ANA序列的完全收斂性及強大數定律

何其慧

完全收斂性是概率極限理論中非常重要的一個研究領域，在統計推斷中也有很重要的應用.其概念最早由Hsu和Robbins（1947年）提出：稱隨機變量序列完全收斂于一個常數C，如果對任意的ε＞0，都有ε)＜∞.

由B-C引理可知，上式可以推出在幾乎處處（a.s.）意義下Xn→C.自文獻［1］提出并建立完全收斂性的結果以來，很多學者對其進行了推廣和改進，其中最重要的一個推廣結果就是由文獻［2］建立的Baum-Katz定理.許多學者將這一結果由獨立序列推廣到各種相依序列［3-6］.最近，文獻［7］又將這個結果推廣到單下標加權的漸近負相協（ANA）序列.

由于在很多統計模型中，估計量都是雙下標加權的形式，而文獻［7］中的結果只考慮了單下標加權隨機變量的完全收斂性，因此其實用性非常有限.故本文進一步考慮了雙下標加權隨機變量的完全收斂性，且本文主要結果的條件較文獻［7］的結果都有所改進.

本文引用如下一些記號：C代表正的常數，在不同的地方可以取不同的值，I(A)為事件A的示性函數，a+=aI(a≥0)且a-=-aI(a＜0).

1 預備知識

首先，回顧一下由文獻［8］提出的一類相對比較寬泛的相依結構——漸近負相協（ANA）的概念，其定義如下：

定義1定義混合系數

其中，?是非降函數的集合.若混合系數

下面介紹隨機控制的概念.

定義2若存在常數C，使得對所有的x≥0及n≥1，都有，則稱隨機變量序列{ }Xn,n≥1被隨機變量X隨機控制.

為證明主要結果，還需要下述幾個引理.

引理1［8］設隨機變量 { }

Xn,n≥1為ANA的.若{ }

fn(·),n≥1為單調非降（或非增）函數序列，那么{ }

fn(Xn),n≥1仍為ANA的，且其控制系數不大于ρ-(n).

引理 2［11］令，假設為均值為0的ANA隨機序列，滿足EXn2＜∞及存在N使ρ-(N)≤s.則存在常數C=C(2,N,s)使得

利用文獻［12］中定理2.1的方法，我們可以得到如下的重要引理.

引理4假設{ }Xn,n≥1是被隨機變量X隨機控制的隨機序列，則對任意的a＞0,b＞0以及n≥1，都有

其中，C1和C2代表著不同的正常數.

2 主要結果

由隨機控制的定義容易驗證

對I2，若0＜p＜1，取μ=min{ }q,1 ，由Markov不等式及引理4可知

若 1≤p＜2，先證明0,n→∞.事 實 上 ，由EXni=0，αp＞1及E|X|p＜∞可得

從而當n充分大時，對任意的ε＞0，都有

取ν=min{ }q,2 ，由（2）式、Markov不等式、引理3、引理4、Cr不等式及Jensen不等式，可得

易證

類似可以驗證

定理2 令 0＜p＜2及i≤n, }

n≥1為一被隨機變量X隨機控制的ANA隨機變量陣列，滿足控制系數ρ-(n)≤s.若1≤p＜2則假設對所有 1≤i≤n,n≥1都有EXni=0.令{ }ani,1≤i≤n,n≥1為一滿足的常數陣列，其中q＞p.若也被改進到.因此，定理1改進了文獻［7］中相應的結果.

文獻［7］的結果考慮的是單下標情形下的完全收斂性，而本文的結果定理1則是建立在雙下標隨機變量和雙下標權函數的情形下的，因此具有更廣泛的適用性.另外文獻［7］中的條件E|X|p＜∞，則對任意的ε＞0，都有

證明 在定理1的證明中取α=1/p，僅需驗證在αp=1的條件下也有（2）成立.事實上，由EXni=0，E|X|p＜∞及控制收斂定理同樣可得即（2）式成立.其他證明完全類似定理1的證明.此處省略.

文獻［7］也建立了類似定理2的單下標的結果，除了注1中所述的這些改進之外，文獻［7］只考慮了1≤p＜2的情況，而定理2更考慮了0＜p＜1的情況.因此，定理2也改進了文獻［7］中相應的結果.

證明 在定理2中取ani=ai,Xni=Xi，可得

從而由Borel-Cantelli引理，可得

因對任意的n≥1，總存在k使得2k≤n＜2k+1，故而有

3 結論

本文主要利用關于ANA序列的改良過的矩不等式（見引理4），對雙下標加權ANA隨機變量加權和的完全收斂性進行了研究，其結果改進了文獻［7］相應的結果.作為應用，我們還得到了ANA序列加權和形式的強大數定律.在今后的工作中，我們會進一步將所得結果應用到統計模型中去，為統計研究的發展提供扎實的理論基礎.