利用雙線性變換和R-H準則判定LSI系統的穩定性*

陳紹榮 ，何 健 ，陳柏良 ，薛在陽

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0 引 言

在國內外《信號與系統》著作[1-2]中，均介紹了Jury準則和利用Jury準則來判定LSI離散時間系統穩定性的步驟和方法。雖然高階LSI離散時間因果系統的穩定性可利用Jury準則做出判定，但遺憾的是，若高階LSI離散時間因果系統是一個不穩定系統，則Jury準則不能判定出高階LSI離散時間因果系統轉移函數有多少個極點位于z平面的單位圓外。本文在著作[3]的基礎上，給出了基于雙線性變換和R-H準則來判定LSI離散時間因果系統穩定性的方法，間接解決了Jury準則遺留的問題。

1 Jury準則

設：

則其穩定性檢驗表如下：

將每兩行相互區分開，第1行列出D（z）的系數，第2行將第1行的系數順序顛倒排列，第3行按下述方法求得，即：

第4行將第3行的系數順序顛倒排列，再按上述辦法求出穩定性檢驗表中的第5行，即：

第6行將第5行的系數順序顛倒排列。

這樣一直排下去，每兩行比前兩行少一項，一直排到2n-3行為止。

可以證明，D（z）=0的根均位于z平面單位圓內的充要條件是：

式（5）揭示的D（z）=0的根均位于z平面單位圓內的充要條件，稱為Jury準則。

Jury準則即式（5），表明由多項式D（z）的系數構成的穩定性檢驗表除滿足 D（1）＞0 和 （-1）nD（-1）＞0外，對表中每一個奇數行而言，第一個系數必須大于最后一個系數。

解：考慮到：

則其穩定性檢驗表如下：

雖然 D（1）=16＞0、（-1）5D（-1）=2＞0 但是從穩定性檢驗表可見，第3行的系數bn-1=3小于最后一個系數|b0|=6，因此可以判斷該系統為不穩定系統。

高階LSI離散時間因果系統的穩定性可利用Jury準則做出判定，遺憾的是，若高階LSI離散時間因果系統是不穩定系統，則Jury準則不能判定出D（z）=0有多少個根位于z平面的單位圓外。本可以利用雙線性變換和R-H準則來解決這一問題。

2 雙線性變換函數的導出

由于z平面與s平面之間存在映射函數z=esT，使得s平面到z平面不是“一對一”的映射，而是“多對一”的映射，即s平面的ω每增加2π/T時，z的幅角Ω就增加2π，亦即s平面上的σ相同，而ω相差2πm/T（m為整數）的各點，在z平面上都映射為同一點。因此，首先需要找一個“一對一”的映射函數，將s平面一對一地映射成w平面上以實軸為對稱軸、寬度為2π/T的帶狀域。利用映射函數z=ewT，將w平面上的帶狀域一對一地映射成全z平面，如圖1所示，保證了s平面到z平面是“一對一”的映射。由于s平面到z平面的“一對一”映射是經歷兩次“一對一”映射完成的，因此在這一過程中找出的s平面與z平面的映射函數，通常稱為雙線性變換函數。

圖1 雙線變換函數的映射關系

基于圖1給出的單值映射圖形，下面尋找雙線性變換函數。

設：

考慮到歐拉公式，則式（8）可寫成：

式（12）或式（13）揭示了s平面與z平面的單值映射關系，通常將這種映射關系稱為雙線性變換。

考慮到式（13），則有：

由式（15）可知，利用式（13）揭示的雙線性變換函數，正向期望相同，可將s平面的左半平面（σ＜0）、虛軸 （σ=0）及右半平面 （σ＞0）分別映射成 z平面上的單位圓內部 （0 ≤ |z|＜1）、單位圓周 （|z|=1）及單位圓外部 （|z|＞1）。

3 利用雙線性變換和R-H準則判定LSI離散時間因果系統的穩定性

解：由于LSI離散時間因果系統轉移函數H（z）的極點為v1=0.5，v2=3，v3=4。顯然，極點v2=3和v3=4位于z平面的單位圓外，故系統為不穩定系統。

下面來考察s平面與z平面的零點和極點的單值映射情況。

為了簡單，在式（12）和式（13）中可取變換常數C=1。現在，利用雙線性變換式（13），將LSI離散時間因果系統的轉移函數H（z）映射到s平面，即：

類似地，對高階LSI離散時間因果系統，利用雙線性變換可以得到n次多項式Deq（s），那么通過R-H準則可以間接判斷高階LSI離散時間因果系統的穩定性。

解：為了簡單，取式（13）中的變換常數C=1。利用雙線性變換式（13），將LSI離散時間因果系統的轉移函數H（z）映射到s平面，即：

式中：

Deq（s）=0的根全部位于s平面的左半平面的必要條件是多項式Deq（s）中不缺項，且各項的系數同符號。因此，由式（21）可知，Deq（s）=0有根位于s平面的右半平面，即Heq（s）有極點位于s平面的右半平面，亦即H（z）有極點位于z平面的單位圓外，該LSI離散時間因果系統是不穩定系統。

為了確定出Deq（s）=0的根位于s平面的右半平面的個數，下面列寫Deq（s）的R-H陣列：

分析表明，R-H陣列中第1列元素，從正到負，再從負到正，符號共變化了2次，因此Deq（s）=0有2個根位于s平面的右半平面，那么D（z）=0一定有2個根位于z平面的單位圓外，即5階LSI離散時間因果系統有2個極點位于z平面的單位圓外。

4 結 語

本文介紹了Jury準則，給出了基于雙線性變換和R-H準則來判定LSI離散時間因果系統穩定性的方法，間接解決了Jury準則遺留的問題。