基于機器學習梯度下降法的OAM對準算法*

張亞中，李玉簫，劉雨享，何 偉

（南京郵電大學，江蘇 南京 210003）

0 引 言

近年來，互聯網業務的迅速發展使信道容量接近飽和，頻譜利用率也逼近香農限。而帶有軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM）的渦旋電磁波OAM渦旋電磁波具有相互正交的不同模態，有望通過開辟一個新的維度“模分復用”，提高頻譜效率，實現同一頻帶承載更大的傳輸容量，因此成為通信領域和電磁波領域的熱點。

當發射和接收陣列天線個數相同并且彼此完全對齊時，OAM系統的信道容量與多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）陣列信號相比擬。但是當發射接收機之間出現軸心偏角時，接收器可能會收到錯誤的模態，即產生模態串擾，導致誤碼率增大，系統性能下降，劣于MIMO系統[1-2]。

這是由于渦旋電磁波的螺旋傳輸特性，OAM系統要求收發天線軸心對齊，而由于用戶接入數量的巨大和模態復用的存在，以及多址用戶的動態性，都會引起波達角的時變，帶來大量的信息丟失和不必要的功率損耗，這都對大型天線陣列精準對齊和應對多址用戶動態變化提出了更高的要求。周葉青等人對OAM系統在不對齊情況下的接收功率譜密度進行了仿真，提出一種基于二分法迭代的軌道角動量無線通信中軸向對準的新方法[3]。但是這種對準算法收斂速度較慢，初始狀態不容易滿足，并且過程繁瑣，不適合于機器的高效操作。本文提出一種基于機器學習梯度下降法的自動對齊算法，通過步長的逐步優化，降低收斂時間，過程簡單，是一種適合于機器的高效算法。

1 基于梯度下降的對準算法

為了使發射天線和接收天線的軸心對準，OAM系統需要調整的參數主要有兩種[4]，第一，方向偏移，對應的參數為偏角γ；第二，水平位置偏移，對應的參數為水平坐標（x,y）。檢驗發射天線和接收天線是否對齊的指標有多種，本文中使用的是接收天線接收到的信號能量譜方差，當發射接收天線軸心對齊時，天線接收到的能量譜方差應達到最小。

當實際中的OAM系統中伴隨著橫向偏移和角度偏移時，文獻[5]研究了偏移情況下的拉蓋爾高斯電磁波，給出了對于發生軸偏移的OAM系統的諧波能量計算。文獻[4]給出了一種基于二分法迭代求解能量譜方差最小的最優解的方法，但是這種方法對每一個參數初始狀態的要求比較高，需要找到分別在最優解兩側的兩個點。但是實際上，我們考慮到機器實際上不知道自己當前位置，只能獲取當前位置相關數據，而這些數據由于環境因素以及發射機狀態是一直在變化的，因此我們考慮用機器學習中的梯度下降法，依靠在當前位置以及相鄰較近位置處接收機測量到的能量譜方差求出近似梯度。

機器學習算法中，解決無約束問題常用的方法有梯度下降法和最小二乘法。在最小化損失函數時，可以通過梯度下降法來一步步的迭代求解，得到最小化的損失函數和模型參數值。在微積分中，各個參數的偏導組合成的向量就是梯度。梯度的幾何意義就是函數變化最快的地方，沿著梯度向量的方向，更容易找到函數的最值。但是梯度下降法不一定找到全局最優解，有可能是一個和局部最優解。但是如果損失函數是凸函數，梯度下降法得到的解就一定是全局最優解[6]。

收發天線需要調整的參數有三個，可以采用對參數逐一優化的方案，使發射天線和接收天線逐步對準，最終精確對準。為了使算法更優化，可以同時調整多個參數即多維梯度下降法，但是需要注意這時每個參數需要有不同的學習率。我們使用三維梯度下降法，得到在偏移狀態下間隔較小每一點的數據，然后按照如下步驟：

（1）隨機給出一組當前機器的偏移狀態（x0,y0,γ0）；

（2）確定損失函數，能量譜方差V（x,y,γ）。

（3） 測 出 機 器 當 前 位 置 （x0,y0,γ0）和 和 的（x0+Δ1,y0+Δ2,γ0+Δ3）能量譜方差，其中 Δi是一個很小的量，根據這兩點算出處的梯度；

（4）接下來需要分別為三個參數確定合適的學習因子 ηi（i=1,2,3），進而確定步長 αi（i=1,2,3），即，即每個參數在當前位置每次移動的距離。

（5）確定是否所有的變量，梯度下降的距離是否都小于ε，如果小于ε則算法終止，當前（x,y,γ）即為最終結果。否則進入步驟6。

（6）做最小值優化，則更新所有的變量，以x為例，其更新表達式如下，y，γ同理。更新完畢后繼續轉入步驟3。

（7）算法調優。算法的步長選擇。算法中步長α的取值取決于數據樣本，其取值應從大到小，分別運行算法，使迭代效果中損失函數變小的取值有效，否則要增大步長。前面說了。步長太大，會導致迭代過快，甚至有可能錯過最優解。步長太小，迭代速度太慢，很長時間算法都不能結束。所以算法的步長需要多次運行后才能得到一個較為優的值。

2 算法仿真

2.1 一維梯度下降法

對于每一個參數變量，能量譜都是關于變量的凸函數，因此使用梯度下降法最終都能得到損失函數的最優解。以參數x為例，任意選擇一個初始狀態，仿真時我們選擇初始狀態為x0=6，學習因子的選取與具體的數據樣本有關，我們分別設置學習因子為0.7和0.3，循環終止狀態為ε=0.1，按照上文中的算法步驟進行仿真。得到兩種不同的收斂路徑下，能量譜方差（用符號V表示）隨橫向偏移之間的曲線如圖1所示。

圖1 一維梯度下降法收斂路徑示意圖

圖1 中，曲線上的點表示實際可測量到的樣本數據，實線表示η1=0.3時的搜索路徑，搜索點只分布在最優解右側；虛線表示η1=0.7時的搜索路徑，搜索點分布在最優解兩側。由此可見，選擇不同的學習因子時，收斂路徑也會不同，但最終都將收斂到損失函數最小的最優解。我們列出了不同學習因子的搜索點，見表1。

表1 不同學習因子的收斂步數

由表1可見，不同的學習因子η會導致不同的收斂速率，選擇合適的學習因子會使算法的效率有效提升。本次仿真中最優的學習因子為0.5。

2.2 多維梯度下降法

為例更加直觀地看出算法的收斂路徑，我們先仿真給出二個參數同時調整的示意圖，實際中可以同時調整三個參數，各自步長的選取需要人為靈活調整。

按照梯度下降法求解能量譜方差隨（x,y）的路徑示意圖如圖2所示。其中實線路徑表示學習因子較小的情況，虛線路徑表示學習因子較大的情況，兩者最終都收斂至凸函數的最優解。

多維梯度下降法可以提高算法效率，但是步長的確定需要根據實際的數據樣本靈活調整。

圖2 多維梯度下降法收斂路徑示意圖

3 結 語

OAM渦旋電磁波在提高無線通信系統容量方面有很大的潛力，但是對收發天線的對準非常嚴格。本文我們建立了基于機器學習梯度下降法的OAM對準算法模型，仿真表明不同的學習率會導致不同的收斂速度，因此我們給出了一種優化學習率的方案，確定了此條件下的最佳學習率，實現了收發天線的快速對準。這種算法與前人的算法相比在實際中收斂速度更快，更適合于機器，對初始狀態要求低。未來的工作將考慮多維梯度下降法，以及優化學習率的高效算法。