的解為負數。