順藤摸瓜 尋求突破

陸金花

圖形變換是中考考查內容之一，可能以填空、選擇、解答題等題型呈現，具體解答時有時還需添加輔助線。下面，我們以一道圖形變換的中考題為例，來探討如何順藤摸瓜，找到解決這類問題的突破口。

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=，BC=將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△AB′C′，連接B′C，則sin∠ACB′=_______。（3分）

圖1

雖然本題為一道填空題，做對得3分，做錯或不做不得分，但我們在分析問題時同樣也可以剖析其考查的知識點，踩點進行分析解答，以便順藤摸瓜，得到正確答案。

【考點】旋轉變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義。

【解析】旋轉是圖形變換中的一種，旋轉問題指的是一個圖形繞著某個點按順時針或逆時針方向轉動一定角度后，得到新的圖形，然后求解旋轉前后圖形的一些線段、角及與之相關的量。處理這類問題的關鍵在于找到旋轉前后相等的量。本題是旋轉、勾股定理、三角函數、相似的綜合。顯然，由旋轉知△ABC≌△AB′C′，而要求sin∠ACB′的值，則將∠ACB′放置于一個直角三角形中，利用所學知識進行求解即可。

解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=5。

圖2

易證△B′AE∽△ACB，從而根據“相似三角形的對應邊成比例”可求得AE=2，B′E=4。

∴CE=AC-AE=5-2=3。

在Rt△B′CE中，由勾股定理可得B′C=5。

【點評】通過上例，不難看出，對于此類較復雜的問題，我們需要踩點分析，才能順利找到解題的突破口。比如，已知一個直角三角形（△ABC）的兩邊長，可以根據勾股定理求得第三邊的長。再如，要求一個角（∠ACB′）的正弦值，需構造直角三角形（△B′CE）。此外，旋轉將圖形中的基本元素（線、角）進行了關聯，而“相似三角形的判定與性質”則是求解這類幾何計算題的常用手段。只要我們善于抓住本質，踩點分析，就一定能順利尋求突破。