考慮模態耦合的球頭銑刀顫振穩定域建模方法*

2019-06-24 10:24:12代月幫李宏坤魏兆成

振動、測試與診斷 2019年3期

關鍵詞：模態

代月幫，李宏坤，魏兆成

(大連理工大學機械工程學院大連，116024)

1 問題的引出

銑削過程中不合適的切削參數導致的顫振嚴重地影響到了加工效率、精度、質量以及穩定性，制約了銑削技術的快速發展。在多種顫振形成的機理模型中，再生型顫振被認為是切削過程中產生顫振最直接、最根本的原因。如圖1所示，由于機床結構振動，上一次切削與本次切削振動位移之間的相位差異導致刀具切削厚度不均而引起自激振動，即為再生型顫振[1]。

圖1 再生型顫振的理論模型Fig.1 Mechanism model of regenerative chatter

對銑削動力學方程進行時域離散化處理，獲得振動位移的時序表達式，繪制出軸向臨界切削深度隨主軸轉速變化的葉瓣圖是目前避免顫振最有效的方法。國內外學者研究了多種顫振時域數值求解算法，如：基于龍格庫塔的時域求解法[2]；全離散時域求解法[3]；完全離散時域數值求解法[4]。但是，不論是龍格庫塔法、全離散法還是改進的完全離散法，本質上都屬于差分類方法，其優點是易于實現，但差分引起的誤差很難從根本上消除[5]，同時它們所建立的模型忽略了刀具系統的模態耦合因素。

針對上述不足，筆者利用精細積分法構造出考慮模態耦合的球頭銑刀顫振穩定域葉瓣圖，并對其進行試驗驗證，克服傳統模型中存在的弊端。

2 球頭銑刀-工件動力學方程

2.1 動力學方程的建立

考慮進給方向x和法向y方向的模態耦合，建立如式(1)所示的方程

(1)

其中：

2.2 動態切削力求解

2.2.1 切削刃幾何模型

式(2)為第j刀刃上第i個微元坐標表達式[6-7]

(2)

其中：R為球頭銑刀半徑；β為切削刃螺旋角；t為切削過程中的時間；k為切削微元的軸向接觸角；ψji(k)為切削微元的徑向滯后角；φ10(t)為刀具轉動角度；n為刀具轉速；φji(t)為切削微元的徑向接觸角；Nf為切削刃數目。

2.2.2 動態切削力模型

切向力dFt,ji(φji(t),k)、徑向力dFr,ji(φji(t),k)和軸向力dFa,ji(φji(t),k)表示為

(3)

其中：h(φji(t),k)為瞬時動態切削厚度；Ktc為切向力系數；Krc為徑向力系數；Kac為軸向力系數；db為瞬時切削寬度，db=Rdk；R為銑刀球頭半徑。

2.2.3 動態切削厚度

切削微元的動態切削厚度如式(4)所示

(4)

其中：x(t)-x(t-T)，y(t)-y(t-T)為t和(t-T)時刻在x和y方向的振動矢量；T為時滯周期，T=60/(Nfn)。

2.2.4 動態切削力

通過坐標變換，獲得切削微元x，y方向瞬時動態切削力為

(5)

其中：M為坐標轉換矩陣。

確定切削刀刃最小和最大軸向角，即可得到如式(6)所示的動態切削力

(6)

其中

3 切觸區域建模

3.1 切觸區域邊界構成

圖2所示的球頭銑刀-工件切觸區域邊界主要由如圖3所示的a，b，c，d這4條線組成[7]。

如圖4所示，以銑刀球頭頂點為原點，構建三維笛卡爾坐標系x-y-z，其中：z軸為銑刀軸線，遠離球頭銑刀的頂點為正方向；x軸為進給方向，正方向指向待加工表面。在該坐標系下，銑刀球頭輪廓的方程為x2+y2+(z-R)2=R2，其中R為銑刀球頭半徑。

圖2 切觸區域Fig.2 The schematic for contact area of ball-end mill-workpiece

圖3 切觸區域邊界組成Fig.3 The schematic for borderline of contact area

圖4 三維坐標系建立示意圖Fig.4 The schematic for 3D coordinate system

3.2 求解切觸區域邊界的投影方程

1)a號線投影方程

在x-y平面內，a號線投影方程為x2+y2=R2-(R-L_jg)2，L_jg為切削深度。

2)b號線投影方程

在x-y平面內，b號線投影為1條與y軸重合的直線，方程為x=0。

3)c號線投影方程

如圖5所示，在y-z坐標下，獲取球頭截面方程y2+(z-R)2=R2，將其沿y軸負方向平移刀軌間距L_xl，即可得到與本次刀位點相對應的上一刀軌的銑刀球頭截面方程，該方程為(y+L_xl)2+(z-R)2=R2。y2+(z-R)2=R2與(y+L_xl)2+(z-R)2=R2的交點M點為c號線在y-z平面的投影，因此c號線投影方程為y=-L_xl/2。

圖5 M點示意圖Fig.5 The schematic for point M

4)d號線投影方程

d號線上的其它點的投影坐標可以認為是不同軸向切削深度所對應的a號線與e號線的投影方程的交點。因此，通過插值理論，可以獲得d號線多項式方程。

如圖6所示，a，b，c，d投影共同圍成的區域即為工件與球頭銑刀切觸區域在x-y平面的投影。

圖6 切觸區域在x -y平面的投影Fig.6 The projection of the contact region in the x-y plane

4 考慮模態耦合的動力學方程時域數值求解

4.1 基于精細積分法的動力學方程全離散

由式(6)可將式(1)表示為

(7)

將式(7)表示為如下所示的哈密頓系統

(8)

其中：

將A(t)v(t)-A(t)v(t-T)用f(t)來表示，則對于非齊次方程(8)，由常微分理論可知，一般解[8]為

(9)

將時滯周期T均分為m份，即T=mτ，在[tp,tp+1]中，將f(t)表示為如下形式

f(t)=r0+r1(t-tp)

(10)

其中：

r0=f(tp)=A(tp)v(tp)-A(tp)v(tp-mτ)；

將r0，r1進一步表示為

r0=Apvp-Apvp-m

(11)

(12)

由式(9)和式(10)可將v(tp+1)表示為

v(tp+1)=T1[v(tp)+A0-1(r0+A0-1r1)]-

A0-1(r0+A0-1r1+r1τ)

(13)

其中：T1=eA0ε。

將式(11)、式(12)帶入到式(13)中，可得

(I-NN/τAp+1)vp+1=(T1+MMAp-NN/τAp)·

vp-NN/τAp+1vp+1-m+(NN/τAp-

MMAp)vp-m

(14)

其中：MM=T1A0-1-A0-1；NN=T1A0-2-A0-2-A0-1τ。

若(I-NN/τAp+1)可逆，則式(14)可表示為

vp+1=(I-NN/τAp+1)-1(T1+MMAp-

NN/τAp)vp-(I-NN/τAp+1)-1NN/

τAp+1vp+1-m+(I-NN/τAp+1)-1(NN/

τAp-MMAp)vp-m

(15)

4.2 瞬時切削位置確定方法

將銑刀全部切削刃在tp時刻投影到x-y坐標系下。由切削刃投影方程與接觸區域邊界方程的關系便能夠得到在此刻刀刃所對應的最大和最小的軸向角。通過該方法能夠獲得整個周期內所有離散時刻的每一個刀刃所對應的最大和最小的軸向角[7]。

5 葉瓣圖構建方法

構建出矩陣Cp，滿足如下映射

vp+1=Cpvp

其中：

矩陣Cp中的PK為4×4矩陣，等于式(15)中的(Ι-NN/τAp+1)-1(T+MMAp-NN/τAp)；RK1為4×2矩陣，為式(15)中- (I-NN/τAp+1)-1NN/τAp+1的前2列；RK2為4×2矩陣，等于式 (15)中(I-NN/τAp+1)-1(NN/τAp-MMAp)的前2列。

通過使用一系列離散Cp(p=0,1,…,m-1)，獲得整個周期內的過渡矩陣Φ，亦即

vp=Φv0

其中：Φ=Cm-1Cm-2…C1C0。

由Floquet理論可知，矩陣Φ特征值模的最大值小于1、等于1和大于1時，分別表示切削處于穩定狀態、臨界狀態和不穩定狀態。

改變主軸轉速，獲得不同主軸轉速所對應的臨界切削深度，最終構建出穩定域葉瓣圖。