一類非對稱均勻分布參數的耐抗性的估計及其優良性

鄭成秋，王 迪，祁 鶴，徐 寶

均勻分布是一種常用的連續型分布，在理論上，它為證明隨機變量存在定理做出重大貢獻，在貝葉斯統計中，它還被用于某些參數的先驗分布［1］，而且任何隨機變量經由它的分布函數形成的隨機變量的分布都是均勻分布族中的特殊一員U(0, 1)［2］，從而它與任何分布都能建立起聯系.應用上，它廣泛存在于流行病學，遺傳學，交通流理論等許多概率模型中.因此關于均勻分布相關的統計推斷成為許多學者一直研究的內容.Rossman A.I.，Short T.H.，Parks M.T.在 1998 研究了均勻分布參數的貝葉斯估計［3］；許多學者研究了均勻分布參數的矩估計、極大似然估計及其性質［4-8］，討論了一類特殊均勻分布參數的抗耐性估計和分布區間中心的點估計量［9-10］.均勻分布有著各種不同的類型，即不同的定義區間，本文在上述研究的基礎上，研究一類非對稱均勻分布參數的估計及其性質.耐抗性是提供對于數據的局部不良行為的非敏感性［11-12］，故本文在已有文獻的基礎上，利用樣本的四分位矩這樣具有耐抗性質的統計量，得到了一類非對稱均勻分布U(θ, 0)的參數θ的估計量θ?n，并討論了它的優良性.

1 預備知識

定義1［1］若隨機變量X的密度函數為θ，則稱該分布為區間(, 0)上的均勻分布，記作X～U(θ, 0).其分布函數為

定義2［1］設X1,X2,…,Xn為抽自某個已知總體的一組簡單隨機樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應樣本的次序統計量，稱為樣本X1,X2,…,Xn的中位數.

在上述定義的基礎上，我們給出如下樣本深度、四分位矩等概念.

定義3設X1,X2,…,Xn為抽自某個已知總體的一組簡單隨機樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應樣本的次序統計量，稱為樣本的 深 度.稱樣 本X1,X2,…,Xn四分位數的深度，其中表達式[x]表示取整函數，即不大于x的最大整數.

定義4設X1,X2,…,Xn為抽自某個已知總體的一組簡單隨機樣本，X(1),X(2),…,X(n)為相應樣本的次序統計量，稱為X1,X2,…,Xn的下四分位數，稱FU=為樣本X1,X2,…,Xn的上四分位數，稱dF=FU-FL為樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩.

無偏性是估計量應滿足的一個基本要求，無偏估計以及漸進無偏估計的定義如下.

定義5［1］設X1,X2,…,Xn為抽自某個已知總體的一組簡單隨機樣本，統計量是該總體參數θ的一個估計量，若?θ∈ Θ ，有，則稱為θ的一個無偏估計，否則稱θ?n為θ的有偏估計.若當樣本量n→ ∞ 時，則稱為θ的漸進無偏估計.

2 均勻分布U(θ, 0) 的四分位矩估計及其性質

下述定理基于樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩dF給出了參數θ的估計量.

定理1設X1,X2,…,Xn為抽自均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0) 的一組 簡單隨機樣本 ，X(1),X(2),…,X(n)為相應的次序統計量，dF為由次序統計量生成的樣本的四分位矩，若用樣本的四分位矩作為總體四分位矩的估計，則可以得到參數θ的一個估計量θ?n=-2dF.

證明 首先，計算均勻總體U(θ, 0) (θ＜0)的四分位矩.根據四分位矩的定義，由解得，同理由解得

其次，計算樣本X1,X2,…,Xn的四分位矩，將分別在n=4m，n=4m+1，n=4m+2，n=4m+3四種情況下加以討論.

當n=4m時，中位數的深度相應的四分位數的深度為k=，上四分位數和下四分位數分別為和因此，四分位矩為dF=FU-FL=

若用樣本的四分位矩作為總體的四分位矩的估計，則可以得到參數θ的如下形式的估計量

同理可得，當n=4m+1時，參數θ的估計量為時，參數θ的估計量為θ?n=-2dF=2[X(m+1)-X(n-m)].當n=4m+3時，參數θ的估計量為

由四分位矩這樣具有耐抗性質的統計量得出的參數的估計量，同樣具有很好的耐抗性質，能夠體現出對于數據的局部不良行為的非敏感性.下述定理證明了均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0)的參數θ的四分位矩估計量θ?n=-2dF還是θ的漸進無偏估計.

定理2設X1,X2,…,Xn為抽自均勻分布X～U(θ, 0) (θ＜0)的一組簡單隨機樣本，X(1)，X(2),…,X(n)為相應的次序統計量，dF為由次序統計量生成的樣本的四分位矩，參數θ的一個估計量是漸進無偏估計.

證明 估計量θ?n是參數θ的漸近無偏估計，即

由于

從而當n=4m時，有當

同理可證，當n=4m+1時，有時，有

綜上所述，當n=4m，n=4m+1，n=4m+2及n=4m+3時，均有，因此估計量θ?n是參數θ的漸近無偏估計.一個好的估計量應該等于被估計參數，即一個隨機變量，它所取的值應集中在未知參數的真值或均值附近.由四分位矩得出的估計量是參數的漸近無偏估計，即當樣本容量n無限增大時，近似無偏的估計量.

3 結論

均勻分布是一種常見的連續型分布，由于其定義區間有諸多不同的形式，因此關于區間端點參數的估計形式也有很多，本文關注定義區間在坐標原點左側的均勻分布U(θ, 0) (θ＜0)左端點參數q的估計問題，基于四分位數得到了端點參數的四分位估計，并且還證明了這一估計具有漸進無偏估計，在一定程度上豐富了均勻分布參數估計的形式與內容，并能對均勻分布族進一步的理論和應用研究方面起到一定的參考作用.