都是中點(diǎn)惹的“禍”嗎

黃萍

隨著學(xué)習(xí)的深入，我們和“中點(diǎn)”打交道的機(jī)會(huì)越來(lái)越多了，中位線(xiàn)、中線(xiàn)、中點(diǎn)四邊形（順次連接四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形叫中點(diǎn)四邊形）等都和中點(diǎn)有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，但有時(shí)不免容易將它們之間的關(guān)系混淆。下面是三個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題的錯(cuò)因剖析，希望能給同學(xué)們一些啟發(fā)。

例1 順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（? ? ? ?）。

A.菱形 B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形

C.矩形 D.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形

【錯(cuò)解】選B或C。

【錯(cuò)因剖析】看到菱形就想到對(duì)角線(xiàn)互相垂直，從而錯(cuò)選了B;固然矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，但反之未必哦！原四邊形對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系才是中點(diǎn)四邊形形狀的“風(fēng)向標(biāo)”，而不是原四邊形的形狀！

【正解】選D。中點(diǎn)四邊形相鄰兩邊分別為原四邊形對(duì)角線(xiàn)的一半。中點(diǎn)四邊形如果是菱形，那么它們鄰邊相等，故原四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等。

【變式】順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定是______________。（正確答案：對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形。）

例2 若矩形ABCD的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則順次連接各邊中點(diǎn)所得的四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)______________，面積為? _______________ 。

【錯(cuò)解】周長(zhǎng)：14;面積：12。

【錯(cuò)因剖析】本題和三角形中位線(xiàn)圍成的三角形周長(zhǎng)與原三角形周長(zhǎng)之間的關(guān)系混淆起來(lái)了，誤以為周長(zhǎng)是原圖形的二分之一，面積是原圖形的四分之一。關(guān)于中點(diǎn)四邊形，它們的形狀和大小是由原四邊形的對(duì)角線(xiàn)所決定的，可以通過(guò)畫(huà)圖計(jì)算求出。

【正解】周長(zhǎng)：20;面積：24。如圖1，若AB=6，BC=8，則由勾股定理得AC=BD=10。若E、F、G、H為各邊的中點(diǎn)，則由中位線(xiàn)可得EF=FG=GH=HE=5，所以四邊形EFGH為菱形，周長(zhǎng)為4×5=20，面積為S=[12]EG·HF=[12]×8×6=24。

【變式】順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，所得的四邊形面積為12，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)________。（正確答案：24。）

例3 如圖2，四邊形ABCD為菱形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G、H分別為OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH為_(kāi)_______。

【錯(cuò)解】填矩形或平行四邊形。

【錯(cuò)因剖析】這里點(diǎn)E、F、G、H也都是中點(diǎn)，可能受“菱形的中點(diǎn)四邊形為矩形”的影響，殊不知，這里的中點(diǎn)不再是原四邊形四邊的中點(diǎn)了，從而誤填了;填平行四邊形的則是沒(méi)有考慮周全。

【正解】因?yàn)辄c(diǎn)E、F為OA、OB的中點(diǎn)，所以EF=[12]AB，同理HG=[12]CD，F(xiàn)G=[12]BC，EH=[12]·AD，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB=BC=CD=AD，所以EF=FG=GH=EH，所以四邊形EFGH為菱形。

親愛(ài)的同學(xué)們，通過(guò)對(duì)這三道題的分析，你們覺(jué)得這“禍”是中點(diǎn)惹的嗎？關(guān)于中點(diǎn)四邊形的形狀，我們應(yīng)該關(guān)注的是原四邊形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)，只有它才真正決定著中點(diǎn)四邊形的“顏值”。再則就是多畫(huà)圖，弄清問(wèn)題的條件和本質(zhì)，千萬(wàn)別像例3那樣被迷惑了哦。

（作者單位：江蘇省啟東市東安中學(xué)）