圖像自尋的火箭彈命中概率計算與分析

房施東，陳 棟，劉 楨，高 姍，周 到

(1.中國人民解放軍陸軍炮兵防空兵學院，安徽 合肥 230031；2.江西省軍區數據信息室，江西 南昌 330006；3.陸軍工程大學石家莊校區 十八大隊，河北 石家莊 050000)

圖像自尋的火箭彈是一款新型復合制導火箭彈,其通過采用北斗中制導+圖像末端自尋的復合制導控制技術來提高命中精度。命中精度是衡量武器系統綜合效能的重要指標。文獻[1]通過分析制導炮彈彈道誤差特性,考察影響射擊精度的主要因素,建立了毀傷概率模型,通過蒙特卡洛法進行了仿真實驗；文獻[2]針對制導殺傷破甲子母彈特點，建立了射擊誤差模型，推導出毀傷概率計算公式，對其射擊效率進行了評估；文獻[3]探討了導彈命中精度的評估過程，運用仿真技術與數理統計理論，通過建立精度評估仿真模型，實現導彈命中精度的評定。上述文獻大多側重于命中精度的影響因素、計算模型、仿真方法等的研究，但對于圖像末制導火箭彈落點偏差與跟蹤角誤差、導引盲距之間的關系及其對命中精度的影響分析等方面的研究鮮有涉及，因此筆者擬在落點偏差分析的基礎上構建落點偏差的數學模型，并探討上述因素對命中概率影響規律，為該彈種研發與使用提供參考。

1 圖像自尋的火箭彈落點偏差分析

1.1 落點偏差產生過程

圖像自尋的火箭彈的導引頭探測設備采用捷聯方式，探測設備光軸與火箭彈主軸保持一致，因此在末段自尋的攻擊過程中，火箭彈主軸偏離彈目視線的角度(即跟蹤角誤差)的大小決定了火箭彈偏離目標的程度。導引頭采用追蹤導引律[4]，使火箭彈始終保持對目標的閉環跟蹤。然而隨著火箭彈與目標距離的縮小，目標會充滿探測器視場，從而使偵察導引頭無法提取足夠的目標特征，以致在相應的飛行時間內導引系統無法完成一個修正過程，則此時導引系統不能有效工作，此時的彈目距離稱為導引盲距[5]。在導引盲距以內，火箭彈以慣性運動直至攻擊目標。

因此火箭彈在進入導引盲距瞬時的跟蹤角誤差與導引盲距，以及在導引盲距內空氣阻力、重力、風速、風向等因素，會使火箭彈落點與目標中心產生一定的距離，即落點偏差。

1.2 落點偏差數學描述模型

1.2.1 末段彈道模型簡化及分析

由于導引頭采用追蹤導引律，火箭彈的速度矢量始終對準目標，因此在導引盲距范圍內，若不考慮重力及空氣阻力、風速風向等影響，火箭彈沿速度方向以直線軌跡攻擊目標。然而，火箭彈在外界影響下，會以拋物線軌跡攻擊目標。若將其簡化為質點彈道，根據外彈道理論，建立非標準條件下的地面直角坐標系質點外彈道運動方程組(自由落體段)如下[6]：

(1)

式中：v為火箭彈運動速度；vx為縱向速度；vz為橫向速度；vy為垂直速度;ρ為空氣密度；d為彈徑；m為彈箭質量；CD為阻力系數；g為重力加速度；Wx、Wz為橫風風速。

假設Wx=0 m/s，Wz=10 m/s，火箭彈在進入導引盲距瞬時坐標為 (0，300，0)，速度v0=500 m/s、俯仰角θ0=-80°、偏航角為0°.根據相關已知條件，根據上述彈道模型進行彈道解算，可得在縱向上由重力及空氣阻力影響而產生的落點偏差量Δx約為0.589 m；在橫向上由橫風影響而產生的落點偏差量Δz約為0.025 m。同理，可以計算不同初始高度y0條件下，落點偏差Δx、Δz如表1所示。

表1 不同初始高度條件下的落點偏差

可以看出隨著高度y0的增加，|Δx|不斷增大。當高度達到500 m時，|Δx|達到了2 m，而|Δz|雖然也增大，但是其值較小，|Δz|<0.1 m，因而可以忽略。

1.2.2 落點偏差數學簡化模型

在導引盲距內，可運用直線彈道法分析落點偏差與跟蹤導引角誤差的關系。設導引盲距為L，在到達導引盲距瞬間火箭彈導引頭位置為M點，火箭彈落點偏差與對目標的跟蹤導引角誤差關系如圖1所示。

圖1中，αz和αx分別為橫向與縱向跟蹤導引角誤差。T(xt,yt,zt)點為目標點坐標，B(xb,yb,zb) 點為理論炸點坐標。Dx、Dz分別為縱向與橫向的落點偏差量，其中Dx由重力及空氣阻力影響而產生的落點偏差量Δx與縱向導引角誤差引起的偏差量共同組成，則Dx-Δx即為縱向導引角誤差引起的偏差量。設θm為彈目視線與垂直線夾角，則對單個落點存在如下關系：

(2)

由于αx、αz是火箭彈導引角系統偏差(設為βx、βz)和隨機偏差(設為γx、γz)綜合影響的結果，且數值較小，因此式(2)轉換為[7]:

由于在彈道末段，圖像末制導火箭彈以大俯仰角(約為-80°)運動攻擊目標，因此θm值較小，對Dx影響微小；同時，βx、βz和γx、γz數值較小，為便于后續分析，將式(3)簡化為：

(4)

在對Dx和Dz分別進行足夠多次的采樣處理后，可得出落點系統誤差(μx，μz)近似值:

(5)

以及落點隨機誤差(σx，σz)近似值:

(6)

式中，θx和θz分別為縱向和橫向跟蹤導引角隨機誤差均方根值。

2 命中概率數學模型及分析

2.1 概率密度函數

以目標為原點建立坐標系xOz，其中x為縱向，z為橫向，并假設落點偏差符合正態分布，則彈著點的聯合概率密度函數可表示為[8]：

(7)

式中，ρ( 0≤|ρ|≤1)為橫向、縱向落點偏差的相關系數[9]。

為了避免在x和z不相互獨立(即0<|ρ|<1)時的復雜計算過程，假定ρ= 0，這往往可以通過合理設計控制律、控制好彈體姿態、避免彈體滾轉來保證。此時，式(7)可簡化為:

(8)

2.2 命中概率計算模型

導彈命中精度常采用圓概率誤差CEP (Circular Error Probable，CEP)表示[8]。 圖像自尋的火箭彈雖然在性能上具有導彈特點，而炮兵射擊理論卻習慣于對一定正面和縱深的矩形目標進行命中概率的計算分析[10]。為便于交流，采用此方法。設目標幅員的正面和縱深分別為2Lz和2Lx，根據式(8)所示概率密度函數，對于靜止目標則有一發圖像末制導火箭彈命中目標的概率為：

(9)

根據式(9)，給定σx，σz，μx，μz這4個參數，在落點偏差服從正態分布條件下即可求出對應的P，即命中概率值，同時，也可以依據給定P值，分解確定火箭彈末制導段系統誤差(μx，μz)和隨機誤差(σx，σz)[7].

對于運動目標，設vt為速度，φ為速度與坐標z軸夾角，t為火箭彈在導引盲距L內的運動時間，則在時間t內目標在距離與方向上的運動距離為(vttsinφ，vttcosφ).根據誤差原理，可以把此運動距離歸為系統誤差，則有圖像末制導火箭彈對運動目標的命中概率為：

(10)

根據式(10)，已知t、φ、σx、σz、μx、μz的條件下，可以分析速度vt對命中概率的影響，亦可反推速度閾值，從而確定火箭彈對不同運動速度目標的適用性。

2.3 命中概率影響分析

在x和z軸向落點偏差符合正態分布且相互獨立不相關假定下，根據式(5)、(6)、(9)、(10)，即可通過MATLAB 7.0數學軟件計算和分析命中概率P與導引盲距、跟蹤角系統誤差、跟蹤角隨機誤差及目標運動速度之間的關系。

圖2為給定一組系統角誤差和隨機角誤差典型值情況下(假定βx、βz、θx和θz分別均為1.0°，vt=0)，命中概率P隨導引盲距L的變化情況(幅員分別為8 m×8 m與4 m×4 m)。對于8 m×8 m目標，當L≤100 m時，命中概率P不小于0.8，受L影響較小；當100 m250 m時，P減小到 0.2.對于4 m×4 m目標，其曲線變化類似，命中概率P受L影響更明顯。很顯然，要實現高的命中概率，應盡量縮短導引盲距。

目標幅員為8 m×8 m，vt=0，假定其他角誤差值均為1.0°，導引盲距L為100 m,命中概率P隨βz與θz的變化曲線如圖3所示。P隨縱向角誤差的變化曲線未給出，與此類似。總體來看，角誤差較小時(2°以內)，βz與θz對P的影響差不多；但是隨著角度誤差的增大(大于2°)，βz對P的影響較θz更大。

對于運動目標而言，根據導引盲距L與火箭彈末段運動速度，可以確定火箭彈在導引盲距上的運動時間t.假定角誤差值均為1.0°，目標幅員為8 m×8 m，目標運動速度與坐標z軸夾角γ=0°，則L分別為50 m與100 m時，命中概率P隨目標運動速度vt的變化曲線如圖4所示。

比較兩條曲線可以看出，在不同導引盲距條件下，目標運動速度vt對命中概率P影響差別較大。L=50 m情況下，當-20 m/s≤vt≤40 m/s時，P≥0.85，受vt影響較小；超出此范圍，隨著運動速度絕對值的增大，P值迅速減小。考慮到μx、μz的影響及vt方向的不確定性，運動速度|vt|≤20 m/s，能夠保證命中精度P≥0.85.在L=100 m情況下，P受vt影響更大，運動速度|vt|≤5 m/s，才能夠保證命中精度P≥0.6.

通過對圖2～4分析可知，如果已知火箭彈的導引盲距、跟蹤導引系統角誤差和隨機角誤差均方值及目標運動速度，則在落點偏差符合正態分布假設前提下，可根據前述數學關系式計算相應的命中概率P值，預測是否能夠達到指標要求。反之，給定對目標(已知幅員與運動速度)的命中概率P值，可以分解確定對應給定導引盲距的跟蹤導引角誤差(系統誤差及隨機誤差均方值) 的指標要求。利用軟件計算分析知：

1)系統與隨機角誤差的指標上限在P指標的限制下隨導引盲距增大而減小。

2)由于系統角誤差和隨機角誤差綜合影響落點偏差，因此滿足P指標要求下，一個小些，另一個就可大些。

3 圖像自尋的段命中概率仿真計算

3.1 導引盲距計算

導引盲距L與火箭彈控制特性、末段速度、偵察導引性能、目標及背景的特性等有關。因此可以根據上述條件估算導引盲距。

根據制導控制周期與末段速度(會受射程等因素影響,在此取680 m/s)可得導引盲距L1：

L1≈周期×末段速度=

(20/1 000)s×680 m/s=13.6 m.

根據探測視場角(10°)與目標幅員(8 m×8 m)可得導引盲距L2：

L2≈4 m×cot(10°/2×π/180) =45.7 m，

則L取L1與L2中較大值：L=L2=45.7 m.

因此，可以采用L≈50 m的數據對跟蹤導引角誤差指標進行設計。

3.2 導引角誤差指標分析

對于8 m×8 m的靜止目標，要求命中概率P值為0.5，在L=50 m,Δx=-0.04 m時，則利用MATLAB對角誤差指標進行計算分析，結果如表2所示。

表2 跟蹤導引角誤差和落點偏差分解計算值

從表2中可見，對于50 m的導引盲距，跟蹤導引角誤差(系統誤差+隨機誤差均方值)控制在4.5°以內即可。

3.3 命中概率仿真

從表2中選取4組典型數據，運用MATLAB軟件基于蒙特卡羅法分別進行10 000次炸點散布仿真，其散布如圖5所示。

圖5中落入中間8 m×8 m正方形的模擬炸點數量N，即為命中的彈數。由命中概率P=N/10 000，得到4組命中概率P=[0.497 8，0.504 4，0.502 3，0.498 6].

4 結束語

在火箭彈落點偏差符合正態分布的假設條件下，結合圖像自尋的火箭彈的工作過程，依據建立的落點偏差模型與命中概率模型，仿真分析了命中概率與導引盲距、跟蹤導引角誤差及目標運動速度之間的關系，提出了滿足命中概率要求的跟蹤導引角誤差的技術指標，并驗證了指標的科學性，為該彈種研發與使用提供了參考。另外，跟蹤導引角誤差影響因素的分析等問題還需要進一步研究。