由斜邊中線引發的思考

翟遠航

幾何總是能極大地引起我的興趣。最近我又認識了一位新“朋友”———平行四邊形。在學習平行四邊形的過程中，我接觸到這樣一道題：

如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，D為AC的中點，求證：BD=[12]AC。

這道題當然難不住大家。如圖2，延長BD到B′，使B′D=BD，不難證得四邊形ABCB′是矩形，得BD=AD=CD，故BD=[12]AC。就在大家以為證明完就結束的時候，平時比較靦腆的孫同學提出了疑問：若BD=AD=CD，∠ABC是否一定是直角呢？同學們快速開動腦筋，幾秒之后給出了解答：可設∠A=x，∠C=y，則由BD=AD，得∠ABD=∠A=x，由CD=BD得∠DBC=∠C=y，所以由三角形內角和得：2x+2y=180°，所以x+y=90°，故∠ABC=90°，所以∠ABC一定是直角。就在此時，曾困惑我多時的一道題突然又冒出腦海（據說是一道考研題）：

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，AC=6，BD=4，求△ABC的面積。

此時，你是否在笑話我？這題讀完，答案不就是[12]×6×4=12嗎？嘻嘻，如果你這樣想，那么我恭喜你也成功“掉坑”了！老師經常說數學是一門很嚴謹的學科，多一個條件或少一個條件，問題也許就大不一樣了。在解題時，你有沒有發現，此題還有一個條件“∠ABC=90°”沒用到？這不禁引起了我的思考，是出題者不小心多加了條件，還是另有意圖呢？再回看條件，這個直角三角形斜邊已知。貌似我們目前能做的也只能求出其中線的長了。那就先作中線再說。如圖3，作AC邊上中線BE，則BE=[12]AC=3，現在你發現端倪了嗎？BD竟然大于BE，這怎么可能呢！要知道是“垂線段最短”哦！事實上，這張圖是根本不存在的，又怎會有“12”這樣的解呢？

所以我們在平時的學習中要多思考、多問，不要一味地模仿、被動接受，要敢于質疑，探個究竟，這樣我們才會享受到數學的無窮魅力！

教師點評：小翟同學在平時的學習中總愛思考，對任何問題都喜歡追根究底，探個究竟，敢于質疑。“疑，思之始，學之端”“思維從疑問和驚奇開始”，他做到了。課上或課后，他絕不止步于解題，得到答案，而更多地是會去思考，這道題是怎么來的？本質是什么？弱化或加強條件又會怎樣？我們從本文可以窺見一斑。這是學習中最珍貴的學習品質，值得同學們學習！

（指導教師：黃 萍）