穿梭在“一般”與“特殊”之間

姜鴻雁

人類認識世界，通常經歷從“一般”到“特殊”，或從“特殊”到“一般”的過程，“特殊[?]一般”也是數學的重要思維方式。“平行四邊形”這一章就蘊含著這一認識問題的重要方法策略。下面通過兩例與同學們分享“一般”與“特殊”之間的微妙關系。

一、從一般到特殊

例1 如圖1，以△ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF。

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形;

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形;

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形;

（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形。

【分析】由等邊三角形容易得到△ABC≌△DBE，根據全等三角形對應邊相等和等邊三角形的性質，結合“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可以解決第（1）問;由此，只要四邊形ADEF存在，則這個四邊形一定是平行四邊形，所以若為矩形、菱形或正方形，分別是從“角”“邊”或“邊、角”雙管齊下逐步特殊化，這個特殊化的過程是通過△ABC的邊和角具有特殊數量關系體現出來的。例如：若要[?ADEF]為矩形，只需一個角是直角，此“重任”落在∠DAF的“身上”，結合周角360°與等邊三角形每個角是60°，可知∠BAC=150°符合題意。再如，若要[?ADEF]為菱形，則一組鄰邊（AD、AF）相等即可，“轉移”到△ABC中，則為AB=AC，不過需要友情提醒的是：以[?ADEF]存在為前提哦！正方形則是矩形、菱形的結合。

【簡解】（1）由△ABD、△EBC是等邊三角形，易得△ABC≌△DBE，則DE=AC。又AC=AF，所以DE=AF，同理DA=EF，所以四邊形ADEF是平行四邊形。

（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形。理由：由△ABD、△FAC是等邊三角形可得∠BAD=∠FAC=60°，要使得∠FAD=90°，則∠BAC=150°。

（3）當AB=AC且∠BAC≠60°時，四邊形ADEF是菱形。理由：由∠BAD=∠FAC=60°，∠BAC≠60°，所以D、A、F不共線，所以?ADEF一定存在;由△ABD、△AFC是等邊三角形可得AD=AB，AC=AF，因為AB=AC，所以AD=AF，所以?ADEF是菱形。

（4）當AB=AC且∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形;結合（2）（3）易證結論，理由略。

【歸納】從“四邊形→平行四邊形→矩形、菱形→正方形”的認識過程，是從“一般”到“特殊”到“更特殊”的過程，所以在圖形的判定過程中，“要求”越來越高，由本題我們可以窺見一斑。而在圖形的性質方面，從“一般”到“特殊”的過程中，特殊的圖形不僅具有一般圖形都具備的共性，還具備自身獨特的“特性”。從圖形的對稱性、邊、角、對角線四個方面，隨著“四邊形→平行四邊形→矩形、菱形→正方形”的演變歷程，性質越來越多，同學們牢牢把握這條“線索”，有助于對性質的理解與掌握，在解決問題的過程中也能逐漸得心應手。

二、從特殊到一般

例2 如圖2，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=3，BD=4，求菱形ABCD的面積。

【分析】菱形ABCD的面積可以看成△ABD和△BCD的面積之和。因為菱形的對角線互相垂直，經過適當變形，它的面積就是對角線乘積的一半。

【簡解】因為四邊形ABCD是菱形，則AC⊥BD，所以S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=[12]·AO·BD+[12]·CO·BD=[12]·BD（AO+CO）=[12]·AC·BD=[12]·3·4=6。

【歸納】因菱形的對角線互相垂直這一性質，使菱形的面積計算方法除了有平行四邊形的面積計算方法（邊與高的乘積），還有對角線乘積的一半，這恰好體現了前面所說的從“一般”到“特殊”的過程。細細想來，菱形的對角線互相垂直“帶來”的特殊的面積計算方法，對于一切對角線互相垂直的四邊形都成立。如圖3，四邊形ABCD，對角線AC⊥BD于點O，同例2推理過程不難得到：S四邊形ABCD=[12]·AC·BD。由此，對于對角線互相垂直的四邊形來說，這一面積計算方法具有通性，這正體現了從“特殊”到“一般”的過程。特別提醒：正方形的面積計算方法除了邊長的平方，還有對角線平方的一半哦。

學習數學的過程是基于理解的過程，是對問題的認識不斷深入的過程。同學們在學習的過程中，既要學會“瞻前”，還要知道“顧后”，逐步形成整體的知識體系，利用好“一般”與“特殊”之間的辯證關系，這有助于我們對問題的認識越來越深刻。

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學）