基于簡諧振動兩類基本問題的研究

張旭玲

摘要??? 本文從簡諧振動的含義出發，詳細給出了簡諧振動需要重點掌握的兩類基本問題，通過舉例具體給出了解決兩類基本問題的求解思路，用表格直觀給出旋轉矢量法，為學生深入理解簡諧振動提供了良好的方法，在教學中起到了良好的效果。

【關鍵詞】簡諧振動 兩類基本問題 解析法旋轉矢量法

1 簡諧振動

振動是波動的基礎，單個簡諧振動的理解和掌握是后續簡諧振動合成及波動學習的基礎。任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為振動，振動的形式多種多樣，大多數比較復雜，而簡諧振動是最簡單最基本的振動，是研究復雜振動的基礎。如果振動可以用時間的單一諧和函數（正弦或余弦函數）描述，稱為簡諧振動。教材中用學生容易理解的彈簧振子模型給出了描述簡諧振動的動力學方程：

求解此微分方程，從而得到簡諧振動的振動方程：

將（2）式對時間t求一階導數，得到簡諧振動物體的速度：

將（3）式對時間t求一階導數，得到簡諧振動物體的加速度：

描述簡諧振動的三個主要物理量分別為：振幅A，周期T（頻率v），相位。在教學中要求重點掌握單個簡諧振動的兩類基本問題：

（1）已知振動方程，求解描述簡諧振動的相關物理量及振動的速度、加速度;

（2）已知相關物理量及物體的初始位置，求其振動方程。

2 簡諧振動的兩類基本問題

2.1 已知振動方程，求解描述簡諧振動的相關

物理量及振動的速度、加速度求解思路：將已知振動方程與簡諧振動的振動方程相對比，找出對應物理量。速度、加速度分別用位移對時間求一階導數、二階導數得到。

【例1】若簡諧振動方程為：

求：（1）振幅、周期、頻率和初相;（2）t=2s時的位移、速度和加速度。

（2）任意t時刻物體的位移、速度、加速度分別滿足

2.2 已知簡諧振動的相關物理量及物體的初始位置，求其振動方程

求解思路：求解振動方程就是將方程中的振幅A、角頻率ω、初相位φ分別確定出來。一般題中會直接已知振幅和周期，通過可以求解角頻率ω，所以求解簡諧振動方程的難點在于求解初相φ。求解初相常用的方法有兩種：一是解析法（三角函數法）;二是旋轉矢量法。表1詳細列出了旋轉矢量與簡諧振動的一一對應關系，旋轉矢量的端點在Ox軸的投影點的運動表示物體在Ox軸上的簡諧振動。表2給出在旋轉矢量圖上同樣可以表示簡諧振動物體的速度和加速度，勻速圓周運動物體的速率在Ox軸的投影表示簡諧振動的速度，向心加速度在Ox軸上的投影表示簡諧振動的加速度。【例2】一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅為，周期為。當t=0時，（1）物體在正方向端點處;（2）物體在平衡位置，向負方向運動;（3）物體在處，向負方向運動;（4）物體在處，向正方向運動.求以上四種情況的振動方程。

所以，彈簧振子的振動方程為：

所以，彈簧振子的振動方程為：

所以，彈簧振子的振動方程為：

與解析法所求初相相同，得到的振動方程也相同。

3 結語

簡諧振動是“振動與波”教學中的重點與基礎，簡諧振動的兩類基本問題更是本章教學的重點，本文給出兩類基本問題的詳細求解思路，為平面簡諧波的學習奠定了良好基礎。其中提到的第二類基本問題求解初相分別用解析法和旋轉矢量法分析，在教學中起到了良好的教學效果。從學生的學習情況分析，解析法適合三角函數扎實的學生，旋轉矢量法能直觀、形象描述簡諧振動，是教學的難點，本文通過表格給出旋轉矢量與簡諧振動的一一對應關系，更容易讓學生理解。旋轉矢量法除可以求解初相外，還可以求解簡諧振動的時間差、比較相位關系、用于合振動的振動方程，用于機械波教學中，討論光的干涉和衍射條紋分布和光強分布。

參考文獻

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